Appunti Fisica 1

CM

 Moto di puro rotolamento: è un caso particolare di rototraslazione, l’asse di rotazione è un asse

geometrico che si sposta insieme al corpo e passa per il punto di contatto C, la velocità angolare di

rotazione e la velocità di rotazione non sono indipendenti

 La velocità di ogni punto si può scrivere come v = v + w x r , sappiamo che l’energia cinetica

p CM CM-P

1 2

=

rispetto all’asse C è uguale: che per il teorema di Huygens-Steiner diventa:

2 1 1 2

2

= +

2 2

La prima parte della somma rappresenta l’energia cinetica di un corpo che ruota attorno al CM senza

traslare, la seconda parte indica l’energia cinetica di un corpo che trasla senza ruotare.

 Equilibrio: per un corpo rigido inizialmente in quiete si ha equilibrio statico se la risultante delle

forze è uguale a 0, ed il momento delle forze è uguale a 0 rispetto a qualunque polo

GRAVITAZIONE ED ELETTROSTATICA

 Si definisce forza centrale una forza agente in una certa regione dello spazio per cui: in qualsiasi

punto la sua direzione passa sempre per un punto fisso O detto centro della forza, il modulo della

forza è funzione della distanza dal centro della stessa, F>0 repulsiva F<0 attrattiva; il momento per

le forze centrali rispetto al centro della forza è sempre =0 perché r ed F hanno sempre la stessa

direzione, il momento angolare rispetto al centro della forza è costante (conservazione), le forze

centrali sono conservative ossia il lavoro è dato dalla variazione delle coordinate A e B di una

funzione ed è l’opposto dell’energia potenziale

Dato un punto P che si muove lungo una traiettoria la velocità areale (rapidità con cui viene

spazzata l’area dal vettore r) dA/dt rimane costante. (si può dimostrare facendo la derivata della

posizione sul tempo, avremo 2 termini per la velocità, considerato il momento angolare un termine

sarà uguale a 0 e l’altro costante.)

 Leggi di Keplero: 1 i pianeti percorrono orbite ellittiche intorno al sole che occupa uno dei fuochi

dell’ellisse; 2: la velocità areale con cui il raggio vettore che unisce il sole ad un pianeta è costante;

3: Il quadrato del periodo di rivoluzione di ogni pianeta è proporzionale al cubo del semiasse

2 3

maggiore dell’ellisse: T =ka

 Spiegazione dinamica di newton: consideriamo per semplicità un orbita circolare, la velocità areale

2

è ½ r d(teta)/dt = cost ma dato che r è costante anche la variazione di teta nel tempo è costante

quindi significa che la velocità angolare è costante (alfa e accelerazione tangenziale =0)

2

2

2 2

= = = ( )

Tornando al concetto di forza, in questo caso

2

4 ∗

=

Applicando la 3 legge di Keplero: 2

∗

2

4 ∗

=

Quindi sappiamo che ma per il principio di azione reazione sappiamo che:

, 2

∗

2 2

4 ∗ 4 ∗

= = =

, ,

2 2

∗ ∗

2 2

4 4

= = = =

Da cui:

∗

= = =

Per cui il modulo dell’interazione terra sole: , , 2

 Un’altra interazione fondamentale è quella elettromgetica, un aspetto particolare è la forza

elettrica, definiamo la forza fra due cariche a distanza r, definiamo k ed epsilon(0), dire con cosa è

proporzionale, repulsivo o attrattiva, sovrapposizione degli effetti nel caso di più cariche.

 Si può studiare l’interazione tra due masse/cariche tramite il concetto di campo, carica che

perturba lo spazio circostante e che una seconda carica che immersa nel campo risente dell’effetto

della perturbazione. Definiamo quindi il vettore campo in un punto p distante r dall’origine del

campo come il prodotto tra una costante la massa del corpo che genera il campo fratto la distanza

al quadrato. Nel caso elettrostatico definire direzione e verso del vettore campo. Relazione forza-

= ∗ ,

campo: rappresentazione del campo tramite linee di forza.

 Introduciamo l’energia potenziale dimostrando che la forza gravitazionale ed elettrostatica è

conservativa ( partendo da W=Fds=Eqds), essa è definita a meno di una costante, quando q si

avvicina a q0 il lavoro è positivo Ek aumento Ep diminuisce. Lo stesso quando le cariche si

allontanano.

