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moto verticale
a = g
- X(t) = h + V0t - 1/2 gt2
- V(t) = V0 - gt
moto retto smorzato esponenzialmente
a = -kV
- V(t) = V0 e-kt
- X(t) = V0/k (1 - e-kt)
moto armonico semplice
T = 2π/ω
- X(t) = A sin(ωt + φ)
- V(t) = W A cos(ωt + φ)
- a(t) = -ω2 A sin(ωt + φ)
d2 X(t)/dt2 + ω2 x(t) = 0
moto circolare
a = aT + aN = dV(t)/dt uT + V(t)2/R uN
- aT può essere nulla se v = cost
- aN sempre ≠ 0 perchè v varia direzione
θ(t) = s(t)/R
ω(t) = V(t)/R = dθ/dt
a(t) = aT(t)/R = dω/dt
v = ω × r
v = ω r sin θ
DINAMICA
quantita di moto
\(\vec{p} = m\vec{v}\) \(\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}\)
\(\vec{J} = \text{impulso} = \Delta \vec{p}\)
se \(\vec{F} = 0\) \(\vec{J} = 0\) \(\Rightarrow \Delta \vec{p} = 0\) \(\Rightarrow \vec{p} = \text{cost.}\)
forza di attrito radente
1) statico
\(\vec{f}_a \leq \mu_s \vec{N}\) cond. di quiete
\(0 \leq f_a \leq \max \; \text{valore di} \; \mu_s \vec{N}\)
cond. di moto \(\Rightarrow\) si passa all'attrito dinamico
2) dinamico
\(\vec{f}_a = \mu_d \vec{N}\)
\(\Rightarrow \mu_d \lt \mu_s\) MINORE di quella di attr. dinamico
forza di attrito viscono
\(\vec{f}_v = -b \vec{v}\)
\(V_L = \sqrt{\frac{\mu g}{k}}\)
forza elastica
\(\vec{F} = -k \Delta \vec{x}\)
\(\vec{a} = -\omega^2 \vec{x}\)
\(T = \frac{2 \pi}{\omega}\)
Teorema dell'energia cinetica
Dimi:
WAB = ∫AB dw = ∫AB mvdv == 1/2 muB2 - 1/2 muA2 = EK B - EK A = ΔEK=> WAB = ΔEK• W > 0 EK B > EK A => |v| aumenta• W = 0 EK B = EK A => |v| constante• W < 0 EK B < EK A => |v| diminuisceEnergia potenziale
Forze conservative: forze per cui il lavoro dipende solo da posizione iniziale e finale.
WAB = f(B) - f(A)WABA = 0 => ∮ F̲ . d̲s̲ = 0WAB = ∫AB(F̲ . d̲s̲)I = ∫AB(F̲ . d̲s̲)II = f(B) - f(A) = -ΔEPΔEP = - WAB- Forza peso
- Forza elastica
DINAMICA DEI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI
forze interne / esterne
- \(\vec{F}_i = \vec{F}_i^{(E)} + \vec{F}_i^{(I)}\) → scambiate tra i punti del sistema
- interazione tra sistema e mondo esterno (si applica la 3a legge di Newton)
- \(\vec{R}^{(I)} - \sum_i \vec{F}_i^{(I)} = 0\)
\(\Rightarrow \vec{R} = \vec{R}^{(I)} + \vec{R}^{(E)} = \vec{R}^{(E)} = \sum_i \vec{F}_i^{(E)}\)
centro di massa
Def: punto geometrico la cui posizione è individuata dal raggio vettore \(\vec{R}_{CM}\)
- \(\vec{R}_{CM} = \frac{\sum_i m_i \vec{r}_i}{\sum_i m_i} = \frac{\sum_i m_i \vec{r}_i}{m_{tot}}\)
NB: la posizione di CM rispetto ai punti materiali non dipende dal sistema di Rif. mentre le sue coord. variano con il sistema di Rif. scelto
\(\vec{r}_i = \vec{r}_{CM} + \vec{o'O}\)
\(\vec{V}_{CM} = \frac{d \vec{f}_{CM}}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\sum_i m_i \vec{r}_i}{\sum_i m_i} \right) = \frac{\sum_i m_i \frac{d \vec{r}_i}{dt}}{\sum_i m_i} = \frac{\sum_i m_i \vec{v}_i}{\sum_i m_i}\)
\(\vec{V}_{CM} = \frac{\vec{P}_{tot}}{m_{tot}}\)
\(\vec{P}_{tot} = \sum_i m_i \vec{v}_i = m_{tot} \vec{v}_{CM}\)
Urto anelastico:
- quantità di moto → si conserva
- energia cinetica → non si conserva
- I punti ritornano separati
Urto completamente anelastico
- quantità di moto → si conserva
- energia cinetica → non si conserva
- I punti rimangono attaccati
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