Analisi Matematica I - Teoremi con dimostrazione ed esercizi d'esame risolti

Settore: MAT/05

ANALISI MATEMATICA I

Teoria & Esercizi

UNIMORE

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MODENA E REGGIO EMILIA

Filippo Ribes

Settore: MAT/05

ANALISI MATEMATICA I

Teoria & Esercizi

UNIMOREUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MODENA E REGGIO EMILIA

Filippo RibesNOTEWAVE_RF

Autore degli appunti: Filippo Ribes

Gli appunti sono stati scritti prendendo informazioni da fonti varie, quali professori universitari di UniMORE e ricerche online.

Per dubbi, chiarimenti o altro, mi trovi su Instagram:

ig: NoteWave_RF

ig: fil_ribes

TEORIA

CAPITOLO I: Numeri reali

Ente matematico atto a misurare numericamente ogni grandezza.

• N numeri naturali: {1, 2, 3, ...}
• Z numeri interi/relativi: {..., -2, -1, 0, +1, +2, ...}
• Q numeri razionali: \( \frac{K}{M} \, | \, K \in Z, \, M \in N \)
• I numeri irrazionali: {R \ Q}

Caratterizzazione assiomatica di R

• Assiomi relativi alla somma:
  1. proprietà associativa: ∀a,b,c ∈ R: (a+b)+c = a+(b+c)
  2. proprietà commutativa: ∀a,b ∈ R: a+b = b+a
  3. elemento neutro: ∃0 ∈ R ∀a ∈ R: a+0=a
  4. l'opposto: ∀a ∈ R ∃e ∈ R: a+e=0
• Assiomi relativi al prodotto:
  1. proprietà associativa: (a⋅b)⋅c = a⋅(b⋅c)
  2. proprietà commutativa: a⋅b = b⋅a
  3. elemento neutro: a⋅1 = a
  4. l'opposto: a⋅y = 1
  5. proprietà distributiva: a(b+c)=a⋅b+a⋅c
  Dagli assiomi si deduce che: a⋅0 = 0 e a⋅x = 0 ⇔ a = 0 ∨ x = 0
• Assiomi relativi all'ordinamento:
  1. proprietà transitiva: a≤b b≤c ⇒ a≤c
  2. proprietà antisimmetrica: a≤b e b≤a ⇒ a=b
  3. dicotomia: a0, a≤b ⇒ a⋅x ≤ b⋅x
• Assioma di completezza: Comunque scelti A, B ∈ R entrembi ≠ ∅ e tali che ∀a ∈ A, ∀b ∈ B si ha x < y, essi assumono un elemento separatore

∃ε∈ℝ∣∀x∈A, ∀y∈B, ∃z⩽ε∣x⩽z⩽y

Da tale assioma si può dedurre l'esistenza ed unicità della radice di un numero positivo. ∀c ∈ ℝ \ ∀n∈ℕ, ∃!z∈ℝ∣z^n = c e scriveremo: z = n√c.

Proprietà relative all'ordinamento

Massimo

Sia A⊆ℝ, A ≠ ∅. Diciamo che A ammette massimo ⇔

⇔ ∃M∈A | ∀x∈A, x⩽M. Tale elemento M se esiste è necessariamente unico. Infatti, posto M'⩽M, per assurdo un altro massimo ⇒ M'⩾M (M' è massimo), M⩾M' (M è massimo)

⇒ M'\=M ⊡ assurdo.

Minimo

Diciamo invece, che A ammette minimo ⇔ ∃m∈A | ∀x∈A, x⩾m.

Tale elemento m, se esiste, è necessariamente unico.

Maggiorante

Sia A ⊆ ℝ, A ≠ ∅ e sia L∈ℝ. Diciamo che L è un maggiorante per A ⇔ x⩽L, ∀x∈A. Diciamo poi che A è superiormente limitato ⇔ ammette un maggiorante.

Minorante

Sia A ⊆ ℝ, A≠∅ e sia l∈ℝ. Diciamo che l è un minorante per A ⇔ l⩽x, ∀x∈A. Diciamo poi che A è inferiormente limitato ⇔ ammette un minorante.

Limitatezza

A è limitato se è limitato sia inferiormente che superiormente, cioè: ⇔ ∃l, L ∈ ℝ | ∀x∈A, l⩽x⩽L, cioè ond.:

Le due condizioni seguenti sono equivalenti:

• A è limitato.
• ∃R > 0 ∀x ∈ A, |x|< R ovvero ∀x ∈ A,-R⩽x⩽R.

Estremo superiore

Sia A⊆ℝ e sia M∈ℝ. Diciamo che M è l'