Appunti di Fondamenti di automatica scritti interamente al computer

AFFERMAZIONE:

La retroazione negativa unitaria non aggiunge ulteriori autovalori nascosti

DIMOSTRAZIONE:

Considerando:

Numeratore e denominatore di sono coprimi

Ora bisogna capire se le soluzioni dell'equazioni caratteristica sono tutte a parte reale negativa. Per

farlo introduciamo il Teorema di Nyquist

CRITERIO DI NYQUIST Fondamenti di Automatica Pagina 61

CRITERIO DI NYQUIST

Sia il sistema retroazionato:

IPOTESI:

Il sistema con funzione di trasferimento non ha autovalori nascosti con

Allora:

Il sistema è asintoticamente stabile se e solo se il numero di giri valutati come positivi se percorsi in

senso antiorario, negativi se in senso orario intorno a nel piano complesso del diagramma di

Nyquist di è ben definito e pari la numero di poli con di .

Se il diagramma passa per il numero di giri si dice "non ben definito"

DIMOSTRAZIONE

Introduco:

Gli zeri di sono i poli ad anello chiuso del sistema con

I poli di sono i poli ad anello aperto con

Conteggio giri:

- Singolarità esterne al percorso di Nyquist non danno contributi ai giri del diagramma di Nyquist di

attorno all'origine del piano complesso

- Zero interno a giro in senso orario

- Polo interno a giro in senso antiorario

Il numero di giri del diagramma di Nyquist di attorno a è la differenza tra il numero di Poli interni

a e il numero di Zeri interni a

Ma avendo detto prima che gli zeri di sono i poli ad anello chiuso del sistema, e i poli sono i poli ad

anello aperto, concludiamo che:

Essendo , bisogna studiare il numero di giri intorno a

OSSERVAZIONE

1) Il cirterio di Nyquist si applica a sistemi con Funzione di Trasferimento arbitraria

2) Vale anche se:

3) Si applica anche a schemi con retroazione unitaria positiva considerando

ESEMPIO

MODULO Fondamenti di Automatica Pagina 62

MODULO

FASE

POLARE e NYQUIST

CRITERIO DI NYQUIST

- Il numero di giri è ben definito? Si

- Numero di giri: -1

-

- Polo nascosto:

ESEMPIO

MODULO Fondamenti di Automatica Pagina 63

FASE

POLARE E NYQUIST

CRITERIO DI NYQUIST

- Il numero di giri è ben definito? Si

- Numero di giri: 0

-

ESEMPIO

POLARE E NYQUIST

CRITERIO DI NYQUIST

- Il numero di giri è ben definito? Dipende da :

1) Determino tale che:

Calcolo il margine di fase

2) :

Ovvero, il margine di fase è maggiore o minore allo sfasamento dovuto al ritardo?

Fondamenti di Automatica Pagina 64

Quindi:

ESEMPIO:

Considero

MODULO

FASE

POLARE

All'aumentare di , il modulo aumenta, quindi, il diagramma polare si "ingrandisce" mantenendo lo stesso

angolo

Dal momento in cui è grande tale da far "superare al diagramma di Nyquist, si perde l'asintotic stabilità

Se

Se

Ricavo :

1) Ricavo tale che:

2) Calcolo Fondamenti di Automatica Pagina 65

Quindi dobbiamo distinguere

CRITERIO DI BODE

Il criterio di Bode è migliore del Criterio di Nyquist ma richiede ipotesi aggiuntive

IPOTESI - Base:

Se il sistema rappresentato dal ha nascosti, questi devono avere

IPOTESI - Aggiuntive:

1) non ha poli con

2) , Pulsazione critica, cioè la pulsazione tale che

CONDIZIONE NECESSARIA SUFFICIENTE

La condizione necessaria e sufficiente per l'asintotica stabilità è che:

e Fondamenti di Automatica Pagina 66

ANALISI PRESTAZIONI STATICHE

lunedì 12 maggio 2025 17:46

ANALISI PRESTAZIONI STATICHE

Parlare di prestazioni statiche (ovvero "a regie") ha senso solo se esiste un regime

