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Teoria degli Insiemi
Inclusione
Siano A e B due insiemi qualsiasi. Si dice che A è incluso in B (A⊆B) se tutti gli elementi di A sono anche elementi di B.
Si dice inclusione stretta se esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A (A⊂B).
Se non c'è inclusione allora (A⊈B) e (B⊈A).
Per convenzione l'insieme vuoto è incluso in ogni insieme (∅⊆A, ∀A).
Quantificatori
∀ Per Ogni
∃ Esiste
Insieme delle Parti
Dato un insieme A, si chiama insieme delle parti l'insieme di tutti i sottoinsiemi di A (P(A)).
Es: A = {0; 1; 2}
PA = {∅, {0}, {1}, {2}, {0;1}, {0; 2}, {1; 2}, {0; 1; 2}} = 8 elementi
Se A contiene n elementi, allora PA contiene 2n elementi.
Implicazione
Siano P1 e P2 due proposizioni, allora P1 implica P2 (P1 ⇒ P2), significa che se P1 è verificata, allora anche P2 è verificata.
! Se P1 ⇒ P2 allora ¬P2 ⇒ ¬P1. Questo ragionamento di negazione di una proposizione è utilizzato nelle dimostrazioni per assurdo.
Se P1 non implica P2, si indica con P1 ⇏ P2.
Operazioni
Dati due insiemi A, B
si chiama intersezione A∩B = {x ∈ A ∧ x ∈ B}
si chiama unione A∪B = {x ∈ A ∨ x ∈ B}
Se l'intersezione è vuota, si dice che i due insiemi sono disgiunti
Complemento:
Si definisce complemento di A rispetto a B l'insieme di tutti
gli elementi di B che non sono in A B-A = {x∈B,x∉A}
Se B è l'insieme ambiente di A, allora B-A = Ac
Proprietà
Commutativa: Vera sempre per Unione e Intersezione
A∩B=B∩A A∪B=B∪A
Associativa: Vera sempre per Unione e Intersezione
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
Distributiva:
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
Leggi di Morgan
- x∈(A∩B)c⟺ x∉A∩B⟺ x∉A ∨ x∉B⟺⟺x∈Ac ∨ x∈Bc⟺ x∈Ac∪Bc
- x∈(A∩B)c = x∈Ac ∪ Bc
- x∈(A∪B)c = x∈Ac ∩ Bc
Forma Trigonometrica di un numero complesso
Z = r cos θ + i sin θ
r = raggio/modulo
θ = argomento
- r = √(a² + b²) = |Z| = √Z · Z̅
- a = r cos θ
- b = r sin θ
- cos θ = a/r
- sin θ = b/r
- tg θ = sen θ/cos θ = b/a = y/x
Z = [r, θ] = r (cos θ + sin θ · i)
Forma esponenziale di un numero complesso
Z = r eiθ
Prodotto
Z1 · Z2 = r1r2[(cos θ1 cos θ2 - sen θ1 sen θ2) + i(sen θ1cos θ2 cos θ1sen θ2)]
Rapporto
Z1/Z2 = [r1/r2, θ1 - θ2]
Potenza : Formula di De Moivre
Se Z è un numero complesso, Z = r eiθ
Zm = (r eiθ)m = rm eimθ
Zm = [rm, θm]
Teoremi sulle successioni
- Unicità del limite
Sia (Xn) una successione. lim Xn = l ∈ ↠. Allora l è unico.
Dimostrazione
Assumiamo che esistano 2 limiti: lim Xn = l, lim Xn = l'.
Se l è ≠ l' allora |l - l'| > 0.
Scriviamo la definizione di limite per entrambi:
∀ ε ∈ &N; |Xn - l| < ε γn ¹ Nε∀ ε ∈ &N; |Xn - l'| < ε γn ¹ Nε|Xn - l| < ε |Xn - l'| < ε
Applichiamo la disuguaglianza triangolare:
|l - l'| < ε + ε ξ γn = Max(Nε, Nε')
∀ ε ∈ ↠
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