Appunti Analisi matematica 1 - parte 1

Numeri Real

L'insieme R è riscontrabile _l di una retta.

N = numeri naturali {1, 2, 3, ...}

Z = numeri interi {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

Q = numeri razionali {_mm ∈ Z ∧ n ∈ N}

Th k ∉ Q _generale

R \ Q = {...

CARATTERIZZAZIONE ASSIOMATICA DEI NUMERI REALI

Prop della somma

• Associativa
• Commutativa
• Neutro: 0
• Opposto

Prop del prodotto

• Associativa
• Commutativa
• Neutro: 1
• Distributiva

Prop dell'ordinamento

• Riflessiva
• Antisimmetrica
• Transitiva

Estrazione della radice n-esima

V_p ∈ ℝ₊, n ∈ ℕ.

Si cerca c ∈ ℝ₊:

• cⁿ ≈ x
• Utilizzo Bisezione:
• cercasi c con f(x) = cⁿ - x = 0

Nozioni relative a Ordinamento

Sia (E, ≤) A ⊆ ℝ dicono che A e ordinato se ∀ x, y ∈ A allora x ≤ y.

Dunque dati questi x sull'asse si necessitano:

• Infinto assoluto (minimo) questo elemento appartiene ad A ∩ ℝ quindi (c'è così 1/∞).

Nozioni

Sia (A, ∈) B ⊆ A dicono che è un insieme minimo se →

Infinitamente A e B ⊂ A.

Dove A = (E, C).

Concetto di estremo superiore e inferiore

Esistenza dell'estremo superiore a M S.

Sia β A ⊆ ℝ Assumente: α = l’incrocio degli insiemi minori di B, c.q. B ⊆ E per cada x1929.

1. Osserviamo che A ⊆ B
2. Per hip Insieme X ∈ A X B xE(lex)
3. E poi:
• M = un insieme A
• M e più parole dei magg. orienti

1. Minb = M curv

D M ⟨conj.⟩ chiamerai Estremo Superiore A M

• E collateralo bile alla seguente propr. unici...

Principio di induzione

Sn = 1+2+...+n

1. Passo base n=1: somm.. dei numeri primi Sn=1
2. Ipotesi induttiva: supponiamo che sia vogliamo - Sn = n(n+1)/2
3. Passo induttivo: supponiamo Sn=k - 1+2+...+k+...+n

Disuguaglianza di Bernoulli

Sia d≥2 vogliamo provare che (1+d)ⁿ≥1+nd

1. Per n=1: (1+d)¹=1+d - ovvio
2. (1+d)ⁿ⁺¹= (1+d)ⁿ(1+d) = ≥ 1+nd

Equipotenza e insiemi

Siano E e D sistemi E = {e₁...e_n} D = {d₁...d_{n}. Teorema di Dini}

1. f è surietiva se e solo se f: x⟶y 3x⟶1 f(x)=y. - suriettiva f.
2. f è iniettiva se ormai dim. computeran una sola volta - f: x⟶y con f(x₁)=f(x₂) - dim. cadono.

D e A sono equipotenti se esiste una corrispondenza bionivoca da D ad A.

NOZIONI SULLE FUNZIONI

Sia X e Y due insiemi, non vuoti.Se su X è definita una relazione binaria f tale che a ciascun elemento x di X corrisponda uno e un solo elemento y di Y, la relazione f è detta funzione o applicazione di X in Y. Questo si dice con la notazione classica f: X → Y; ad x detto naturale di f; f(x) = y. Si dice che x manda in y.

Domini e Immagini

Il dominio di una funzione f: X → Y è l'insieme degli elementi a cui si applica, l'insieme X.

La funzione f è iniettiva se e solo se per ogni a, b ∈ X, f(a) = f(b) implica a = b. La funzione f: X → Y è suriettiva se e solo se per ogni y ∈ Y esiste x ∈ X tale che f(x) = y.

La funzione è biiettiva se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva.