Appunti Analisi matematica 1

Appunti di analisi matematica I

Prof. Pierpaolo Natalini
Università degli Studi Roma Tre
A.A. 2019–2020
A cura di Gianmarco Toccaceli

Esercizio d'esame

Risolvere la seguente equazione in campo complesso.

1. Svolgo l'equazione \( z / (i+\sqrt{2}) = -\sqrt{i} \Rightarrow z = 2^{\sqrt{i}} (i + \sqrt{2}) \)
2. Calcolo \(\sqrt{-i}\)

   1· -i = \(\sqrt{(0)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1} = 1\)

   \(\Rightarrow\) Arg(-i) = -\(\pi/2\)

3. Applico la formula della radice complessa.

   \(\sqrt[2]{-i} = \sqrt{1} \cdot \left(\cos\left(\frac{-\pi/2 + 2k\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{-\pi/2 + 2k\pi}{2}\right)\right)\)

   {= \(\cos(-\pi/4 + k\pi) + i \sin(-\pi/4 + k\pi)\) per k = 0, 1}

4. Fisso k = 0

   \(\Rightarrow z_0 = \cos(-\pi/4) + i \sin(-\pi/4) = \sqrt{2}/2 + i(-\sqrt{2}/2) = \sqrt{2}/2 (1-i)\)

5. Fisso k = 1

   \(\Rightarrow z_1 = \cos(-\pi/4 + \pi) + i \sin(-\pi/4 + \pi)\)

   = \(\cos(-\pi/4+4\pi/4) + i \sin(-\pi/4+4\pi/4)\)

   = \(\cos(3/4 \pi) + i \sin(3/4 \pi)\)

   = \(-\sqrt{2}/2 + i \sqrt{2}/2 = \sqrt{2}/2 (-1+i)\)

6. Sostituisco \(z_0\) e \(z_1\) all'equazione

   \(\Rightarrow z_2 = z_0 \cdot (\sqrt{2}/2 (1-i)) (i + \sqrt{2}) = (\sqrt{2} + i(-\sqrt{2}))(\sqrt{2} + i) =\)

   \(\Rightarrow (2 + \sqrt{2}) + i (\sqrt{2} + (-2)) = (2 + \sqrt{2}) + i(\sqrt{2} - 2)\)

   \(\Rightarrow z_3 = z_1 \cdot (\sqrt{2}/2 (-1+i)) (i + \sqrt{2}) = (-\sqrt{2} + i \sqrt{2})(\sqrt{2} + i) =\)

   \(\Rightarrow (-2 - \sqrt{2}) + i(-\sqrt{2} + 2) = (2 + \sqrt{2}) - i (\sqrt{2} - 2)\)

Esercizio d'esame

Calcolare le primitive di \( g(t) = |t| e^{t^2} \) ma che \( G(1) = -1 \)

Svolgimento

1. Esplicito la \( g(t) \)

\( g(t) = \begin{cases} t e^{t^2} & \text{se } t \ge 0 \\ -t e^{t^2} & \text{se } t < 0 \end{cases} \)

2. Calcolo le primitive che rispettano la condizione:
3. Calcolo l'integrale \(\int_{1}^{x} t e^{t^2} \, dt\)
4. Applico sostituzione \( e^{t^2} = s \), \( 2t e^{t^2} dt = ds \), \( t e^{t^2} dt = \frac{ds}{2} \)

\(\int_{1}^{x} \frac{ds}{2} = \frac{1}{2} \int ds = \frac{1}{2} s + c \implies \frac{1}{2} e^{t^2} \bigg|_{1}^{x} = -\frac{1}{2} e^{x^2} - \frac{1}{2} e\)

\(\int_{1}^{x} t e^{t^2} dt - 1 = \frac{1}{2} e^{x^2} - \frac{1}{2} e - 1 = -1\)

