Appunti personali studente Analisi Matematica 1 - Corso Completo

Teoria degli Insiemi

Inclusione:

Siano A e B due insiemi qualsiasi. Si dice che A è incluso in B (A ⊆ B) se tutti gli elementi di A sono anche elementi di B.

Si dice inclusione stretta se esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A (A ⊂ B).

Se non c'è inclusione allora A ⊈ B e B ⊈ A.

Per convenzione l'insieme vuoto è incluso in ogni insieme (∅ ⊆ A, ∀ A).

Quantificatori:

∀ Per Ogni   ∃ Esiste   ∃! Esiste ed è Unico   ∄ Non Esiste

Insieme delle Parti:

Dato un insieme A, si chiama insieme delle parti l'insieme di tutti i sottoinsiemi di A (𝔸(A)).

Esempio: A = {0, 1, 2} 𝔸{A} = {∅, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}: 8 elementi

Se A contiene n elementi, allora 𝔸(A) contiene 2ⁿ elementi.

Implicazione:

Siano P₁ e P₂ due proprietà, allora P₁ implica P₂ (P₁ ⇒ P₂) significa che se P₁ è verificata, allora anche P₂ è verificata.

Se P₁ ⇒ P₂ allora ¬P₂ ⇒ ¬P₁. Questo ragionamento di negazione di una proposizione è utilizzato nelle dimostrazioni per assurdo.

Se P₁ non implica P₂ si indica con P₁ ⇏ P₂.

Teoria degli Insiemi

Inclusione:

Siano A e B due insiemi qualsiasi. Si dice che A è incluso in B (A⊆B) se tutti gli elementi di A sono anche elementi di B.

Si dice Inclusione Stretta se esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A (A⊂B).

Se non c’è inclusione allora A⊄B e B⊄A.

Per convenzione l’insieme vuoto è incluso in ogni insieme (∅⊆A, ∀A).

Quantificatori:

• ∀ Per Ogni
• ∃ Esiste
• ∄ Non Esiste

Insieme delle Parti:

Dato un insieme A, si chiama insieme delle parti l’insieme di tutti i sottoinsiemi di A ((A)).

Esempio: A = {0, 2, 3}

_A = {∅, {0}, {2}, {3}, {0,2}, {0,3}, {2,3},{0,2,3}}: 8 elementi.

Se A contiene n elementi, allora _A contiene 2ⁿ elementi.

Implicazioni:

Siano P₁ e P₂ due proprietà, allora P₁ implica P₂ (P₁ ⇒ P₂) significa che se P₁ è verificata, allora anche P₂ è verificata.

Se P₁ ⇒ P₂ allora ¬P₂ ⇒ ¬P₁. Questo ragionamento di negazione di una preposizione è utilizzato nelle dimostrazioni per assurdo.

Se P₁ non implica P₂ si indica con P₁ ⇏ P₂.

Operazioni

Dati due insiemi A, B

si chiama Intersezione A ∩ B = {x ∈ A ⋀ x ∈ B}

si chiama Unione A ∪ B = {x ∈ A ⋁ x ∈ B}

Se l'intersezione è vuota, si dice che i due insiemi sono Disgiunti

Complemento

Si definisce complemento di A rispetto a B l'insieme di tutti gli elementi di B che non sono in A B-A = {x ∈ B, x ∉ A}

Se B è l'insieme ambiente di A allora B-A = A^c

Proprietà

Commutativa

Vera sempre per Unione e Intersezione

A ∩ B = B ∩ A

A ∪ B = B ∪ A

Associativa

Vera sempre per Unione e Intersezione

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

Distributiva

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Leggi di Morgan

1. x ∈ (A ∩ B)^c ⇔ x ∉ A ∩ B ⇔ x ∉ A ⋁ x ∉ B ⇔ x ∈ A^c ⋁ B^c
2. x ∈ (A ∩ B)^c = x ∈ A^c ∪ B^c
3. x ∈ (A ∪ B)^c = x ∈ A^c ∩ B^c

Prodotto Cartesiano

Siano \(A\) e \(B\) due insiemi non vuoti

\(A \times B = \{ (a,b), a \in A, b \in B \}\)

Se \(A\) ha \(n\) elementi, e \(B\) ha \(m\) elementi. \(A \times B\) ha \(n \cdot m\) elementi.

\(A \times B \times C = \{ (a,b,c), a \in A, b \in B, c \in C \}\)

\(A^2 = A \times A\)

\(A^3 = A \times A \times A\)

\(A^m = A \times A \ldots \times A\)

Insiemi limitati

\(X \subset \mathbb{R}\) Sia \(A \subset \mathbb{R}\), \(A \neq \emptyset\)

• Si dice che \(A\) è limitato superiormente se
• \(\exists M \in \mathbb{R} / a \leq M, \forall a \in A\) \(M\) si chiama maggiorante
• Si dice che \(A\) è limitato inferiormente se
• \(\exists M \in \mathbb{R} / M \leq a, \forall a \in A\) \(M\) si chiama minorante
• Si dice che \(A\) è limitato se è limitato superiormente e inferiormente.

Estremi

Sia \(A \subset