Appunti Analisi matematica 1

Appunti di Analisi Matematica I

Prof. Pierpaolo Natalini

Università degli Studi Roma Tre

A.A.2019–2020

A cura di Gianmarco Toccaceli

ESERCIZIO D'ESAME

RISOLVERE LA SEGUENTE EQUAZIONE IN CAMPO COMPLESSO.

SOLUZIONE:

1. Svolgo l’equazione^z/_{i + √2} = z/2 √i (i + √2)
2. Calcolo √_−i

• √^|−i| = √^{√02 + 1} = √1 = 1
• Arg (−i) = − π/2

3. Applico la formula della radice complessa.

^√i₀ = √1 (cos (−π/2 + 2kπ)/2 + i sin (−π/2 + 2kπ)/2)

• cos (−π/4 + kπ) + i sin (−π/4 + kπ) per k = 0, 1

FISSO k = 0

z₀ = cos (−π/4) + i sin (−π/4) = √2/2 + i (−√2/2) = √2/2 (1−i)

FISSO k = 1

z₁ = cos (−π/4 + π) + i sin (−π/4 + π) =

cos (−π/4 + 4π/4) + i sin (−π/4 + 4π/4) =

cos (3/4 π) + i sin (3/4 π) =

−√2/2 i √2/2 = √2/2 (−1+i)

4. Sostituisco z₀ e z₁ all’equazione

z₂ = z₀ (√2/2 (1−i)) (i + √2) = √2 + i(−√2)i(√2 + i) =

(√2 + √2) + i (√2 + (−2)) = (2 + √2) + i (√2−2)

SOLUZIONE 1

z₃ = z₁ (√2/2 (−1+i)) (i + √2) = (−√2 + i √2)(√2 + i) =

(−2 − √2) + i(−√2 + 2) = −(2 + √2) − i (√2−2)

SOLUZIONE 2

tale che

per avvenire ciò definiamo l'insieme Q

quindi

estendiamo i 7 assiomi e 1 assioma solo dei razionali

definizione

assiomi in Q

1. _a,_b ∈ Q⁺ ⇒ _a + _b ∈ Q⁺
2. _a,_b ∈ Q⁺ ⇒ _a ⋅ _b ∈ Q⁺
3. _a ∈ Q⁺ e nemmeno il suo opposto.

Se a ∈ Q

• _a > _b ⇒ _a + -(_b) ∈ Q⁺
• 2_b ⇒ _a + -(_b) ∈ Q⁺ ₀₁ ₀₁

Pensiamo il segmento

si deduce che Q non è discreto,

supponendo che ∖_a² ∈ Q |² = 2

dimostrazione

-_z ∈ Q ∖₂ = ²ε ⇔ m dove m ∈ ℕ e

non serve perché m =m

(_m² = 2) ⇒ _m² = 2_od ⇒ _m² è pari :⇒

(_m² è pari) ⇒ _m = _eh

se _m è dispari :⇒ …

∧ 4/² + ¹ ⇒ 4¹ + ¹ + ₁

Def: Gli Intervalli (I)

I = {x ∈ ℝ / a < x < b} → "Massimo continuo di punti, finito."

⇒ I = (a, b)

Intervallo aperto.

⇒ I = {x ∈ ℝ / a ≤ x ≤ b} = (a, b]

⇒ I = {x ∈ ℝ / a ≤ x ≤ b} = [a, b] → Ins. limitato

⇒ I = {x ∈ ℝ / x ≥ a} = [a, +∞)

⇒ I = {x ∈ ℝ / x ≤ b} = (-∞, b]

ℝ = (-∞, +∞) → Insieme continuo.

Esercizio

A = {x ∈ ℚ / 0 ≤ x < 1} ⊄ [0, 1)

Non è un intervallo, poiché

0 è maggiorante di A?

• 1 ≥ x, ∀ x ∈ A? ⇒ Sì per definizione.

1 se è più preciso dei maggiorante?

• ∀ ε > 0 ∃ x ∈ A / x > 1-ε perché ℚ è denso in ℝ.

0 è minorante ed estremo inferiore per definizione.

A = {x ∈ ℚ / 1/√2 ≤ x < 1}?

1/√2 è minorante per definiz.

• 1/√2 = min A NO
• 1/√2 = inf A Sì

4) Per inf A = 0

∀x ∈ A ⇒ x > 0

∀x ∈ A ∃ε ∀|x| < 0 + ε = ossia a destra di zero non esistono minoranti.

Passaggi da verificare

∀x ∈ IN ⇒ x > 0 (sempre per definizione) ⇒ z > 0

Allora IN ⊂ S si poiché S = IN ∩ IR* \ IN ⇒ S = IN Assia, coine

⊥S = ¹⁄_ε,+8 ∩ IN \ ∅ poiché IN è illimitato superiormente

⇒ Inf A = 0 è anche un minorante

Fine dimostrazione soluzione.

