Appunti Analisi 1 scritti al computer con domande e risposte di preparazione all'esame

TEOREMA DI CONTINUITÀ DELLA FUNZIONE INVERSA

Siano:

Allora:

DIMOSTRAZIONE

1)

2) Supponiamo che non sia monotona, ovvero:

Scelgo tale che:

Allora: Analisi Matematica 1 Pagina 27

5 DERIVATE

venerdì 11 aprile 2025 02:25

DERIVATA PRIMA

Sia:

Allora:

- Diciamo che è derivabile in se:

Quesra funzione è definita RAPPORTO INCREMENTALE

NOTAZIONE

-

-

-

-

- Diciamo che è derivabile da sinistra in se

- Diciamo che è derivabile da destra in se

Se una funzione è derivabile in possiamo scrivere:

FUNZIONE DERIVATA

Sia:

Allora esiste la funzione :

DERIVATA SECONDA

NOTAZIONE

-

-

-

-

DERIVATA ENNESIMA:

NOTAZIONE:

-

-

TEOREMA

Siano:

Allora: derivabile in continua in

DIMOSTRAZIONE

Un teorema così banale merita di essere citato perché nelle funzioni a 2 variabili questo non è vero

DIFFERENZIABILITÀ La retta verde è una generica retta passante per il punto, non necessariamente la

tangente

Analisi Matematica 1 Pagina 28

FUNZIONE DIFFERENZIABILE

Sia:

Allora:

La funzione si dice differenziabile in se esiste tale che:

è il valore di che riduce al minimo l'errore

TEOREMA DIFFERENZIABILITÀ

Sia:

Allora: differenziabile in è derivabile in ( )

DIMOSTRAZIONE

Dimostriamo prima che se è differenziabile, allora è derivabile ( ):

Dimostriamo ora che se è derivabile, allora è differenziabile ( ):

Quindi, perchè il limite sia 0:

EQUAZIONE CHE APPROSSIMA (Retta tangente)

Infatti:

REGOLE DI DERIVAZIONE

TEOREMA - Algebra delle derivate

Siano:

Allora:

Allora è derivabile in

Inoltre:

-

-

-

DIMOSTRAZIONE:

Somma/Sottrazione:

Prodotto:

Rapporto: Analisi Matematica 1 Pagina 29

Applicando ciò alla formula del prodotto dimostriamo la formula del rapporto

TEOREMA - Derivata della funzione composta

Siano

Allora:

Se è derivabile in e è derivabile in è derivabile in e

DIMOSTRAZIONE:

Da cui otteniamo:

Da cui ricaviamo:

TEOREMA - Derivata della funzione inversa

Sia

Allora:

Definisco:

Allora la derivata di in esiste ed è:

DIMOSTRAZIONE:

DERIVATE FONDAMENTALI

Le "vere" derivate fondamentali sono 4.

1)

2) - Se :

- Se

3)

4)

Attraverso l'utilizzo di queste 4 è possibile calcolare tutte le altre anche se spesso è difficile e non ha senso:

Analisi Matematica 1 Pagina 30

ESEMPI:

MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI

Sia

Allora:

Si dice che ha massimo assoluto in se

Si dice che ha massimo relativo in se

TEOREMA DI FERMAT - Massimi e minimi

Sia:

Allora:

DIMOSTRAZIONE:

La dimostrazione si suddivide in 2 casi:

- è massimo locale:

- è minimo locale:

Come prima invertendo i segni

CONSEGUENZE:

Grazie al teorema di Fermat, per cercare i massimi e minimi sappiamo che possiamo cercare tra i punti dove si annulla la derivata, i punti

di non derivabilità e in caso di dominio chiuso, gli estremi di questo

TEOREMA DI LAGRANGE

Sia:

Allora: Analisi Matematica 1 Pagina 31

Allora:

Geometricamente significa che esiste un punto in cui la tangente è parallela alla retta che unisce

DIMOSTRAZIONE:

Per Weierstrass sappiamo che ha un massimo e un minimo assoluto

Ora vediamo 2 casi:

- Se il massimo e il minimo si trovano negli estremi:

- Se non lo sono, sappiamo che almeno 1 dei 2 è all'interno e lo chiamiamo :

Per Fermat:

CONSEGUENZE:

TEOREMA TEST DI MONOTONIA

Siano:

Allora: è crescente in

è decrescente in

DIMOSTRAZIONE:

Dimostriamo per il caso di crescente, per decrescente il procedimento è analogo

La dimostrazione si suddivide in 2 parti:

- è crescente in allora,

crescente significa che se

Quindi sappiamo che:

In questo caso è sempre

- è crescente in

Per il teorema di Lagrange:g

Prendo

TEOREMA - Del "tappabuchi"

Sia: salvo al più in

Allora:

DIMOSTRAZIONE

Prendiamo con estremi e

Per il teorema di Lagrange:

Quindi:

ESEMPIO:

CONCAVITÀ E CONVESSITÀ Analisi Matematica 1 Pagina 32

CONCAVITÀ E CONVESSITÀ

FUNZIONE CONVESSA:

Siano

Allora diciamo che è convessa in se:

Diciamo invece che è strettamente convessa se:

FUNZIONE CONCAVA:

Una funzione si dice concava/strettamente concava se vale la definizione sopra scritta sostituendo con

OSSERVAZIONE:

FLESSO

Siano

Allora si dice che possiede un punto di flesso in se:

- è continua in

- è derivabile in oppure

- Se

DAL TEOREMA DI FERMAT

Sia:

Allora:

TEOREMA DI CAUCHY

Siano: continue in

derivabili in

Allora:

DIMOSTRAZIONE:

TOEREMA DI DEL'HOPITAL

Siano: derivabili in un intorno di

Allora:

Se esiste il limite

ESEMPIO:

Calcolare il grado di infinitesimo della seguente funzione:

SOLUZIONE:

Il grado di è 3,

Analisi Matematica 1 Pagina 33

Il grado di è 3,

POLINOMI DI TAYLOR

Con la derivata approssimiamo il comportamento di una funzione in un punto con un polinomio di primo grado

Scopriamo come approssimare con polinomi di grado superiore

UTILIZZIAMO UN POLINOMIO DI SECONDO GRADO:

Funzione da approssimare:

Polinomio di approssimazione:

Errore di approssimazione:

Quindi:

Quindi:

POLINOMIO DI GRADO - Caso generale:

Polinomio:

Derivate:

Tutte le derivate valutate in valgono tranne la derivata :

TEOREMA - POLINOMIO DI TAYLOR DI ORDINE CENTRATO IN

Sia: derivabile volte in

Allora: polinomio di grado che in ha in comune con il valore di tutte le derivate fino all'ordine

Lo definiamo nel seguente modo:

ESEMPIO:

Calcolare il polinomio di Taylor di ordine 4 centrato in 0

SOLUZIONE:

FORMULA DI TAYLOR

TEOREMA - FORMULA DI TAYLOR CON RESTO SECONDO PEANO

Sia: derivabile volte in

Allora:

TEOREMA - FORMULA DI TAYLOR CON RESTO SECONDO LAGRANGE

Sia: derivabile volte in

Allora:

POLINOMIO DI McLaureen

Sono polinomi di Taylor centrati nell'origine

I più famosi sono: Analisi Matematica 1 Pagina 34

OSSERVAZIONE:

ESEMPIO:

Scrivere la relativa formula di McLaureen di grado 9:

Sapendo che:

Moltiplichiamo per :

ESEMPIO:

Scrivere la relativa formula di McLaureen di grado 6:

Sapendo che:

Ottengo:

Conoscendo lo sviluppo di posso sviluppare la formula sopra:

ESEMPIO:

Discutere al variare di :

L'ordine di infinito e infinitesimo della funzione

SOLUZIONE:

Consideriamo le due componenti:

Lo sviluppo di è dato dalla sottrazione tra le 2 componenti:

-

-

-

ESEMPIO

Studiare la convergenza della seguente serie:

Analisi Matematica 1 Pagina 35

SOLUZIONE

Otteniamo quindi:

Analisi Matematica 1 Pagina 36

6 SERIE NUMERICHE

domenica 13 aprile 2025 23:01

SERIE NUMERICA

Una possibile serie associata alla successione numerica è:

SOMMA PARZIALE

Come si calcola somma di infiniti elementi?

