Appunti analisi matematica 1

PREPARAZIONE ORALE

SUCCESSIONI

Una successione è una corrispondenza che associa ad ogni numero naturale n un numero reale {aₙ}. Una successione si dice limitata se esistono due numeri reali m, M tali che aₙ ≤ M per ogni n ∈ N (può essere lim. sup. re aₙ ≤ ≤ lim. inf. re aₙ ≥ m).

CONVERGENTI

Una successione aₙ è convergente se esiste un numero reale Ɛ per cui per ogni Ɛ > 0 fa esistere un numero N tale che |aₙ - l) < Ɛ per ogni n > N (limite).

E ∃ Ɛ ε costante arbitrario

il numero

UNICO dimostrazione

Dimostriamo per assurdo che esistano due numeri l₁, l₂, con l₁ ≠ l₂.

• |l₁ - l₂| = |l₁ - aₙ + aₙ - l₂| ≤ |l₁ - aₙ| + |aₙ - l₂| ≤ 2Ɛ
• |l₁ - l₂| = sarebe |l₁ - l₂| < Ɛ
• impossibile

Quindi il lim e esiste è unico ed è il limite della successione aₙ. lim aₙ = l (la successione converge a l)

PROPOSIZIONE

Ogni successione convergente è limitata

DIMOSTRAZIONE

successione convergente limitata supponiamo che {aₙ}₁ₙ sia un'equazione supponiamo che: l - Ɛ < aₙ < l + Ɛ e m = min{|l₁ - aₙ|}

• l - Ɛ < aₙ < l + Ɛ, n ∈ N ---> min {|l - Ɛ⟩} aₙ ≤ aₙ ≤ M = max

DIVERGENTI

aₙ è divergente a +∞ se per ogni M > 0 esiste un numero N tale che aₙ > M per ogni n > N, in tal caso si dice che

1. lim aₙ = +∞ (non ev un numero reale ma è un simbolo)
2. n → +∞

aₙ è divergente a -∞ se per ogni M > 0 esiste un numero N tale che n > N tale che aₙ < M, in tal caso si dice che

1. lim aₙ = -∞
2. n → +∞

INDETERMINATE

non ha limite una successione è detta indeterminata se non è ne convergente ne divergente

CASO SPECIFICO: SUCCESSIONE GEOMETRICA

lim qⁿ =

• 0 se q > 1
• 0 se q > 1
• non esiste se 9 = -1

DIMOSTRAZIONE:

tasto per N = quindi è soddisfatto per ogni n > N = logₙ M

per 9 ‖ log sempre Ɛ, 1 < q < i, tab N = log| 1 < q < 1 |

9 = quindi dove N log q / N un sempre un ...

Monotone

Sono successioni crescenti, decrescenti, strettamente crescenti o strettamente decrescenti.

Teorema: Ogni successione monotona ha limite.

• {an} crescente → lim an = sup maggiore dei minori
• {an} decrescente → lim an = inf minore dei maggiori

Proposizione sulle proprietà

Due successioni convergenti:

a_n → a , b_n → b

• an + bn → a + b
• an - bn → a - b
• an · bn → a · b
• an/bn → a/b

Dimostrazione: (per la prima poi del resto sono applicate in modo analego)

|an+bn| = |a+b| → |an+b - a - b| ≤ |an-a| + |bn-b| < 2ε.

Teorema della Permanenza del Segno

Sia {an} una successione e supponiamo an →a. Si ha che:

1. se a > 0 definitivamente, allora an > 0 definitivamente
2. se a < 0 allora an < 0 definitivamente

Dimostrazione:

Abbiamo lim an = a → Res ogni ε > 0, si ha

• (e-elicizione)

0 < ε/2 < an → dimostrato → an ≠ 0

Corollario — an, bn sono due successioni convergenti ad a e b allora an ≥ bn definitivamente → a ≥ b

(si applica an - bn ≥ 0)

Teorema Confronto

Siano an, bn, cn tre successioni; an ≤ bn ≤ cn. Allora

an→l, cn→l ⇒ bn→l

Dimostrazione: Definitivamente si ha l - ε < an ≤ bn ≤ cn < l + ε

Proposizione— Se an è limitata e bn è infinitesima, allora prodotto an·bn è infinitesimo.

Dimostrazione: se |an| ≤ M → -MS ≤ an·sn ≤ Ms quindi ^|ab|→∞

Limiti Infiniti

• an → +∞, bn ≠ 0 ⇒ an·bn → ±∞
• an ≠ 0, bn → ±∞ ⇒ an·bn → +∞
• an → ±∞, bn → ±∞ ⇒ an-bn → ±∞
• an→>0, bn→>0 ⇒ an/bn → a
• an ≈ a>0, bn → ±∞ ⇒ an/bn →0

Dimostrazione:

Dimostriamo an → cn=cn - bn ↦{M→0, abbiamo dimostrato che an+bn∉M definitivamente.} an dato che an è convergente e limitata l;an is ❌ perciò an+bn ≥ bn Poiché bn ≠ 0 si ha