IPOTESI:

Il sistema è asintoticamente stabile

Analizziamo le 3 funzioni di trasferimento in gioco:

- Notare che sempre

- Notare che:

-

PSE:

ANALISI CONTRIBUTI

Analizziamo ogni contributo dell'errore separatamente:

- :

È la funzione di sensitivita:

- SCALINO Fondamenti di Automatica Pagina 67

CASO :

Ho almeno un polo in zero quindi posso scomporre in:

Essendo il sistema asintoticamente stabile e , l'unico errore possibile è

quello nullo. Se l'errore non fosse nullo, il blocco integratore andrebbe ad

aumentarlo

CASO :

Ho almeno uno zero in zero quindi posso scomporre in:

Conclusione:

- Non introdurre zeri nel regolatore

- Se ci sono zeri nel sistema da controllare non è possibile risolvere un

problema di regolazione

- SINUSOIDE Fondamenti di Automatica Pagina 68

I u L^′ p

- La funzione di trasferimento è:

- SCALINO

Essendo la stessa funzione di trasferimento di prima, l'errore è lo stesso di prima

- SINUSOIDE Valgono le stesse considerazioni fatte per la sinusoide in , viene un passa basso

- La funzione di trasferimento è:

- SCALINO

Essendo la stessa funzione di trasferimento di prima, l'errore è lo stesso di prima

- SINUSOIDE

SCHEMA DI CONTROLLO CON COMPENSAZIONE DIRETTA DEL DISTURBO (2 gradi di libertà)

Fondamenti di Automatica Pagina 69

:

Questo genera un problema, potrebbe dover avere più zeri che poli.

Soluzione:

Introduco un polo con frequenza distante almeno una decade dalla banda del disturbo

Fondamenti di Automatica Pagina 70

ANALISI PRESTAZIONI DINAMICHE

lunedì 12 maggio 2025 23:16

È lo studio delle caratteristiche di da cui dipendono il tempo di risposta del sistema e la presenza o meno di

oscillazioni

IPOTESI:

Il sistema è asintoticamente stabile per il criterio di Bode

Analizziamo le 3 funzioni di trasferimento in gioco:

- Approssimazione:

a)

b) Verifico per quali valori di vale l'approssimazione e per quali :

Abbiamo quindi scoperto che, nella progettazione di un controllore, se il margine di fase è

inferiore a 75° gradi avremo oscillazioni nella risposta

Fondamenti di Automatica Pagina 71

inferiore a 75° gradi avremo oscillazioni nella risposta

Ricavo :

Confronto l'approssimante con la funzione vera e impongo che alla pulsazione siano

uguali:

Generalizziamo ad un guadagno differente da 1, :

a)

b)

- Notare che:

- Fondamenti di Automatica Pagina 72

PROGETTO DEL REGOLATORE

domenica 18 maggio 2025 14:32

PROGETTO DEL REGOLATORE

IPOTESI

1) Gli eventuali autovalori nascosti del sistema con fdt sono tutti a

2) non ha poli con

- METODO 1:

Passaggi:

1) Progetto

CARATTERISTICHE DI :

1) STABILITÀ

Soddisfatte le condizioni:

no poli con

Devo imporre:

2) REQUISITI DI PRESTAZIONI STATICHE:

Considerando:

Voglio garantire che:

Oppure:

Per ridurre l'errore serve un integratore nell'anello:

3) ATTENUAZIONE DISTURBI LINEA DI ANDATA

Considerando il disturbo:

4) ATTENUAZIONE DISTURBI LINEA DI RITORNO

Considerando il disturbo:

Fondamenti di Automatica Pagina 73

Considerando il disturbo:

5) REQUISITI DI PRESTAZIONI DINAMICHE:

Tempo assestamento:

Entità Oscillazioni:

Ricordando che:

Con:

- NO OSILLAZIONI:

Nel caso non siano ammesse oscillazioni nel sistema

devo imporre:

