Analisi matematica I - Teoremi

Teoremi

1) RAPPORTO TRA O.P. E G.N.

"NEL INTORNO DI x₀ fnε ⇔ f=g+o(g)"

per x → x₀ f_nε f ⇔ f = g+o(g)

dim

fnε f ⇔ h → 0

sottraggo e divido ambi i membri → h → 0

dim

f=g+o(g)

f - g=o(g) = g*h h → 0

→ f ~ g

2) Th. WEIERSTRASS

• (IP) f continuo in un insieme compatto (chiuso e limitato)
• (FS) f ha massimo e minimo

3) Th. Darboux

• (IP) f continuo in un intervallo chiuso
• (FS) f assume tutte le valutazioni fra il Max e il Min almeno una volta

∀m c λ <M ∃ x₀ ε [a,b] | f(x₀) = λ

4) Th. DEGLI ZERI (o Bolzano)

• (IP) f continua in I = [a,b] f(a); f(b) < 0 (f≠0)
• (FS) ∃x₀ε [a,b] | f(x₀) = 0

5) Th. Fermat.

IP f derivabile (-continua) in I = (a,b)

TS ∃ x₀ ∈ (a,b) punto di punto f'(x₀) = 0

dim.

• rapporto incrementale a dx e sx di x₀

• conduce in segno (dx > sx )

• la lim é tg esiste per ip.

• x₀’essere unico ed =0 =f'(x₀)

6) derivabilita’ ed continuità

IP f derivabile in x_o

TS f continua in x_o

• lim _h→0 (f(x_o + h) - f(x_o)) / h

• finito = m = f'(x_o)

• divido per m

• rapporto =1 asintotiche per h→0

• th fondamentale N ilo

• h→0

• f(x_o) = f(x_o) C.V.D.

7) Th. Rolle

IP f derivabile in (a,b) [==] continua

TS

• f continua in [a,b]

• f(a) = f(b)

∃ x_o ∈ (a,b) |f'(x_o) = 0

dim.

• costante → ∀ punto

• non costante

• continua → th.w ∃m M ∈ f in[a,b]

• ottengo uno tra x_m, x_M ∈ interno

• th. Fermat f'(x_m) = 0

Teorema fondamentale del calcolo integrale

1. _1^o

   F intergrabile su I

2. _^2o Se G(x) = ∫_a^x f(s) ds, allora G'(x) = f(x) per ogni x ∈ (a, b),

dim:

• Continuità puntuale di G(x)

La:

prodotto:

1. Lim_h→0 (G(x + h) - G(x))/h

2. ^{G(x + h) - G(x) = int_xa + int(x + h)_ads}

≈ Lim_x→a = [x⁰} ∫[a,x] + V.M. (su x₀, x)} x⁰ [x - a, f(s) ds + x - a]

= Lim^x→0 ≈ f(x} = {, [a x0] int(a, x0) f(s) ds]

Conclusione:

Le proprietà del prodotto sono continue e, pertanto, con V.M. (su x0,x)}

Lim^x→0 ∫x0 (int x(s)ds = x0 - ds)

G(x)]

Bis:

IL

Integrabile e continuo su f

Si intende G(x)

Dim: Sia, f punto, integrata

Integrando

G'(x) = f(x)} è ([int(G - G(t)] (a, x))

G^1_1a,b)

Lim nuova V.M.).