Appunti con domande e risposte riassuntive di preparazione all'esame di Analisi matematica 2 scritti a computer

7) FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI A VALORI VETTORIALI

1) Dare la definizione di funzione in più variabili a valori vettoriali

2) Dare la definizione di continuità di una funzione in più variabili a valori vettoriali

3) Dare la definizione di differenziabilità di una funzione in più variabili a valori vettoriali

4) Cos'è la matrice Jacobiana?

5) Enunciare il teorema di condizione sufficiente alla differenziabilità

6) Mostrare l'esempio delle coordinate sferiche nello spazio

7) Enunciare il teorema di derivazione di funzioni composte

8) Dare la definizione di campo vettoriale

9) Dare la definizione di linea di campo

10) Mostrare come si calcola il lavoro di un campo vettoriale

11) Dare la definizione di campo conservativo

12) Enunciare il lemma per il calcolo di integrale di linea per campi conservativi

13) Esporre gli operatori differenziali

14) Dare la definizione di campo irrotazionale

15) Che relazione c'è tra i campi irrotazionali e quelli conservativi?

16) Enunciare il teorema delle condizioni equivalenti per il campo conservativo

17) Esporre un esempio di un campo vettoriale irrotazionale non conservativo

18) Dare la definizione di insieme semplicemente connesso

19) Dare esempi di insiemi semplicemente connessi in e

20) Enunciare il teorema sui campi irrotazionali su insiemi aperti e semplicemente connessi

21) Dare la definizione di campo vettoriale localmente conservativo.

8) INTEGRALI DOPPI E INTEGRALI TRIPLI

1) Come viene costituito un integrale doppio per una funzione reale definita su un

rettangolo ?

2) Dare la definizione di funzione integrabile

3) Dare un esempio di funzione limitata non integrabile

4) Enunciare il teorema del criterio di integrabilità

5) Enunciare il teorema del calcolo integrale doppio su rettangoli

6) Dare le definizioni di domini semplici e regolari

7) Dare la definizione di insieme misurabile secondo Peano-Jordan

8) Dare la definizione di insieme a misura nulla e fornire esempi

9) Enunciare il teorema di integrabilità di funzioni continue e limitate definite su insiemi

regolari

10) Enunciare il teorema della formula di integrazione per dominii semplici

11) Esporre le proprietà degli integrali doppi

12) Enunciare il teorema del cambio di variabile

13) Mostrare l'esempio con coordinate polari

14) Spiegare l'integrazione per fili e per strati degli integrali tripli

15) Enunciare il teorema del cambio di variabili per integrali tripli

16) Mostrare gli esempi con coordinate sferiche e coordinate cilindriche

9) EQUAZIONI DIFFERENZIALI

1) Dare la definizione di equazione differenziale di ordine

2) Dare la definizione di soluzione di un equazione differenziale

3) Dare la definizione di problema di Cauchy

4) Esporre il modello di Malthus

5) Cos'è un equazione differenziale a variabili separabili?

6) Enunciare il teorema di esistenza e unicità per problemi di Cauchy con equazioni

differenziali ordinarie del primo ordine (Variabili separabili)

7) Mostrare che non è possibile una biforcazione delle soluzioni di equazioni regolari

7) Mostrare che non è possibile una biforcazione delle soluzioni di equazioni regolari

8) Mostrare la correzione del modello di Malthus

9) Dare la definizione di equazione differenziale lineare del primo ordine

10) Enunciare e dimostrare il teorema su integrale generale di una equazione differenziale

lineare completa

11) Esporre il metodo di variazione delle costanti per la ricerca di una soluzione particolare

dell'equazione completa

12) Enunciare il teorema del problema di Cauchy per equazioni differenziali del primo ordine

13) Come sono definiti gli spazi di funzioni: (), (), ()?

14) Dare la definizione di equazione differenziale lineare del secondo ordine

15) Dare la definizione di equazione omogenea, a coefficienti costanti, e in forma normale.

16) Dare la definizione di operatore differenziale lineare

17) Enunciare il teorema di unicità di soluzione per il problema di Cauchy

18) Enunciare e dimostrare il teorema di struttura dell’integrale generale dell’equazione

differenziale lineare completa

19) Enunciare e dimostrare il teorema di dimensione dello spazio delle soluzioni

20) Enunciare il teorema su determinante Wronskiano e indipendenza

10) SERIE DI FUNZIONI

1) Dare la definizione di serie di funzioni

2) Dare la definizione di convergenza puntuale

3) Dare la definizione di funzione somma

4) Mostrare l'esempio della serie geometrica e esponenziale

5) Dare la definizione di convergenza totale

6) Enunciare e dimostrare il teorema di continuità della somma

7) Enunciare il teorema di derivabilità termine a termine

8) Fornire un esempio

9) Enunciare il teorema di integrabilità termine a termine

10) Dare la definizione di serie di potenze

11) Enunciare il teorema del raggio di convergenza

12) Enunciare il teorema delle proprietà delle serie di potenze

13) Dare la definizione di funzione periodica

14) Dare la definizione di polinomio trigonometrico

15) Dare la definizione di serie trigonometrica

16) Esporre la derivazione di una serie trigonometrica

17) Enunciare e dimostrare il teorema di pitagora

18) Enunciare la proposizione su esistenza di base ortonormale in sottospazi a dimensione

