Appunti Analisi 2

Punto di accumulazione per una funzione

Per definire un punto di accumulazione per una funzione, diciamo che f è continua in sé se per ogni successione {Pn} in A tale che Pn → P, si ha che f(Pn) → f(P).

Derivate parziali

Sia f una funzione definita su un aperto A di R^2 e sia P un punto di A. La derivata parziale di f nel punto P rispetto alla prima variabile (se esiste) è la derivata parziale della funzione parziale f(x, y) rispetto a x, ovvero è il limite (se esiste finito) per Δx → 0 del rapporto incrementale:

∂f/∂x(P) = lim(Δx → 0) [f(P + Δx, y) - f(P, y)] / Δx

In modo analogo si definisce la derivata parziale rispetto alla seconda variabile.

La derivabilità non implica la continuità.

Derivata direzionale

Sia f una funzione definita su un aperto A di R^2 e sia v un vettore di direzione qualsiasi, cioè un vettore tale che ||v|| = 1. La derivata direzionale di f in lungo il vettore v è definita come:

∂f/∂v(P) = lim(t → 0) [f(P + tv) - f(P)] / t

è (se esiste) la derivata della funzione in una variabile t appartenente all'intervallo (−δ, +δ) → (0, +δ f(P + tv)) in 0. In altre parole, f è derivabile lungo il vettore v se esiste il limite: limt→0 (f(P + tv) - f(P))/t 3-Differenziabilità Consideriamo il caso di funzioni in 2 variabili: f: A → R DEF: Sia f una funzione definita su un aperto A di R2 e sia P un punto di A. Diremo che f è differenziabile in P se oltre ad essere derivabile in P il limite: lim(x,y)→(x0,y0) (f(x,y) - f(x0,y0))/(sqrt((x-x0)2 + (y-y0)2)) esiste finito. Il piano tangente al grafico di f in P è rappresentato dall'equazione: z = f(x0,y0) + dfP(x-x0,y-y0) -Il polinomio omogeneo di primo grado si chiama P.

differenziale della funzione f calcolato in e applicato al vettore incremento0( )= -P-P x-x , y y .0 0 0 (x ), y-Se una funzione f ammette derivate parziali in un punto , in tale punto si definisce il0 0vettore gradiente di f: f( ) ( )¿ x x , y , f x , y(¿ ) .0 0 y 0 0∇ (x )=grad ( )=¿f , y f x , y0 0 0 0-La differenziabilità implica la continuità Kf : A → RTEOR: Sia una funzione definita su un aperto A di differenziabile inR∈P A P. Allora f è continua in .0 0 P→ P(P) ( )f → f PDIM: Dobbiamo provare che per . Dalla differenziabilità abbiamo:0 0( ) ( ) ( )( )-f =grad + ∨¿)f P P f P ∙ P-P o(¿∨P-P0 0 0 0Applicando la disuguaglianza triangolare e la disuguaglianza di Schwarz abbiamo:| || | (| |)| |( ) ( ) ( )( ) -f ∨+¿f P P ≤ gradf P ∙ P-P o P-P0 0 0 0| || | | || | | | (| |)| |( ) ( ) +≤ gradf P ∙ P-P o P-P0

0 0| || |( )→ gradf P ∙ 0+00-La differenziabilità implica l’esistenza di tutte le derivate Kf : A → RTEOR: Sia una funzione definita su un aperto A di differenziabile inR∈P A P. Allora f ha derivate direzionali in lungo ogni direzione v e si ha:0 0Df (P )=grad (P )f ∙ v .0 0Dv ¿∨v∨¿=1DIM: Dalla differenziabilità con H=tv e abbiamo:(P + ( )=grad ( )∙(tv)+o (¿∨tv∨¿)f tv)−f P f P0 0 0( +tv)−f (P ) ( ) (¿∨tv∨¿) (P )∙f P grad f P ∙(tv)+o t grad f v o(t∨¿ v∨¿)0 0 0 0= = +t t t t( +tv)−f ( )f P P0 0 =grad (P )∙lim f v0tt→ 0-La derivabilità non implica la differenziabilità-Teorema del Differenziale Totale:4 kf : A → RSia una funzione definita su un aperto A di derivabile in tutto A con derivateR∈P A Pparziali continue in . Allora f è differenziabile in .0 0-La condizione espressa da questo teorema non è

però necessaria alla differenziabilità.

Teorema di Schwarz: Sia una funzione di classe su un aperto A di ,C Rallora: 2 2∂ f ∂ f ( )∈x , y A(x (x ), y)= , y per ogni . (derivate parziali seconde miste)∂y∂x ∂x∂y 2: A →R-Massimi e minimi in relativi : Sia f una funzione di classe su un aperto A diC( )( ) (P )f P f∈ xx 0 xy 0(P )=P A . H f2 e sia Consideriamo la matrice: che è detta laR 00 (P ) ( )f f Pyx 0 yy 0Pmatrice hessiana di f in . Possiamo notare che, in conseguenza del Teorema di Schwarz, si0(P )=f ( )f Pha e, pertanto, la matrice è simmetrica.xy 0 yx 0Avremo quindi il seguente teorema: 2 2: A → RTEOR: Sia f una funzione di classe definita su un aperto A di .C R∈P ASupponiamo che in un punto si annullino le due derivate parziali di f. Se il0 Pdeterminante della matrice hessiana in ossia:0( ) ( ) ( ) ( ) ( )=f -fdetHf P P f P P f P0 xx 0 yy 0 xy 0 yx 0P (P )<f 0è positivo,