\(\Rightarrow G(1) = -1 \) Si poiché \(G(1) = \frac{1}{2} e^1 - \frac{1}{2} e - 1 = -1 \text{ ok}\)

Caso \(t < 0\)

\(\int_{1}^{x} -t e^{t^2} dt = -\int_{0}^{1} t e^{t^2} dt + \int_{-1}^{x} t e^{t^2} dt = -\int_{1}^{0} t e^{t^2} dt - \int_{-1}^{x} t e^{t^2} dt = -\int_{0}^{1} t e^{t^2} dt - \int_{1}^{x} t e^{t^2} dt - 1 = \)

= \(\frac{1}{2} e^{t^2} \bigg|_{1}^{0} - \left(\frac{1}{2} e^{t^2} \bigg|_{0}^{x}\right)_{1}^{x} - 1 = \frac{1}{2} |1 + \frac{1}{2} e^{t^2} \bigg|_{x=1}^{0}\)

= \(-\frac{1}{2} e^{-1} + \frac{1}{2} e^{x^2} - 1 = -\frac{1}{2} e^{-1} e^{x^2}\)

\(\Rightarrow G(t) = \begin{cases} \frac{1}{2} e^{x^2} - \frac{1}{2} e - 1 + c \quad \text{se}\quad x \ge 0 \\ -\frac{1}{2} e - \frac{1}{2} e^{x^2} + c \quad \text{se} \quad x < 0 \end{cases}\)

\(\Rightarrow G(x)\) è continua poiché \(\lim_{x \to 0} -\frac{1}{2} e - \frac{1}{2} e^{x^2} = G(0)\)

\(\lim_{x \to 0} -\frac{1}{2} e - \frac{1}{2} e = -\frac{1}{2} e - \frac{1}{2} e\)

Esercizio

\(\forall a \in \mathbb{N}_0 \Rightarrow a\cdot0 = 0\)

Dimostrazione

Supp. che a = a·1 \(\Rightarrow a(1+0) = a·1 + a·0 = a + a·0\)

Sia a + a·\(0 = 0\) agisce come zero \(\Rightarrow\) equivale a zero.

Definizione

\(\forall a \in \mathbb{N}_0 \Rightarrow a + 1 \rightarrow\) elemento successivo di a

• 0 + 1 = 1 (1≠0)
• 1 + 1 = 2 (2≠0)
• 2 + 1 = 3 (3≠0)
• 3 + 1 = 4 (4≠0)

Assioma di Peano

Zero non è il successore di nessun numero intero non negativo.

Assioma (principio di induzione) - Assioma di Peano

Sia A ⊆ \(\mathbb{N}_0\): se

1. 0 ∈ A
2. \(\forall a \in A \Rightarrow a+1 \in A\)

\(\Rightarrow A = \mathbb{N}_0\)

I numeri interi negativi e razionali

Sap. che: \(\mathbb{N} \subseteq \mathbb{N}_0\)

Ci chiediamo: \(\forall a \in \mathbb{N}_0 \exists a \in \mathbb{N}_0 | a + \overline{a} = 0\)? \(\Rightarrow\) no

Dimostrazione

a ≠ 0 mi chiedo: a + \(\overline{a} = 0\)

\(\overline{a} = 0\) o \(\overline{a} ≠ 0\)

\(\forall a \in \mathbb{N}_0\) si dica elemento opposto di a l'elemento "-a"

-a | a + (-a) = 0

Estendiamo gli assiomi di ∈\(\mathbb{N}\) anche in \(\mathbb{Z}\).

\(\Rightarrow \mathbb{N} \subseteq \mathbb{N}_0 \subseteq \mathbb{Z}\)

Assioma (vale solo in \(\mathbb{Z}\))

\(\forall a \in \mathbb{Z} \exists -a \in \mathbb{Z}/a + (-a) = 0\)

Esercizio - Teorema (unicità dell'elemento opposto)

\(\forall a \in \mathbb{Z} \exists \overline{a} \in \mathbb{Z} |\)