Appunti Analisi 2

ANALISI 2

FUNZIONI REALI DI PIU’ VARIABILI

1. -LIMITI

-CONTINUITA’

-DERIVATE

-DIFFERENZIABILITA’

-TEOREMA DEL DIFFERENZIALE TOTALE

-TEOREMA DI SCHWARZ

-MATRICE HESSIANA E MASSIMI E MININI

FUNZIONI VETTORIALI

2. -LIMITI

-MATRICE JACOBIANA

-DIVERGENZA E ROTORE

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

3. -A VARIABILI SEPARABILI

-LINEARI DEL PRIMO ORDINE

-LINEARI DEL SECONDO ORDINE

INTEGRALI CURVILINEI

4. -LUNGHEZZA CURVA

-INTEGRALE CURVILINEO DI FUNZIONI SCALARI

-INTEGRALE CURVILINEO DI UN CAMPO VETTORIALE

-GRADIENTE DI UNA FUNZIONE SCALARE

-CAMPO CONSERVATIVO

-APERTO CONNESSO

-X TROVARE IL POTENZIALE

-CAMPI VETTORIALI IRROTAZIONALI

-FORMULA DI GREEN

-TEOREMA DI GAUSS O DELLA DIVERGENZA

-TEOREMA DI STOKES O DEL ROTORE

-APERTI SEMPLICEMENTE CONNESSI (relazione tra campi

conservativi e irrotazionali)

SERIE NUMERICHE

5. -CONDIZIONE NECESSARIA

-SERIE A TERMINI POSITIVI

-SERIE A SEGNI ALTERNI

-CRITERIO DI LEIBNIZ

SERIE DI FUNZIONI

6. SERIE DI POTENZE

7. SERIE DI TAYLOR

8.

1 REALI DI PIU’ VARIABILI:

FUNZIONI ( )

k f x , ..., x

f : R → R

FUNZIONI SCALARI DI k VARIABILI: con un numero reale

1 k

f : A → R

Una funzione si dice reale di due (di tre, di k) variabili reali se il suo dominio A è un

3 k

di R , di R

sottoinsieme di )

2 ¿

R

-Limite in più variabili P

f : A → R

Limite finito-finito: Sia una funzione reale di k variabili reali e sia un punto

0

di accumulazione per il dominio A di f. Si dice che f(P) tende ad un numero reale l per P che

∥<

P 0<∥ P−P δ

>

ε 0 δ> 0 P∈ A

tende a se per ogni esiste un tale che da e

0 0

(

lim f P)=l

¿ (P)−l∨¿

f ε

segue che . In tal caso si scrive .

P → P 0

=( )e

P x , y P=(x , y)

-Se f è di 2 variabili, posto la definizione precedente è equivalente

0 0 0 (x )

, y

alla seguente. Si dice che f (x, y) tende ad un numero reale l per (x, y) che tende ad 0 0

> >

ε 0 δ 0 ε

se per ogni esiste un (dipendente da ) tale che da

√ 2 2

( ) ( ) ( )∈ ¿ (x

x , y A f , y)−l∨¿ ε

+ − <

0< x−x y y δ e segue .

0 0 ( )=l

lim f x , y

In tal caso si scrive .

(x )

, y)→( x , y

0 0 P

f : A → R

Limite finito-infinito: Sia una funzione reale di k variabili reali e sia un

0

+∞

punto di accumulazione per il dominio A di f. Si dice che f(P) tende a per P che tende a

∥<

P 0<∥ P−P δ

> >

M 0 δ 0

se per ogni esiste un (dipendente da M) tale che da e

0 0

P∈ A segue che f(P)>M

-Limite direzionale P→ P

Supponiamo che esista il limite per di f(P). Allora, fissata una qualunque direzione v,

0

∥v ∥=1

k

∈

cioè un vettore tale che , è facile verificare che esiste ed è uguale al

v R ( +tv)

lim f P

precedente anche il .

