Appunti fisica

Momento di un vettore applicato

Definizione

M_o ≡ (P-O) × (X-P)

Momento del vettore applicato in P rispetto ad O (centro di riduzione)

(P-X) è vettore applicato in P

Quando il momento è zero?

• Se uno dei vettori è zero
• Se i due vettori sono paralleli

Consideriamo un insieme di vettori f_i, definiamo

Vettore risultante F:

F = ∑_i=1ⁿ f_i

(Si tratta ovviamente di una somma vettoriale)

Si definisce momento risultante dei momenti:

M_O^TOT = ∑_i=1ⁿ M_Oi = ∑_i=1ⁿ (P_i-O) × f_i

Se la risultante F è uguale a zero, allora la risultante dei momenti è indipendente dalla scelta del centro di riduzione :

M_O^TOT = ∑ (P_i-O) × f_i = ∑ (P_i-O+O'-O') × f_i =

= ∑ (P_i-O') × f_i + (O'-O) × ∑ f_i = M_O'^TOT + (O'-O) × F

Ma se F = 0

M_O^TOT = M_O'^TOT

Perché parliamo di momento? In quanto lavoriamo con vettori applicati

Quando calcoliamo

Proprietà

Il momento di (P,S) non cambia se riporta il vettore lungo la propria retta d'azione.

B'O' = (P - O) ∧ S = |d1|·|S|·senθ = b'|S|

Velocità

La velocità descrive quanto rapidamente scorre la posizione.

Sperimentalmente, questo corrisponde a rilevare la posizione dei punti ad istanti di tempo successivi e dividere per il tempo intercorso tra di essi.

Per affinare la misurazione occorre effettuare misure di posizione ad intervalli di tempo sempre più piccoli.

Concettualmente facciamo quindi la derivata:

Δ_t(t) = lim_Δt→0 ½_x(t+Δt) − ½_x(t) / Δt = d½_x(t) / dt = ½_v(t)

In coordinate cartesiane:

Δ_t = dx/dt_x + dy/dt_y + dz/dt_z

|Δ| = √ v_x² + v_y² → modulo della velocità

In coordinate intrinseche:

Δ_t = ds_s(t)ô(s) = &oscbo(quoz)

Con ô sempre tangente alla traiettoria nell'istante considerato, che è evidentemente in funzione del tempo.

La velocità istantanea di un punto è tangente alla traiettoria.

Ūx

x = r₁cosϴ₀ + r₁ϴ₀senϴ₀ - ϴ²r₁cosϴ₀

y = r₁senϴ₀ + r₁ϴ₀cosϴ₀ - ϴ²r₁sinϴ₀

Notiamo che i versori Ūr e Ūϴ non sono indipendenti dal tempo.

Ūr = cosϴ Ūx + sinϴ Ūy

Ūϴ = -sinϴ Ūx + cosϴ Ūy

RISOLTA

Ūr = -sinϴ Ūx + cosϴ Ūy = ϴ' Ūϴ

Ūϴ = -cosϴ Ūx - sinϴ Ūy = -ϴ' Ūr

le espressioni delle velocita risultano quindi:

Deriviamo rispetto al tempo il raggio vettore

Ūr(t) = Ūr(t) (t) (t)

v = dr₂/dt + r₂dϴ/dt Ūϴ v r =

= ṙ Ūr + rϴ' Ūϴ

Accelerazione

a = ṙ Ūr t ḟ Ūϴ + rϴ' Ūr + ṙϴ Ūr + ṙ² Ūr

= [ ̇(r₂−₂ϴ') Ūr + (r₂ϴ' − ṙϴ') Ūϴ]

Che può anche essere scritta come:

a = (ṙ−ϴ) Ṫ Ūr + Ṙ₂ d/dt ŪΘ

Moti unidimensionali

Forza nulla

→ moto rettilineo uniforme

Esplicando il II principio avremo:

F_ris = 0 ⇒ ma = 0 ⇒ a = 0

Essendo il moto parallelo all'asse x (lo potessimo), possiamo scrivere:

F_x u_x = 0 ⇒ equazione di moto

A questo punto insperiamo per trovare la velocità

NB: deve sempre redarsi ad un integrale definito.