allora è un punto estremante, quindi massimo relativo se xx 00 ( )>f P 0o minimo relativo se xx 0se è negativo, non è estremante ma è detto punto di sella se è nullo, non si ha nessuna informazione sulla natura del punto critico 5 VETTORIALI IN PIÙ VARIABILI FUNZIONI ( )k m f x , ..., xf : R → RFUNZIONI VETTORIALI DI k VARIABILI: e è un vettore1 k(f (x ), (x )),... , x ... , f ,... , x1 1 k m 1 k mTali funzioni sono anche dette campi vettoriali. Sia un'applicazione definita in unf : A → Rksottoinsieme A di .R-Limite Pk mLimite finito-finito: Sia una funzione vettoriale e sia un punto di⊂f : A R → R 0 maccumulazione per il dominio A di f. Si dice che f(P) tende ad un vettore per P cheL'∈ R ∥<P 0<∥ P−P δ>ε 0 δ> 0tende a se per ogni esiste un tale che da da (norma in0 0k m∥ (P)−l∥<P∈ A f ε) e segue che (norma in ).R R-Matrice

Jacobianam kSia un'applicazione derivabile definita su un aperto A di Denotiamo conf : A → R R .f , f , ... , f le m funzioni reali che compongono la f (sono funzioni reali di k variabili reali).1 2 m ∈P AFissato un punto , la matrice:0 Psi chiama matrice jacobiana dell'applicazione di f in (tutti i valori della matrice sono0Pcalcolati in ).0 f , f , ... , fLa matrice è composta da m righe che sono i gradienti delle componenti della1 2 mfunzione f. Quando k=m la matrice è quadrata e in questo caso ha senso il suo determinante.-Alcuni esempi di funzioni vettoriali di variabile reale sono: COORDINATE POLARI, SFERICHE ECILINDRICHE.-Divergenza e rotore (agiscono su campi vettoriali)(f (x ) ( ) ( )),... , x , f x ,... , x , ... , f x , ... , x1 1 k 2 1 k k 1 kk kDIVERGENZA Sia , un campo⊆f : A R → R (x )=¿f , ..., x1 k1 kvettoriale di classe su un aperto A di . Si definisce divergenza di F e si indica conC R¿ f la funzione avalori reali: k ∂f∑ i¿(x) = (x)f, ..., x, ..., x.1 k 1 k∂ xi=1 iDELLE DERIVATE PARZIALI DELLE COMPONENTI DI F LUNGO LA DIREZIONE DEGLISOMMAASSI (x), ( ), ( )f, y, z f x, y, z f x, y, z1 2 33 3ROTORE Sia un campo vettoriale di⊆f: A R→R, (x)=¿F, y, z1 3 rot fclasse su un aperto A di. Si definisce rotore di f e si indica la funzione aC Rvalori vettoriali: ( )∂ f ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f3 2 1 3 2 1( )= − − −rot f x, y, z, , ,∂ y ∂ z ∂ z ∂ x ∂ x ∂ y6 =0(x rot f, y, z)∈ A .dove le derivate parziali sono calcolate in Se, il campo vettoriale fè detto irrotazionale.DIFFERENZIALIEQUAZIONI-Equazioni differenziabili a variabili separabili: ' =a(x)h( )sono equazioni differenziabili del tipo dove a e h sono funzioni di una variabiley yRdefinite in aperti di. 1 ( )=a( ) )f x, y x h( ya hSupponiamo continua e di classe, quindi soddisfa lecondizioniC adel teorema di unicità e esistenza. Supponiamo poi che si annulli soltanto in punti isolati.∈y R (x)y ≡ y)=0,h( y--Se è un punto tale che allora la funzione costate è una00soluzione dell’eq. differenziale↦ ( )x y x-- Se è una soluzione non costante, per il teorema di esistenza e unicità si deve(x ))h( y ≠ 0avere per ogni x nell’intervallo I in cui è definita y (altrimenti il grafico di yintersecherebbe il grafico della soluzione costante).Se dividiamo l’uguaglianza: ' ( )( )=a ( ) (x)y x x h y( ))h( y xper avremo: ' ( )y x ( )=a x .( )( )h y xIntegrando entrambi i membri dell’uguaglianza si ottiene:' ( )y x∫ ∫ )dxdx= a(x .( )( )h y x ( )1 / h yDunque, denotando con H(y) una primitiva di (in un intervallo in cui h non si annulla)e con A(x) una primitiva di a(x) si ottiene:( )( ) ( )= +cH y x A x ,dove c è una costante arbitraria. ( )−1( )=H ( )+Ricavando laelle quali la variabile indipendente compare solo in modo lineare. Queste equazioni possono essere risolte utilizzando il metodo dell'integrazione diretta. La forma generale di un'equazione differenziale lineare del primo ordine è: dy/dx + P(x)y = Q(x) dove P(x) e Q(x) sono funzioni di x. Per risolvere questa equazione, si può utilizzare il fattore integrante, che è dato da: μ(x) = e^(∫P(x)dx) Moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per il fattore integrante, si ottiene: e^(∫P(x)dx)dy/dx + e^(∫P(x)dx)P(x)y = e^(∫P(x)dx)Q(x) L'equazione può quindi essere riscritta come: d/dx (e^(∫P(x)dx)y) = e^(∫P(x)dx)Q(x) Integrando entrambi i membri rispetto a x, si ottiene: e^(∫P(x)dx)y = ∫e^(∫P(x)dx)Q(x)dx + C dove C è una costante di integrazione. Infine, dividendo entrambi i membri per e^(∫P(x)dx), si ottiene la soluzione generale dell'equazione differenziale: y = (1/e^(∫P(x)dx)) * (∫e^(∫P(x)dx)Q(x)dx + C) Questa è la formula generale per risolvere equazioni differenziali lineari del primo ordine.