Appunti scritti al computer di analisi 2

C

URVE NEL PIANO E NELLO SPAZIO

Definizione: curva parametrica

: → ℝ ⊂ ℝ

Una è una funzione , intervallo generico, tale che

(), (), ())

() = ( … ,

tutte le sue componenti siano funzioni continue, cioè: 1 2

(), ()

… ,

deve avere continue.

1

Curve nel piano

= 2 ⟹

In Curve nello spazio

= 3 ⟹

In

curva parametrica,

: → ℝ ()

Sia la il suo codominio (insieme di tutti i punti dello spazio raggiunti per

sostegno

è detto anche o traccia della curva e corrisponde alla curva come oggetto

qualche istante t) curva geometrica.

→

geometrico Si chiama

La curva parametrica dà più informazioni rispetto a quella geometrica perché il suo codominio ci dà

l’insieme di punti e la funzione ci dice come si percorre la curva.

Esempi: (

() = cos , sin ) , ∈ [0,2]

cos 2 2 2 2 2 2 2

() ()

→ + = cos + sin =

sin 2 2 2

+ =

Quindi otteniamo la circonferenza:

(

() = cos , sin ) , ∈ [0,2]

2 2

() ()

cos 2 2

→ + = cos + sin = 1

sin 2 2

Quindi otteniamo l’ellisse: 2 2

+ =1

2 2

Ripasso: Equazioni parametriche di una retta

= ( , , ) = ( , , ),

Dato un punto e un vettore esiste ed è unica

0 0 0 0 1 2 3

.

la retta passante per e parallela a

0 = +

0 1

= +

{ , ∈ ℝ

Le equazioni parametriche di questa retta sono: 0 2

= +

0 3

Ciò può essere visto come una curva:

. () = ( + , + , + )

= ( , , ) 0 1 0 2 0 3

0 0 0 0

Il sostegno della curva è la retta

Retta per due punti:

= −

In questo caso

. 1 0

= ( , , ) Le equazioni parametriche di questa retta sono:

1 1 1 1 = + ( − )

. 0 1 0

= + ( − )

= ( , , ) { , ∈ ℝ

0 0 0 0 0 1 0

= + ( − )

0 1 0

= + ( − )

In forma vettoriale, l’equazione parametrica della retta è: 0 1 0

.

= ( , , )

≥ 0

Per : 1 1 1 1

. = ( , , )

0 0 0 0 .

= + ( − ) = ( , , )

0 1 0 1 1 1 1

= + ( − )

{ , ∈ [0,1]

Per avere solo il segmento : 0 1 0

1 0 .

= + ( − ) = ( , , )

0 1 0 0 0 0 0

Relazione tra curve nel piano e grafici di funzione:

: → ℝ,

Sia continua

Allora il grafico sarà del tipo: () = ())

(, ∈

Il grafico di una funzione si può riguardare come una curva nel piano del tipo: ,

Il contrario non è vero.

Curva chiusa

– chiusa

si dice se: = [, ] () = ()

e

Semplicità

– semplice

si dice se: ≠

1 2

)

( = ( ) ⟹ = [ , ]

con

1 2 1 2

<

1 2

,

Cioè deve essere iniettiva, a meno che sono il punto iniziale e finale.

1 2

Esempi: (

() = cos , sin , ) > 0, ∈ ℝ, ≠ 0, ∈

La proiezione della curva nel piano xy è una circonferenza. > 0

Percorrendo la circonferenza, la quota del punto cresce se oppure

< 0.

decresce se

Questa curva si chiama elica cilindrica e rappresenta il cilindro di equazione:

2 2 2

+ = 2 2 2

(, , ) , + =

Nello spazio, qualsiasi curva con che soddisfano e

qualunque, rappresenta un cilindro in cui è contenuta l’elica.

Proprietà differenziali:

(), (), ())

: → ℝ , () = ( … ,

Data 1 2

1 ()

∈ () ∀ = 1, … ,

se è derivabile con derivata continua

regolare

Una curva si dice se: 1 ′

∈ () () ≠ 0 , ∀ ∈

e

1′ 2′ ′

(), (), ())

′() = ( … ,

1′ 2′ ′

(), (), ()

… , 0 .