ESEMPIO - Serie Convergente:

ESEMPIO - Serie Non Convergente:

ESEMPIO - Serie Irregolare

SERIE DI MENGOLI Analisi Matematica 1 Pagina 37

È definita il prototipo delle serie a canocchiale, ovvero, serie dove i termini si eliminano

tra loro e quindi si richiudono su loro stesse come i cannocchiali dei pirati

SERIE GEOMETRICA DI RAGIONE

TEOREMA - La condizione necessaria

Sia la serie:

Allora:

Se la serie

DIMOSTRAZIONE

Sappiamo che la serie converge, quindi, per :

Allora:

SERIE A TERMINI POSITIVI

Essendo tutti gli addendi positivi:

Di conseguenza, le serie a temini positivi possono convergere o divergere a , non

possono divergere a o essere irregolari

ESEMPIO:

Sia la serie:

È a termini positivi, quindi sicuramente non è irregolare

I suoi termini non tendono a 0, quindi sicuramente non converge

Diverge

CRITERIO DEL CONFRONTO:

Siano 2 serie a termini positivi:

Analisi Matematica 1 Pagina 38

Siano 2 serie a termini positivi:

Allora:

Se diverge converge

Se converge diverge

ESEMPIO:

Mostrare che la seguente serie converge:

Soluzione:

CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO

Siano 2 serie a terimini positivi:

Allora:

ESEMPIO:

Studiare il carattere della seguente serie:

Soluzione:

SERIE

Dagli esempi precedenti sappiamo che:

La zona la capiremo a dicembre, ora andiamo sulla fiducia

CRITERIO DEL RAPPORTO

Sia la serie a termini positivi:

Allora:

Notare che il limite sarà sempre positivo essendo la serie a termini positivi

ESEMPIO:

Studiare il carattere della seguente serie:

Analisi Matematica 1 Pagina 39

Studiare il carattere della seguente serie:

Soluzione:

CRITERIO DELLA RADICE

Sia la serie a termini positivi:

Allora:

ESEMPIO

Studiare il carattere della seguente serie:

Soluzione:

SERIE A TERMINI DI SEGNO QUALSIASI

CONVERGENZA SEMPLICE

Si dice che una sere converge semplicemente se:

Si dice che una serie converge assolutamente se:

OSSERVAZIONE

ESEMPIO

Considero:

Utilizzo il criterio del confronto:

Analisi Matematica 1 Pagina 40

ESEMPIO

Considero:

Utilizzo il criterio del confronto:

SERIE A SEGNI ALTERNI o SERIE DI LEIBNIZ

TEOREMA DI LEIBNIZ

Sia:

Allora:

ESEMPIO - La più famosa serie a segni alterni

La più famosa serie a segni alterni:

Converge semplicemente ma non assolutamente

A lezione fa alcuni altri esempi (25 ottobre)

TEOREMA DI REIMANN-DINI

Sia Analisi Matematica 1 Pagina 41

Allora: è possibile permutare gli addendi della serie in maniera tale che

la serie con gli addendi permutati converga ad

ESEMPIO

Sappiamo che:

Considero invece la stessa somma ma spostando gli addendi in modo da

prendere 1 dispari alternato a 2 pari

Sommando 2 termini si e 1 no ottengo:

Analisi Matematica 1 Pagina 42

7 INTEGRALI

venerdì 2 maggio 2025 12:30

PRIMITIVA

Sia:

Allora: si dice PRIMITIVA di se:

- è derivabile su tutto

-

Possiamo affermare che:

1) Se primitiva di

Se

2) ha una discontinuità a salto in Non esiste alcuna primitva di

Se

3) è una primitva di su è primitiva di

4) Se è una primitva di

La famiglia delle primitive di la indichiamo così:

ESEMPI:

LINEARITÀ:

Siano:

F primitiva di

primitiva di g

Allora:

TECNICHE