Appunti analisi matematica 1

Preparazione orale successioni

Successioni limitate

Una successione è limitata se esistono due numeri reali, m e M, tali che a_n ≤ m ≤ M per ogni n ∈ N.

Successioni convergenti

Una successione a_n è convergente a un numero reale l se per ogni ε > 0 esiste un numero N tale che (|a_n - l| < ε) e per ogni n ∈ N (n ≥ N).

Il numero L è unico. Dimostrazione: per assurdo che esistano due numeri l₁, l₂ con l₁ ≠ l₂. Allora |l₁ - l₂| = |l₁ - a_n + a_n - l₂| < |a_n - l₁| + |a_n - l₂| < 2ε. Quindi l₁ = l₂. Esiste ed è unico ed è il limite della successione.

Proposizione: Ogni successione convergente è limitata.

Successioni divergenti

È divergente a_n → ±∞ se per ogni M > 0, esiste un numero N tale che a_n > M per ogni n > N. In tal caso si dice che lim_n→∞ a_n = ±∞.

Se diverge a_n → -∞ per ogni M > 0 esiste N tale che n < -M.

Successioni indeterminate

Una successione è detta indeterminata se non è né convergente né divergente.

Successione geometrica

lim_n→∞ qⁿ

• 0 se q > 1
• 0 se 0 < q < 1
• Non esiste se q = ±1

Monotonia delle successioni

Successioni crescenti, decrescenti, strettamente crescenti, strettamente decrescenti.

Teorema: Ogni successione monotona ha un limite. Decrescente - lim inf (minore dei maggioranti), crescente - lim sup (maggiore dei minoranti).

Proposizione sulle proprietà delle successioni

Due successioni convergenti equivalenti:

• a_n + b_n → a + b
• a_n · b_n → a · b
• a_n / b_n → a / b
• a_n → a

Dimostrazione: (per le prime poi del resto sono simili)

|a_n + b_n| = |a_n - a| + |b_n - b| < ε

Teorema della permanenza del segno

Sia (a_n) una successione e supponiamo a_n → a. Si ha che:

• Se a > 0 definitivamente, allora a_n > 0
• Se a < 0 allora a_n < 0 definitivamente

Dimostrazione: Abbiamo lim a_n = a = 0 → Per ogni ε > 0, si ha a - ε < a_n < a + ε. Scelgo ε = a/2, allora 0 < a_n < a/2 = 0.

Teorema confronto

Siano a_n, b_n, c_n tre successioni:

a_n → l, c_n → m, a_n ≤ b_n ≤ c_n

Dimostrazione: definitivamente si ha

Limiti infiniti

• a_n → ±∞, b_n → ±∞ → a_n + b_n → ±∞
• a_n → ±∞, b_n → ±∞ → a_n · b_n → ±∞
• a_n → ±∞, b_n → ±∞ → a_n / b_n → ±∞

Dimostrazione: dimostrare che a_n + b_n → ∞

Abbiamo a_n > M definitivamente ∀n ≥ k dato che era superiore e limitato.

Studio di successioni

an ∞ⁿ.1)AN bnn=0 { -∞ se x < 0, 0 se x = 0, +∞ se x > 0, bn definitivamente }

Corollario: 7an > bn definitivamente, bn -> +∞, an -> +∞

Proposizione

La successione an 1 + 2n(e¹) è monotona crescente e limitata. Essendo monotona v lim acciepunto fissa limulate. lim (1 + 1/n)ⁿ = e x 2.71

Ordine di infinito e di infinitesimo

Quelle infinite sono del tipo: logn ∛n, n², 2ⁿ, 3ⁿ, in ordine.

Definizione: Siano an, bn due successioni infinite. Si dice che...