∫₀^t ẋ dt = ẋ(t) - ẋ(0) = 0 dunque

ẋ(t) = ẋ(0)

Insperiamo ancora per trovare lo spazio

∫₀^t ẋ dt = ∫₀^t ẋ(0) dt = ẋ(0) t

quindi ⇒

x(t) = x(0)t + x(0)

Legge oraria

FORZA DIPENDENTE DAL TEMPO

^F_x = f(t) î_x

II principio:

mẍ = f(t) → ẋ = ¹/_m f(u)

Integr→ per trovare velocità

x(t) - x(0) = ¹/_m ∫₀^t f(u)dt

Integr→ per trovare la posizione

x(t) - x(0) = x(0)t + ¹/₂ ∫₀^t ∫₀^t f(t₁)dt₁ dt

DISTINGUIAMO DUE TIPI DI MOTI

MOTO INDIPENDENTE: il moto in ciascuna direzione non dipende dalle altre

MOTO DIPENDENTE: gli altri casi

Un esempio di moto indipendente è quando si ha che le sole forze sono

_z = -mg_z   F_x = F_y = 0

Applico il II principio e ottengo

• x = _inizio   x(0) = x(0)   x(t) = x(0) + x(0) t
• y = _inizio   y(0) = y(0)   y(t) = y(0) + y(0) t
• z = z   2(t) = 2(0) + g   2(t) = 1/2 g² 2(0) t + 2(0)

Questo esempio ci riconduce in particolare al campo delle balistiche ovvero moto di un corpo (punto) soggetto alla sola forza peso

Possiamo ricondurci al caso unidimensionale scegliendo

un SR   le si muove in velocità x(0) e y(0),

in modo che x e gatitutivo stampa nulla

GITMAT HP: y = 0 t   x(0) = 0

x  

t = 2z(0) g

Digifitato

Come si calcola gitato?

t = x(t) x(0) prend 2(t) = 0

Quindi ho:

0 = -13

g [  (x)( x(0) x(0)

x(t) = 0 - 2z(0) x(0) g

Quando ha la massima gitata

D = 2  _{l'altra cos =}   v₀ ^2(ok) MAX se x/3 = U⁰ = 30   D = v₀ ²

La legge oraria diventa quindi

Θ(t) = Θ₀cosnt + Θ₀senwt

ω = √g/l, T = 2π/ω = 2π√l/g

Se conosco la lunghezza del filo, misuro g.

e è indipendente da massa e dall'ampiezza oscillazioni.

Anzi ultimo caso per l'approssimazione seno > >0

Piano inclinato

Caso statico

N = mg cos θ

FA = mg sin θ

μ_s affinché compaia il primo moto: (minimo)

μ_s = FA / N = tan θ

Caso dinamico:

mẍ = mg sin θ - F_attrito

N = mg cos θ (ẏ = 0)

Sostituzione:

mẍ = mg sin θ - μd mg cos θ

ẍ = g (sin θ - μd cos θ)

Dimostriamo teorema forze vive in un altro modo:

dL = F ds = m a_x ds = m dv_x dt ⋅ v_x dt = m/2 dv_x² dt =

= d(1/2 mv²) dt

Se integriamo:

∫_A^B dT/dt dt = T(B) - T(A)

Non c'è bisogno che ancora cinetivoca possa sappia velocità inziale e finale

Tale discorso vale anche per i corpi estesi. Vale il principio di sovrapposizione degli effetti

Se forza e velocità sono 90° il prodotto scalare è zero, quindi W=0

Ciò avviene ad esempio nel moto circolare

È costante il modulo della velocità, non la velocità intesa come vettore