Cioè non devono essere per lo stesso istante

→ punto regolare )

′( ≠ 0

è un per la curva se

0 0

→ punto singolare ′ ( )

= 0

è un per la curva se

0 0

= ( ) = ()

Prendiamo una curva generica e i punti e

0 0

→

Quando , la retta che congiunge e tende alla tangente in

0 0 0

)

− (t) − (

0 0 .

lim = lim = .

− −

→ →

0 0

0 0

(t) ( ) (t) ( ) (t) ( )

− − −

1 1 0 2 2 0 0

= lim ( , ,…, )=

− − − 0

→

0 0 0 0

1′ 2′ ′ ′

( ), ( ), ( ))

= ( … , = ( )

0 0 0 0

≠ 0

Quindi il vettore derivato se dà la direzione della tangente alla curva geometrica in quel punto.

retta tangente

= 3 ⟹

In L’equazione della in è:

0

′ ( )

= + , : = ( )

0 0 0 0 0

1′ ( )

= +

0 0

2′ ( )

= +

{ , ∈ ℝ

Le equazioni parametriche sono: 0 0

3′ ( )

= +

0 0 1′ ( )

= +

retta tangente 0 0

= 3 ⟹ {

In Le equazioni parametriche della in sono:

0 2′ ( )

= +

0 0

−

0

= ′

′ ( )

( )

− = 0

0 0

1 1 1′ 2′

( ) ( ) ( )

→{

→ { → − = ( − )

⏟

− 0 0 0 0

′ ( )

− = 0

Ricavo ′

0 0

2 ( )

− = Equazione cartesiana

0 0

2

′ ( )

0

1 di una retta nello spazio

1′ ( )

= 0 ⟹ =

Se La tangente è la retta verticale:

0 0

2′ ( )

= 0 ⟹ =

Se La tangente è la retta orizzontale:

0 0

1

: → ℝ,

Se di classe , dall’analisi 1 sappiamo che l’equazione della retta

∈

tangente a nel punto è:

0 ′

)

= ( + ( )( − )

0 0 0

Scriviamo il grafico della funzione come una curva e vediamo se otteniamo lo |

stesso risultato:

0

′ ′

( ) ( ))

() = (, ()) → = (1,

0 0 ′ ′

( ) ( ) )

− ∙ 1 = ( − ) ∙ → = ( + ( )( − )

L’equazione della tangente sarà: 0 0 0 0 0 0

)

=(

0 0

regolare a tratti 1 ′ ()

= 0

Una curva si dice se è di classe e al più in un numero finito di punti.

Quindi una curva regolare a tratti si può dividere in un numero finito di tratti regolari.

C E

URVE QUIVALENTI

Esempio: (

() = cos , sin ) , ∈ [0,2]

(

() = cos 2 , sin 2) , ∈ [0, ]

()

Le due curve hanno lo stesso sostegno, ma la curva percorre la circonferenza |

con velocità doppia.

Definizione:

: → ℝ : → ℝ

Siano e due curve,

equivalente 1

∃ : →

Allora si dice a se biunivoca, di classe , con

′ ()

≠ 0 ∀ ∈ , tale che:

(()) = () ∀ ∈

La funzione g si chiama cambiamento ammissibile di parametro, perché cambia

il parametro da a

proprietà di equivalenza

Vediamo se sono verificate le tre :

1) Proprietà simmetrica:

, .

Se è equivalente a allora è equivalente a Infatti:

−1

: → ⟶ : →

è biunivoca −1

⟶

Dato che è continua è continua 1

′ −1 ′

() )

≠ 0 ∀ ∈ ⟶ ∃( () = ≠0

′ −1 ())

(

−1 1 −1 ()

≠ 0 ∀

Quindi anche è di classe , con

−1 −1

())

( = ()? = () → ( (())) = (()) → () = (())

⏟

Sostituiamo =

→

Quindi la funzione è equivalente a se e solo se è equivalente a La definizione è simmetrica.

~

Quindi possiamo dire semplicemente che e sono due curve equivalenti e si scrive:

~

2) La proprietà riflessiva è ovvia:

3) Proprietà transitiva: ~

: → ℝ , : → ℝ ,, : → ℝ ⟹ → ~?

Prendiamo tre curve Se ~

())

∃ : → tale che ( = ()

~ 1 1

⟶

Dato che: ~ ())

∃ : → tale che ( = ()

2 2

Osserviamo che: 2′ 1′

′ ′

() ( ) () ()) ()

= ∘ = ( ∙ ≠ 0

2 1 1

())) ())

(()