Appunti fisica

MOMENTO DI UN VETTORE APPLICATO

DEFINIZIONE: _O = (P-O) x (X-P)

momento del vettore applicato in P rispetto ad O (centro di riduzione)

(P-X) = vettore applicato in P

Quando il momento e zero?

• se uno dei vettori è zero
• se i due vettori sono paralleli

Consideriamo un insieme di vettori _i definiamo vettore risultante ΔT:

_ΔT = ^m∑_{i=1 Δi} ^{(si tratta ovviamente di una somma vettoriale)}

Si definisce momento risultante dei momenti:

_OTOT = ∑_i=1 [_Oi] = ∑_i=1 (R_i-O) ^ Δ_i

La risultante dei momenti deriva dal momento della risultante

Se la risultante ΔT è uguale a zero, allora la risultante dei momenti è indipendente dalla scelta del centro di riduzione:

P_oTOT = ∑(R_i-O) ^ Δ_i = ∑(R_i-o+o'O'o') ^ Δ_i =

= ∑(R_i-o') ^ Δ_i + (o'-o) ^ ∑ Δ_i = _OTOT + (o'-o) ^ 0

Ma se ΔT=0

_OTOT = _oTOT

Perché parliamo di momento? In quanto lavoriamo con vettori applicati quando calcoliamo

Derivata di un vettore

Se una grandezza vettoriale dipende da una grandezza scalare, possiamo estendere il concetto di derivata ai vettori facendo usodelle definizioni di somma e differenza tra vettori e prodotto di un vettore per uno scalare.

Supponiamo che il vettore r dipenda dal tempo

La derivata di r vettore var:

v = ^dr/_dt = lim_∆t→0 (v(t+∆t) - v(t)) / ∆t

N.B.: Anche se un vettore ha modulo costante possono variarenel tempo anche direzione e verso. Dunque la deriva-ta non sarà quella di una costante e quindi nulla

Se siamo in un sistema di riferimento in cui i vettori degliassi non dipendono dal tempo possiamo scrivere la componente cartesiana del vettore derivato v come

• V_x = ^dx/_dt
• V_y = ^dy/_dt
• V_z = ^dz/_dt

Casco della derivata di un versore

∥u(∆t + ∆t)∥ = ∥u(∆t)∥ = 1

^d(u•u)/_dt = ^du2/_dt = 0

Quindi

^{d(u • u)}/_dt - ^{du • u}/_dt - ^du/_dt • u - 2 ^{d(u • u)}/_dt - 0 → ^d/_dt = 0

Deduciamo quindi che il vettore e la sua derivata

sono vettori perpendicolari tra di loro.

Se due vettori sono perpendicolari tra di loro è

sempre possibile trovare un terzo vettore, il che sia

perpendicolare a entrambi e tale da:

_d^û / _dt = ^ω ∧ ^û

INTEGRALE DI UN VETTORE

^r_t0 = ∫ ^v _t dt

Se i vettori degli assi del S.R. sono indipendenti dal tempo:

r_x = ∫ v_x dt, r_y = ∫ v_y dt, r_z = ∫ v_z dt

Velocità

La velocità descrive quanto rapidamente varia la posizione. Sperimentalmente questo corrisponde a rilevare la posizione del punto in due istanti di tempo successivi e dividere per il tempo intercorso tra di essi.

Per affinare la misurazione occorre effettuare misure di posizione ad intervalli di tempo sempre più piccoli. Concettualmente facciamo quindi le derivate.

_v(t) = ^lim_Δt→0 ( _r(t+Δt)−_r(t) )/Δt = d_r(t)/dt = _v(t)

In coordinate cartesiane

_v(t) = dx/dt î_x + dy/dt ĵ_y + dz/dt k̂_z

||= √v₁²+v₂²+v₃² modulo della velocità

In coordinate intrinseche

Δ(s) = d(s(t))/dt t̂(s) ≡ ṡ(t) t̂(t)

Con t̂ versore tangente alla traiettoria nell'istante considerato che è evidentemente in funzione del tempo. La velocità istantanea di un punto è tangente alla traiettoria.

Accelerazione

L’accelerazione rappresenta la variazione temporale della velocità:

a(t) = d𝒱/dt = d2r(t)/dt2 - r(t)

In coordinate cartesiane:

a(t) = d𝒱₁/dt 𝛼₁ + d𝒱₂/dt 𝛼₂ + d𝒱₃/dt 𝛼₃ =

= d2x/dt2 𝛼₁ + d2y/dt2 &