0

t→ 0 ¿ )

x , y →( x , y

-Nel caso ad esempio di 2 variabili, se esiste il limite per ( di f(x, y), allora,

0 0

2 2 2

∈

=(h )

fissato, un qualunque vettore tale che , è facile verificare che

v , k R +k =1

h

( +th +tk)

lim f x , y

esiste ed è uguale al precedente anche il .

0 0

t→ 0 ( +tv)

lim f P

P→ P

In altre parole, se esiste il limite per di f(P), allora il limite direzionale 0

0 t→ 0

,esiste per ogni direzione v ed è indipendente da essa. Di conseguenza, se il limite direzionale

P

(in ) dipende dalla direzione (o non esiste per qualche direzione), allora f(P) non ammette

0 P→ P

limite per .

0 xy

lim

ES. Per esempio possiamo considerare il . Fissiamo poi un vettore

2 2

+

x y

( ) ( )

x, y → 0,0

2 2 2

(h )∈ tale che e poi eseguiamo le seguenti sostituzioni: x=th e y=tk. Si

, k R +k =1

h

avrà: 2

t hk hk

=lim =hk

lim .

2 2 2 2 2 2

+t +k

t h k h

t → 0 t → 0

Ad esempio, nelle direzioni degli assi coordinati il limite viene 0, mentre nella direzione (

√ √

¿=(1/

h , k 2; 1/ 2) , cioè nella direzione della retta y=x il limite viene ½.

2

Il limite direzionale dipende quindi dalla direzione (h, k). Si può pertanto concludere che la

xy ( ) ( )

x , y → 0,0

funzione non ammette limite per .

2 2

+

x y

-L’esistenza del limite direzionale non garantisce tuttavia l’esistenza del limite.

lim x √

ES. Per esempio possiamo considerare il .

( ) ( )

x , y → 0,0 2 2

+

∙ x y

y lim h

th h

√ √

Il limite direzionale esiste ed è uguale a

2 2 2 2 2 2 t →0

| |

+t =lim +k =

lim ∙ t h k ∙ t ∙ h ∙∨t∨¿

tk k k

t → 0 t →0

k ≠ 0

0 lungo ogni direzione v =(h, k) (con ). Perciò, per l’osservazione fatta prima, se

esistesse il limite della funzione per

( ) ( )

x , y → 0,0 , esso sarebbe necessariamente uguale a 0. Però, se consideriamo il limite della

x √

+¿ 2 4

+ =1

x → 0 ∙ x x

2

x

2

restrizione della funzione data la curva con x > 0 si ottiene il

y=x ¿

lim

¿

. Perciò il limite considerato non esiste.

-Continuità di un punto ∈

P A

k

DEF (di continuità in un punto): Data e dato un punto diremo

⊆

f : A R →R 0

P P P

che f è continua in , se è un punto isolato di A oppure, nel caso che sia un

0 0 0

(P)=f ( )

lim f P

punto di accumulazione di A e vale che il .

0

P → P 0

P > >0

ε 0 γ

In ogni caso f è continua in se per ogni esiste un tale che da

0

∥ ∥<

P∈ A e P−P γ segue

0

¿ (P)−f (P )∨¿

f ε .

0 k

⊆

DEF (di continuità in un punto con le successioni): Data e dato un

f : A R → R

∈

P A P

punto di accumulazione per A diremo che f è continua in se per ogni

0 0

{ }

P P → P (P )→ (P )

f f

successione in A tale che risulta che .

n 0

n 0

n ∈

n N

-Derivate parziali =( )

P x , y

2

f : A → R

DEF: Sia una funzione definita su un aperto A di e sia un

R 0 0 0

punto di A. P

La derivata parziale di f nel punto rispetto alla prima variabile è (se esiste) la derivata in

0

x x → x

↦ ( )

x f x , y

della funzione parziale , ovvero è il limite (se esiste finito) per

0

0 0

(x )−f (x )

f , y , y ∂f

0 0 0 ( )

x , y

del rapporto incrementale e si scrive .

0 0

∂x

x−x 0

In modo analogo si definisce la derivata parziale rispetto alla seconda variabile.