Criterio del rapporto

Sia _Σan una serie a termini positivi e supponiamo che esista il

^lim _n→∞ ^a_n+1/_an = L ∈ ℝ⁺ ∪ {0, +∞}. Allora:

• L < 1 ⇒ Σa_n converge
• L > 1 ⇒ Σa_n diverge

Dimostrazione: Data che ^lim _n→∞ ^a_n+1/_an = L ∈ ℝ

c'è he per ogni ε > 0 ^a_n+1/_an < L + ε per n ≥ N, cioè

(L - ε)a_n < a_n+1 ≤ (L + ε)a_n

Avalendo la dimostrazione del criterio della radice, se si ha L = 1, N.V.:

entrambi questi criteri danno informazioni sulla somma nei casi in cui N è noto che, ad esempio:

Serie a termini di segno variabile

Una serie _Σan è detta assolutamente convergente se è convergente

la serie dei valori assoluti _Σ|an| essendo nulla per n a cambi

➔ termini positivi che ripetuti

Proposizione:

In una serie convergesse assolutamente allora converge semplicemente

in tal atto si ha che

|_Σan| ≤ _Σ|an|

Dimostrazione: Sieno {a_n}₊ = max {a_n, 0}, {a_n}_- = min {-a_n, 0}

praticamente neri {a_n} = ({a_n}_± - {a_n}) → {a_n}_± ≤ |a_n|

Per porgema del confronto {a_n}_± sono entrambe convergence

e dato che _Σan = {Σa_n} = {Σa_n}° se {Σa_n} è convergence

Serie a termini di segno alterno

Criterio di Leibniz

Consideriamo la serie _Σ(-1)ⁿan, con a_n ≥ 0. Allora

{a_n} ^decremento ∋

1. Σ(-1)ⁿa_n converge

e {a_n→0

dimostrazione: cambio variabile

RIASSUNTO CON

ORDINI DI INFINITO E DI INFINITESIMO: (come nelle successioni)

PROPOSIZIONE: Per _x → +∞ le seguenti funzioni sono infinito di ordine crescente

infatti

ASINTOTI:

DEFINIZIONE: la retta x = x₀ è un asintoto VERTICALE da destra (risp. da sinistra)

per la funzione y = mx + q è un asintoto OBLIQUO.

PROPOSIZIONE

dimostrazione:

RISULTATI FONDAMENTALI SULLE FUNZIONI CONTINUE

TEOREMA delle OPERAZIONI

FONDAMENTALI:

TEOREMA della COMPOSIZIONE:

In alcuni casi la funzione continua

DEFINIZIONE:

Teorema di Fermat

Sia f: [a,b] → ℝ una funzione derivabile in (a,b). Se x₀ ∈ (a,b) è punto di massimo e di minimo relativo allora f'(x₀) = 0

Dimostrazione: funzionando che x₀ è punto di massimo relativo

Esiste intorno I(x₀) > 0 tale che I₀ = (x₀ - d, x₀ + d) ⊂ (a,b)

(int)

f(x₀) ≤ f(x) per ogni x ∈ I₀. Pertanto per x ∈ I₀ si ha:

(a) x > x₀ →

(b) x < x₀ →

Per il teorema delle permanenze del segno si ha f'(x₀) ≥ 0 e f'(x₀) ≤ 0 quindi f'(x₀) = 0.

dunque f'(x) ha derivata orizzontale

Se f'(x) ≠ 0 potrebbe non esista un punto di minimo e di massimo.

Definizione: i punti in cui la derivata di una funzione si annullano sono detti PUNTI STAZIONARI (dunque il teorema di Fermat dice che i punti di massimo o di minimo (relativo) sono i punti stazionari.)

Teorema di Lagrange

Sia f: [a,b] → ℝ una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Allora esiste x₀ ∈ (a,b) tale che:

f(b) - f(a)/b-a = f'(x₀)

Dimostrazione: (vi possono essere più punti)

io rette che esprimono i punti (a, f(a)) e (b, f(b))

l'abbiamo:

Consideriamo ora la funzione:

g(x) = f(x) - r(x) = f(x) - ( .....) = | f(x) (..)

la funzione

f(x) è continua per definizione è funzione continua in [a,b]

derivabile in (a,b) perché f e r sono derivabili, inoltre:

Ora il teorema solo dimostrazione se esiste x₀ ∈ (a,b) tale che f(a)=

(per il teorema di Weierstrass esistono x₁,x₂ ∈ [a,b]

((p(x₁) = M) e (p(x₂) = m). Abbiamo l'appartato due casi.

(i) Se M = m → p = → esistono p(a) = 0 p(x₁) = 0

(ii) Se M > m

Teorema: Caratterizzazione della Monotonia

Sia f: (a,b) → ℝ una funzione derivabile allora:

• f crescente   ⇒   f'(x) ≥ 0   ∀ x ∈ (a,b)
• f decrescente   ⇒   f'(x) ≤ 0   ∀ x ∈ (a,b)