Si suppone per assurdo che:

Inf A = 10^-100(quantità infinitesima, positiva, vicino allo zero)

∀x ∈ A ⇒ x ≥ 10^-100

∀x ∈ IN ⇒ x ≥ 10^-100 ⇒ 10^-100 ≤ 10

⊥S = ^{-8∩ IN}⁄_10^-100

⇒ Allora IN ⊂ S = ? ⇒ No poiché non comprende tutti i numeri appartenentia IN: ⇒ 10¹⁰⁰ non è IND

Si supponga per assurdo che:

∀x ∃ε ⇿x ∈ A | x < 10^-100+ ε ⇒ ∀ε ∃x ∈ A | x < 10^-100 + ε

∀ε ∃μ ∈ A | ¹⁄_μ < 10^-100 + ε

⇒ S = ∅ (insieme vuoto)

(Mai, poiché 10^-100 è può essere negativa, e IN nonha negativi, la condizionenon è sodd sfatta)

Dividiamo in due sottoinsiemi.

B = { x∈ℝ | x = ^2h⁄_2h+1 ∀ h ∈ ℕ₀ e m pari }

1. dove m = 2h ∀ h ∈ ℕ₀

=⇒ B = { x∈ℝ | x = ^2h⁄_2h+1 ∀ h ∈ ℕ } ⊂ A (positivi di A)

C = { x∈ℝ | x = - ^2h+1⁄_2h+2 ∀ h ∈ ℕ and m dispari }

1. dove m = 2h+1 ∀ h ∈ ℕ

=⇒ C = { x∈ℝ | x = - ^2h+1⁄_2h+2 ∀ h ∈ ℕ₀} ⊂ A (negativi di A)

Le condizioni sono: A = B ∪ C

B ∩ C = ø

=⇒ ∀ b ∈ B, ∃ c ∈ C =⇒ c < b e quindi se 1 = sup B =⇒ 1 = sup A

1. x∈B =⇒ x ≤ 1
2. ∀ h ∈ ℕ₀ ^2h⁄_2h+1 ≤ 1

⇒ an ^2h⁄_2h+1 < 0 ≤ 1 (sempre) ⇒ 1 è un maggiorante.

ℕ₀ ⊆ ⊆ ℕ₀ ok

2. ∀ > 0, ∃ x ∈ B | x > 1-

=⇒ ∀ > 0, ∃ h ∈ ℕ₀ ^2h⁄_2h+1 > 1-

=⇒ 0 > 1-2- ⇒ 2ℇh > 2 -

=⇒ h > ¹⁄_2-

=⇒ ℕ₀ = ℕ₀ ∩ (¹⁄_2-1, +∞) ≠ ø?

=⇒ Sì poiché ℕ è limitato in ℝ.

Soluzione quindi, le condizioni sono soddisfatte =⇒ 1 = Sup B =⇒ 1 = Sup A

=⇒ B_inf = inf A

4. ∀ x ∈ C =⇒ x ≥ -1
5. ∀ h ∈ ℕ₀, x = - ^2h+1⁄_2h+2 ≥ -1

=⇒ -(2h+1) ≥ -2h-2

-2h+1 ≥ -2h-2

-2 ≥ -2 (sempre) =⇒ -1 è un minorante

Es. n° 2.37 pag. 23

A={x∈A/x= (n±1)/n, ∀n∈IN}

n=1 ⇒ x=0

n=2 ⇒ x=1/2

n=3 ⇒ x=2/3

n=4 ⇒ x=3/4

n=5 ⇒ x=4/5

SOLUZIONE

1. P.SR 0 = min A
2. ∀ x ∈ A ⇒ x ≤ 0
3. ∀ n ∈ IN ⇒ (n-1)/n ≤ 0
4. n-1 ≤ 0
5. n ≤ 1 (sempre)
6. 0 ∈ A ⇒ sì

Soluzione

0 = min A = inf A ⇒ 0 è anche un minorante.

7. P.SR 1 = sup A
8. ∀ x ∈ A ⇒ x < 1
9. ∀ n ∈ IN ⇒ (n+1)/n ≤ 1
10. n+1 ≤ n
11. x² ≤ x_⁄m
12. 1-1 ≤ 0 (sempre)
13. ∀ ε > 0 ∃ x ∈ A / x > 1-ε
14. ∀ ε > 0 ∃ n ∈ IN / (n+1)/n > 1-ε
15. n - x √n - ε
16. n ε > 1
17. n > 1/ε

S^x=(1/ε, +∞) ∩ IN ≠ 0 ?

Sì, poiché in è illimitato in IR.

Soluzione

1 = sup A ⇒ ∃ è anche un maggiorante

Es. n° 139 pag. 24

A = {x ∈ R / x = n±1/n , ∀ n ∈ IN}

n=2 ⇒ x=2

n=2 ⇒ x=3/2

n=3 ⇒ x=4/3

n=4 ⇒ x=5/4

n=5 ⇒ x=6/5

supponiamo che:

1. max A = 2
2. inf A = 1