Nel caso di approssimazione a singolo polo reale

( ), con il tempo di assestamento richiesto

otteniamo il valore di :

- OSCILLAZIONI "PICCOLE"

Con oscillazioni piccole si intende che il sistema

ammette oscillazioni di ampiezza

Data la sovra-elongazione massima percentuale

possibile, ricaviamo il valore minimo del coefficiente

di smorzamento

Di conseguenza, ricaviamo il valore minimo del

margine di fase

Fondamenti di Automatica Pagina 74

Mettendo il tutto insieme ricaviamo, dal tempo di

assestamento voluto, il valore di :

2) Ricavo :

OSSERVAZIONI:

- Come notiamo, con questo metodo non tengo sotto controllo la struttura di ,

sono quindi limitato visto che spesso si usano controllori commerciali (Es: PID)

- Nella scelta di devo porre attenzione al fatto che, per essere una

funzione di trasferimento, deve avere un grado relativo almeno uguale a

quello di

- 2° METODO

Struttura:

Passaggi:

1) Progetto di tenendo conto dei requisiti di prestazione statica ( )

2) Progetto di tenendo conto dei requisiti di prestazione dinamica

ESEMPIO:

MODELLO MATEMATICO

TRASFORMATA DI LAPLACE:

SISTEMA Fondamenti di Automatica Pagina 75

VERIFICA DELLE IPOTESI:

1) Gli eventuali autovalori nascosti del sistema sono a parte reale minore di 0?

Il sistema è di ordine 2 e presenta 2 poli Non ha autovalori nascosti

2) ha poli a parte reale positiva?

No

Ipotesi verificate esiste ed è unica

REQUISITI DA SODDISFARE:

Sia una posizione determinata, determinare una legge di controllo con

dipendente da tale che:

1) Il carrello si posizione nella desiderata

2) Il posizionamento avvenga in un tempo pari a circa

Se il carrello è inizialmente fermo, esso si porti in

3) senza oscillazioni

attorno a

Conseguenze:

1)

2)

3)

Traduzione in termini di :

1)

2)

3)

TENTATIVI:

- PRIMO TENTATIVO, Bassa Frequenza:

SCELGO :

Scelgo quindi , non serve introdurre altri poli

nell'origine

SCELGO :

PROVO:

Fondamenti di Automatica Pagina 76

Concludiamo che un regolatore così semplice non può funzionare

neanche variando il guadagno. Avremmo dovuto aumentare

per far passare il grafico del modulo alla pulsazione critica. Ma a

quel punto non sarebbe comunque stato rispettato il margine di

faso, quindi devo aumentare il grado di

- SECONDO TENTATIVO

Introduco uno zero che posso mettere in molti punti dove voglio a

sinistra di (Non so se subito prima o almeno una decade)

Quindi scelgo di introdurlo in , così da annullare il polo presente

e semplificare la rappresentazione dei grafici. Posso farlo perché il

polo è a parte reale negativa

PROVO:

Mi accorgo che non passa per l'asse delle alla pulsazione

critica, bisogna aumentare il guadagno

SCELGO :

PROVO

Fondamenti di Automatica Pagina 77

Mi accorgo che ora non è una funzione di trasferimento per

colpa del grado. Quindi introuco un polo. Per non rovinare il lavoro

fatto, lo inserisco ALMENO una decade a destra della pulasazione

critica

PROVO:

TRACCIARE LA RISPOSTA

CARATTERISTICHE DI TROVATA

Fondamenti di Automatica Pagina 78

Il regolatore esegue quindi un azione proporzionale e derivativa sul

segnale in ingresso

AGGIUNTA DI UN DISTURBO IN LINEA DI ANDATA

Supponiamo ora che al contributo del regolatore si sommi una forza di un

operario esercitata sul carrello

In termini di funzioni di trasferimento, possiamo ricondurre questo schema

a uno più conosciuto:

Se il segnale fosse stato uno scalino, sapremmo già che questo tendeva a

grazie all'integratore nell&