-La derivabilità non implica la continuità

-Derivata direzionale ∈

P A

k

f : A → R

DEF: Sia una funzione definita su un aperto A di e sia . Fissata una

R 0

∥v ∥=1

k

∈

qualunque direzione v, cioè un vettore tale che , la derivata direzionale di f

v R

P

in lungo il vettore v è (se esiste) la derivata della funzione in una variabile

0 =0

t

∈(−δ )→ ( +

t ,+δ f P tv) in .

0 0 ( +tv)−f (P )

f P 0 0

P lim

In altre parole, f è derivabile in lungo il vettore v se esiste finito .

0 t

t→ 0

3

-Differenziabilità

Consideriamo il caso di funzioni in 2 variabili: =( )

P x , y

2

f : A → R

DEF: Sia una funzione definita su un aperto A di e sia un

R 0 0 0

P

punto di A. Diremo che f è differenziabile in se oltre ad essere derivabile il

0

( ) ( )( ) ( )( )

( ) −f −f −f

f x , y x , y P x−x P y− y

0 0 x 0 0 y 0 0 =0

lim .

√ 2 2

( ) ( )

+ −

x−x y y

( )

( )

x, y → x , y

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−f + + −

x , y f P x−x f P y y rappresenta il piano tangente al grafico di f in

0 0 x 0 0 y 0 0

(x ( ))

, y , f x , y .

0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

− =f +

df P x−x , y y P x−x f P y− y

-Il polinomio omogeneo di primo grado si

0 0 0 x 0 0 y 0 0

P

chiama differenziale della funzione f calcolato in e applicato al vettore incremento

0

( )

= −

P−P x−x , y y .

0 0 0 (x )

, y

-Se una funzione f ammette derivate parziali in un punto , in tale punto si definisce il

0 0

vettore gradiente di f: f

( ) ( )

¿ x x , y , f x , y

(¿ ) .

0 0 y 0 0

∇ (x )=grad ( )=¿

f , y f x , y

0 0 0 0

-La differenziabilità implica la continuità K

f : A → R

TEOR: Sia una funzione definita su un aperto A di differenziabile in

R

∈

P A P

. Allora f è continua in .

0 0 P→ P

(P) ( )

f → f P

DIM: Dobbiamo provare che per . Dalla differenziabilità abbiamo:

0 0

( ) ( ) ( )

( )−f =grad + ∨¿)

f P P f P ∙ P−P o(¿∨P−P

0 0 0 0

Applicando la disuguaglianza triangolare e la disuguaglianza di Schwarz abbiamo:

| |

| | (| |)

| |

( ) ( ) ( )

( ) −f ∨+¿

f P P ≤ gradf P ∙ P−P o P−P

0 0 0 0

| |

| | | |

| | | | (| |)

| |

( ) ( ) +

≤ gradf P ∙ P−P o P−P

0 0 0

| |

| |

( )

→ gradf P ∙ 0+0

0

-La differenziabilità implica l’esistenza di tutte le derivate K

f : A → R

TEOR: Sia una funzione definita su un aperto A di differenziabile in

R

∈

P A P

. Allora f ha derivate direzionali in lungo ogni direzione v e si ha:

0 0

Df (P )=grad (P )

f ∙ v .

0 0

Dv ¿∨v∨¿=1

DIM: Dalla differenziabilità con H=tv e abbiamo:

(P + ( )=grad ( )∙(tv)+o (¿∨tv∨¿)

f tv)−f P f P

0 0 0

( +tv)−f (P ) ( ) (¿∨tv∨¿) (P )∙

f P grad f P ∙(tv)+o t grad f v o(t∨¿ v∨¿)

0 0 0 0

= = +

t t t t

( +tv)−f ( )

f P P

0 0 =grad (P )∙

lim f v

0

t

t→ 0

-La derivabilità non implica la differenziabilità

-Teorema del Differenziale Totale:

4 k

f : A → R

Sia una funzione definita su un aperto A di derivabile in tutto A con derivate

R

∈

P A P

parziali continue in . Allora f è differenziabile in .

