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DIM: DIM:
Primo passo (, ) + (, ) − (, ) − (, ) ≥
≥ ( + , ) − ( + , )
→ − in modo tale che
Fissato si prende
> 0
−: 1
[−()] ()
= − sup
inf
(, ) − (, ) <
∈ ∈
2
[−()]
sup ()
= − inf 1
∈
(, ) − (, ) <
∈
2
Fissato cerchiamo tale che
> 0 ∈ ∆ = sup{s(f, δ): δ ∈ ∆}
�
(−, ) − (−, ) < [,]
� = sup {s(g, δ): δ ∈ ∆}
[−()]( [−()]
) )
− � inf =
� sup (
[,]
∈
∈
=1 =1
[()]( [()]
) )
− � − sup =
(
+ � − inf
∈ ∈
=1 =1 Esiste tale che
−(, ) + (, ) = (, ) − (, ) <
( per opportuno essendo integrabile ) −
(, ) > �
[,]
Inoltre E
(−) = sup{(−, ): ∈ ∆}
� −
(, ) > �
[,] [,]
= sup{−(, ): ∈ ∆} Quindi
= − inf{(, ): ∈ ∆} − � − 2 <
�
[,] [,]
= −�
[,] < (, ) + (, ) ≤ ( + , ) ≤
� − = − � ( ≤ (∗)
≤� + )
[,] [,] [,]
Parte 2: inf() = (inf ) = inf{S(f, δ): δ ∈ ∆}
�
sup() = (sup ) [,]
+ : � = inf{S(g, δ): δ ∈ ∆}
[,]
?
inf �() + ()� =
⏞ inf () + inf () Esiste tale che
x∈I x∈I x∈I
k k k
sup�() + ()� ≤ sup�()� + sup�()� +
(, ) < �
[,]
⇒ inf ≤ () E
⇒ inf ≤ () ∀
⇒ inf + inf ≤ () + () ∀ +
(, ) < �
[,]
(
⇒ inf + inf ≤ inf + ) (∗) ( + , ) ≤ (, ) + (, ) <
Dato cerchiamo tale che
> 0 ∈ ∆ + � + 2
< �
( + , ) − ( + , ) < [,] [,]
Monotonia dell’integrale 0 () ≥ 0
− ()
= � −() () < 0
integrabili su [,
≤ , , ] OSS:
Allora + −
() ()
∀
≥ 0 ≥ 0 ∀
≤ �
� + −
− =
[,] [,] + − ||
+ =
DIM: + è integrabile
Prendo basta dimostrare che se
ℎ = − , () () ≥ 0
inf
ℎ() ≥ 0,
+
()
inf = �
0 ∃ � ∈ : (�) < 0
allora () ∃ � ∈ : (�) ≥ 0
sup
+ ()
= �
sup
≥ 0
� ℎ
0 () < 0
[,]
inf ℎ() ≥ 0, (ℎ, ) ≥ 0
∈ + +
, ) − ( , ) =
(
≥ 0
� ℎ
[,] + +
() ())( ) =
− inf
= �(sup
OSS e notazione: =1
Sia ], ] ⎧ + +
() ())( )
�(sup () > 0
− inf
⎪
limitata
: ] ] → ⎪
=1
⎪
Allora )
�(0 − 0)( () < 0
=
⎨ =1
⎪
̃
= �
� ⎪ +
⎪ () )
�(sup () = 0
− 0)(
[,]
],]
⎩ =1
Dove ≤ (, ) − (, ) <
() ∈ ], ]
̃ () = � =
⏟
∈ TEOREMA falzo di integrabilità del prodotto
Integrabilità del valore assoluto integrabili
[,
, : ] →
integrabile, allora
[,
: ] → è integrabile
∗
è integrabile e vale
|| non
Purtroppo è vero che
�� � ≤ � || � ∗ = � ∗ �
[,] [,] [,] [,] [,]
DIM: TEOREMA di additività (del dominio) dell’integrale
Primo passo: Sia [,
: ] →
sia [,
: ] → < <
si dice parte positiva di la funzione così definita
integrabile
[,]
() () ≥ 0
+ () = �
integrabile
0 () < 0 [,]
Parte negativa: è integrabile su e
[,
⇒ ]
� = � + � � , <
⎧
⎪ [,]
[,] [,] [,] 0, =
� () =
TEOREMA della media integrale ⎨
⎪ − � , >
⎩
integrabile. Allora
[,
: ] → [,]
Non si può utilizzare come variabile di integrazione
∫
[,] una lettera che appare agli estremi dell’integrale
() ≤ ≤ sup ()
inf −
∈[,] ∈[,] DEF: (funzione integrale)
Inoltre se è continua, esiste
intervallo, localmente integrabile.
⊆ : →
ξ tale che
[,
∈ ] Diremo funzione integrale di centrata in
Sia ∈ .
0
∫ la funzione
[,]
ξ
) =
( 0
− : →
0
DIM:
()
Sappiamo che = � ()
(, ) ≤ ≤ (, )
∫
0
[,]
0
∀ ∈ ∆
Si prenda {[,
= ]} Formula di Chasles
Supponiamo ora continua, per Weierstrass esistono
( addittività dell’integrale orientato )
e quindi
min max localmente integrabile,
: →
∫
[,]
min ≤ ≤ max allora
, , ∈ ,
−
[,] [,]
Per il Teorema di connessione (corollario di Bolzano) si = � () + � ()
� ()
ha che
[min DIM:
([, ]) = , max
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