 Introduciamo la funzione scalare potenziale generato da m o q, come il rapporto tra Ep e m0/qo;

sapendo che fra F e Ep esiste questa relazione:

−( )

)

= ∗ = −( = ∗ = − ()

= −()

 Consideriamo un sistema formato da due masse il segno dell’energia meccanica da la tipologia di

traiettoria percorsa da m2 rispetto ad m1: Em>0 orbita iperbolica (Ek>|Ep| la forza gravitazionale

incurva solamente la traiettoria); Em=0 parabolica; E<0 ellittica

 2

Teorema di Gauss: è valida solo per campi con dipendenza dalla sorgente del tipo: 1/r intanto

bisogna definire il flusso: consideriamo una superficie infinitesima immersa in un campo, il flusso è

∑

= ∗ ∗

il numero di linee di campo che passano attraverso la superficie: ∫

I contributi positivi dell’integrale sono quelle zone dove C è uscente dalla superficie viceversa i

contributi negativi.

=

Consideriamo il campo elettrostatico calcoliamo il flusso attraverso l’elemento di

2

4

0

∑

= ∗ ∗ =

superficie d∑: d

∑ ∑ ∑

cos ()

= = =

0

2 2 2

4 4 4

0 0 0

Dove teta è l’angolo tra i due versori ∑ è la proiezione di ∑ sul piano perpendicolare a u ; per

0 r

2

definizione d∑ /r è l’angolo solido sotto cui viene visto, dalla carica q, il contorno di d∑, per cui:

0

= Ω

4 0

Il flusso dipende solo dall’angolo solido e non dalla superficie ne dalla distanza dalla carica.

Calcolo del flusso in una superficie chiusa: se la carica è interna l’angolo solido = 4pi quindi il flusso è uguale

alla carica fratto epsilon(0), se la carica è esterna invece il flusso è uguale a 0 dato che il numero di linee

che entrano è uguale a quelle che escono.

Teorema di gauss su una distribuzione sferica di massa o carica: per r>R applichiamo Gauss:

2

( ) ∑

= ∗ ∗ = ∗ 4 = (in questo caso ur e un hanno la stessa direzione)

∫ 0

= 2

4

0

Per r<R considerato che all’interno della superficie sferica esiste una carica distribuita uniformemente così

3

() = ∗

definita: , applicando come nel caso precedente la legge di gauss otteniamo:

3

() = ∗

3

4

0

Possiamo calcolare i potenziali sapendo il campo è uguale a meno gradiente dell’energia potenziale:

()

: = −

( ) ()

∫ ∫

> = − = − =

2

4 4

0 0 2

( ) ()

∫ ∫ ∫

< = − = − = − ∗ = − ∗

2 3 3

4 4 4 2

0 0 0

Guardare i grafici di campo e potenziale.

PROPIETA’ MECCANICHE DEI FLUIDI

 Fluido: sostanza liquida o gassosa che aasume la forma del recipiente che la contiene, non sostiene

gli sforzi di taglio (no attrito statico), liquidi hanno un volume definito non sono comprimibili

viceversa i gas; i fluidi sono sistemi continui composti da un numero infinito di elementi di massa

dm=pdv; per ogni elemento dm si considerano forze di volume proporzionali a dv e forze di

pressione proporzionali a ds;

 Pressione è una grandezza scalare, è il rapporto di una forza su una superficie direzione

perpendicolare alla superficie

 = ∗ ℎ = ∗ ∗ ℎ = ∗

Lavoro delle forze di pressione:

 Equilibrio statico di un fluido: F=Fv+Fp=0 consideriamo un elemento di forma cubica di massa dm;

p(z)ds p(z dz)ds (() (()

– + = − + )) =

componenti scalari di Fp lungo z:

− = = −

= =

componenti scalari di Fv lungo z:

queste relazioni valgono in tutte e tre le direzioni, quindi riscrivendo la prima equazione del punto

= ()

otteniamo che se in un fluido in quiete agisce un forza di volume la pressione non

può essere costante perché deve variare per mantenere l’equilibrio statico

 Dalla relazione precedente otteniamo la legge di stevino: supponiamo che su un fluido agisce la

= − →

forza peso, avremo variazione di pressione solo nella direzione z, quindi:

(2 1) −(2 1)

− = − → 1 = 0 + ℎ la pressione ad una profondità h dipende

dalla pressione esterna è da una quantità che dipende linearmente dalla profondità

 Legge di pascal: tutti i punti in un fluido subiscono la stessa variazione di pressione (pressa

idraulica), vasi comunicanti.

 Principio di archimede: un corpo immerso in un fluido riceve una spinta dal basso verso l’alto pari

al peso del fluido spostato, la forza di archimede viene applicata al CM del fluido spostato mentre

la forza peso nel CM dell’oggetto, se i due CM non coincidono nasce un momento.

 Quando si verifica uno scorrimento tra due elementi di fluido c