0 0

-La condizione espressa da questo teorema non è però necessaria alla differenziabilità.

2 2

f : A→R

-Teorema di Schwarz: Sia una funzione di classe su un aperto A di ,

C R

allora: 2 2

∂ f ∂ f ( )∈

x , y A

(x (x )

, y)= , y per ogni . (derivate parziali seconde miste)

∂y∂x ∂x∂y 2

: A →R

-Massimi e minimi in relativi : Sia f una funzione di classe su un aperto A di

C

( )

( ) (P )

f P f

∈ xx 0 xy 0

(P )=

P A . H f

2 e sia Consideriamo la matrice: che è detta la

R 0

0 (P ) ( )

f f P

yx 0 yy 0

P

matrice hessiana di f in . Possiamo notare che, in conseguenza del Teorema di Schwarz, si

0

(P )=f ( )

f P

ha e, pertanto, la matrice è simmetrica.

xy 0 yx 0

Avremo quindi il seguente teorema: 2 2

: A → R

TEOR: Sia f una funzione di classe definita su un aperto A di .

C R

∈

P A

Supponiamo che in un punto si annullino le due derivate parziali di f. Se il

0 P

determinante della matrice hessiana in ossia:

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=f −f

detHf P P f P P f P

0 xx 0 yy 0 xy 0 yx 0

P (P )<

f 0

è positivo, allora è un punto estremante, quindi massimo relativo se

 xx 0

0 ( )>

f P 0

o minimo relativo se xx 0

se è negativo, non è estremante ma è detto punto di sella

 se è nullo, non si ha nessuna informazione sulla natura del punto critico



5 VETTORIALI IN PIU’ VARIABILI

FUNZIONI ( )

k m f x , ..., x

f : R → R

FUNZIONI VETTORIALI DI k VARIABILI: e è un vettore

1 k

(f (x ), (x ))

,... , x ... , f ,... , x

1 1 k m 1 k m

Tali funzioni sono anche dette campi vettoriali. Sia un’applicazione definita in un

f : A → R

k

sottoinsieme A di .

R

-Limite P

k m

Limite finito-finito: Sia una funzione vettoriale e sia un punto di

⊂

f : A R → R 0 m

accumulazione per il dominio A di f. Si dice che f(P) tende ad un vettore per P che

L∈ R ∥<

P 0<∥ P−P δ

>

ε 0 δ> 0

tende a se per ogni esiste un tale che da da (norma in

0 0

k m

∥ (P)−l∥<

P∈ A f ε

) e segue che (norma in ).

R R

-Matrice Jacobiana

m k

Sia un’applicazione derivabile definita su un aperto A di Denotiamo con

f : A → R R .

f , f , ... , f le m funzioni reali che compongono la f (sono funzioni reali di k variabili reali).

1 2 m ∈

P A

Fissato un punto , la matrice:

0 P

si chiama matrice jacobiana dell’applicazione di f in (tutti i valori della matrice sono

0

P

calcolati in ).

0 f , f , ... , f

La matrice è composta da m righe che sono i gradienti delle componenti della

1 2 m

funzione f. Quando k=m la matrice è quadrata e in questo caso ha senso il suo determinante.

-Alcuni esempi di funzioni vettoriali di variabile reale sono: COORDINATE POLARI, SFERICHE E

CILINDRICHE.

-Divergenza e rotore (agiscono su campi vettoriali)

(f (x ) ( ) ( ))

,... , x , f x ,... , x , ... , f x , ... , x

1 1 k 2 1 k k 1 k

k k

DIVERGENZA Sia , un campo

⊆

f : A R → R (x )=¿

f , ..., x

1 k

1 k

vettoriale di classe su un aperto A di . Si definisce divergenza di F e si indica con

C R

¿ f la funzione a valori reali: k ∂f

∑ i

¿ (x )= (x )

f , ..., x , ... , x .

1 k 1 k

∂ x

i=1 i

DELLE DERIVATE PARZIALI DELLE COMPONENTI DI F LUNGO LA DIREZIONE DEGLI

SOMMA

ASSI (x ), ( ), (