finita

19) Enunciare il teorema della proiezione

20) Mostrare le proprietà degli integrali si serie trigonometriche

21) Dare la definizione dei coefficienti e della serie di Fourier

22) Enunciare il teorema delle proprietà delle serie di Fourier

23) Enunciare il teorema della convergenza delle serie di Fourier in norma quadratica

24) Dare la definizione di funzione regolare a tratti

25) Enunciare il teorema della convergenza puntuale delle serie di Fourier

26) Enunciare il teorema della derivabilità termine a termine della serie di Fourier

27) Enunciare il teorema sulla velocità di convergenza dei coefficienti di Fourier di una

funzione regolare.

28) Mostrare le serie di Fourier con un periodo diverso da 2

29) Mostrare la forma esponenziale complessa della serie di Fourier

Risposte

martedì 7 gennaio 2025 02:02

7) FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI A VALORI VETTORIALI

1) Una funzione in più variabili a valori vettoriali è una funzione:

: ⊆ → ⊆

2) Una funzione : → è detta continua in un punto ∈ se:

( ) ( )

lim =

→

3) Diremo che : → è differenziabile in un punto ∈ se ognuna delle sue

componenti è differenziabile in

4) La matrice Jacobiana è la matrice composta dalla famiglia di derivate parziali

⎡ ⎤

( ) ( )

⎯⎯⎯ … ⎯⎯⎯

⎢ ⎥

… … …

= , : → ⇒ ℎ

⎢ ⎥

⎢ ⎥

) )

⎯⎯⎯⎯( … ⎯⎯⎯⎯(

⎣ ⎦

5) La condizione sufficiente affinché una funzione : ⊆ → , con aperto, risulti

differenziabile in è che tutti gli elementi della sua matrice Jacobiana siano funzioni

continue in

(0,

6) : +∞)[0, )[0,2) ⊆ → = sin cos

= sin sin

(, , ) = (, , ), (, , ), (, , ) = = cos

La cui matrice Jacobiana è definita da:

sin cos cos cos − sin sin

sin sin cos sin sin cos

(,

, ) = cos − sin 0

Il cui determinante risulta essere: det = sin

7) Siano:

: ⊆ −

: ⊆ →

,

, , ∈

Sia ∈ e supponiamo che esista > 0 in modo tale che

( )

°: ⊆ →

Sia ben definita ( ).

Supponiamo che sia differenziabile in e in Allora ° è differenziabile

in e vale: )( ) ( ) ( )

( ° = ∗

8) Un campo vettoriale è una funzione a valori vettoriali in cui la dimensione del

dominio e del codominio sono uguali: : ⊆ → , ∈

9) Dato un campo vettoriale:

: ⊆ →

(),

Con ∈ chiameremo linea di campo di una quasiasi curva regolare

tangente in ogni punto ad

10) Sia una curva regolare a tratti parametrizzata da:

10) Sia una curva regolare a tratti parametrizzata da:

[,

()

= (), (), () , ∈ ]

lungo l'integrale:

Definiamo integrale di linea o lavoro di

() ()

= < , >

() ()

= (), (), () + (), (), ()

()

+ (), (), ()

11) Un campo vettoriale : ⊆ → si dice conservativo in (aperto e connesso) se

∈ C′(A) ed esista una funzione : ⊆ → detta potenziale di tale che ∈

()

e = in

= ⎯⎯⎯, = ⎯⎯⎯, = ⎯⎯⎯

12) Siano : ⊆ → un campo vettoriale conservativo

aperto e connesso

una cruva regolare a tratti con sostegno contenuto in

[,

è parametrizzata da : ] → ⊆

lungo è dato da:

Allora il lavoro di

() ()

= −

Dove =

(Essenzialmente è l'analogo in più variabili del teorema fondamentale del calcolo

integrale)

DIMOSTRAZIONE

Scrivo la dimostrazione nel caso in cui sia regolare. (Se è regolare a tratti basta

spezzara e applicare a ogni tratto la dimostrazione)

[,

()

= (), (), () , ∈ ]

() () ()

= < , > = < () , >

(°)()

= ⎯⎯ =

⏟ °() − °()

= () − ()

13) Gli operatori differenziali sono:

- GRADIENTE:

(