Analisi Matematica 2 - Definizioni e teoremi con dimostrazione

Analisi Matematica 2 AA. 2019/2020

Unimib, Scienze Statistiche ed Economiche

Professoressa Marina Pireddu

Il documento contiene tutte le definizioni e i teoremi, con dimostrazione, richiesti per

l’esame di Analisi Matematica 2.

Sono inseriti tutti i riferimenti al libro M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi

matematica 2.

GRAFICI E INSIEMI DI LIVELLO

Il grafico di una funzione reale di più variabili reali '

: ⊆ ℝ → ℝ

( )

=

'./

È l’insieme dei punti di di coordinate (x, f(x)). Per n = 2 questo grafico “vive” nello spazio

ℝ

tridimensionale.

Linee di livello: un grafico a curve di livello è un disegno nel piano in cui si tracciano le linee lungo le

quali ha valore costante, per un insieme sufficientemente fitto di valori di

.

LIMITI E CONTINUITA’ PER FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI

Definizione 3.1 4 ' '

Limite di successione: Data una funzione di punti di e un punto , si dice che:

{ } ℝ ∈ ℝ

1 5

13/

per se per

→ → ∞ | − | → 0 → ∞

1 5 1 5

Gli intorni sferici di un punto sono le (iper) sfere centrate in . Precisamente, dato un punto

5 5

' , si dice intorno sferico di un insieme del tipo:

∈ ℝ

5 5 '

( ) | |

= { ∈ ℝ ∶ − < }

> 5 5

Per qualche che si dice raggio dell’intorno; si dice centro dell’intorno.

> 0, 5

Definizione 3.2 '

Definizione successionale di limite di funzione: Sia definita almeno in un intorno sferico

: ℝ → ℝ

' ∗

di (escluso al più stesso) e sia Diremo allora che:

∈ ℝ ∈ ℝ .

5 5 ( )

lim =

I→I J

4 '

Se, per ogni successione di punti di tale che per (con

{ } ℝ → → ∞ ≠ ∀)

1 1 5 1 5

13/

si ha che: ( )

lim =

M

M→4

Definizione 3.3 '

definizione di limite di funzione: Sia definita almeno in un intorno sferico di

− : ℝ → ℝ ∈

5

' ∗

(escluso al più stesso) e sia Diremo allora che:

ℝ ∈ ℝ .

5 ( )

lim =

I→I J | | |()

se per ogni esiste un tale che implica

> 0, > 0 0 < − < − | < ;

5

si dice che: ( ) ( ∞)

lim = +∞ −

I→I J ()

| |

se per ogni esiste un tale che implica (rispettivamente,

> 0, > 0 0 < − < >

5

( )

< −). ( )

La definizione significa che il valore di approssima tanto quanto vogliamo il valore L, purchè la

distanza del punto x dal punto sia piccola quanto occorre.

5

'

Per funzioni continuano a valere inalterati nell’enunciato:

: ⊆ ℝ → ℝ

• Il teorema di unicità del limite

• Il teorema sul limite della somma, del prodotto per una costante, del prodotto e del

quoziente di due funzioni

• Il teorema del confronto

• La definizione di funzione continua, in un punto o in un insieme, è analoga al caso

unidimensionale.

' ( ) ( ).

Si dice che è continua in se

: ℝ → ℝ lim =

5 5

I→I J

Teorema 3.1 di permanenza del segno

' '

Sia definita almeno in un intorno sferico di (salvo al più stesso) supponiamo

: ℝ → ℝ ∈ ℝ

5 5

che esista: ∗

( )

lim = ∈ ℝ

M

M→4

1) Se L >0, allora si mantiene positiva almeno in un intorno di , cioè esiste un tale

() > 0

5

() | |

che purché

> 0 0 < − < .

5

( )

2) Se in un intorno di (salvo al più stesso) allora L > 0. Notiamo che non si può

≥ 0

5 5

( )

affermare che L > 0, anche se !

> 0

( ) ( )

3) Se è continua in e allora si mantiene positiva almeno in un intorno di

> 0,

5 5 ( ) | |

, cioè esiste un tale che purché

> 0 > 0 − < .

5 5

Restrizione di una funzione a curva e non esistenza del limite:

' ' '

Se è una funzione variabile di n variabili, è un arco di curva in

: ⊆ ℝ → ℝ : ⊆ ℝ → ℝ ℝ

ed esiste la funzione composta: () X()Y.

=

Questa si dice restrizione di alla curva r ed è una funzione reale di variabile reale. Il termine

restrizione deriva dalla seguente idea: invece di far variare x in ogni modo nel dominio n-

' ()

dimensionale in cui è definita ci restringiamo ai punti di che stanno sull’arco della curva .

, ℝ

Essendo funzioni di una variabile, le restrizioni sono facili da studiare; l’idea è di ottenere

informazioni sul comportamento di esaminando le sue restrizioni a curve differenti.

Per mostrare che il limite per di una certa funzione non esiste è sufficiente determinare

→ ()

5

due curve che passano da lungo le quali la funzione tende a due limiti diversi. La stessa

,

5

conclusione vale se la restrizione di a una particolare curva non ammette limite.

()

Uso di maggiorazioni reali con funzioni radiali per provare l’esistenza del limite.

Spesso col passaggio a coordinate polari (nel caso bidimensionale) si riesce a mettere in evidenza la

^ ^

dipendenza di dalla distanza tra e attraverso .

(, ) (, ) (0,0) = +

]

(, ) (, )

Per dimostrare che per è sufficiente riuscire a scrivere una

→ → (0,0)

maggiorazione del tipo: 0) () ()

|(, − | ≤ → 0 → 0

(, ) ( )

L’essenziale è che la funzione g non dipenda da 0. Se il punto tende a , si applica lo

,

5 5

( )

^ ^

stesso criterio con , cioè si pone:

= − ) + −

]( 5 5

= + 0

5

c = + 0

5

Non riuscire a dimostrare una maggiorazione del genere non dimostra che il limite non esiste!

Teorema 3.2

' '

Sia definita almeno in un intorno sferico di (salvo al più stesso) e

: ℝ → ℝ ∈ ℝ

5 5

(0, +∞) ()

supponiamo Se è una funzione tale che per e:

∈ ℝ . : → → 0 → 0

(|

|() |)

− | ≤ − 5

Per ogni x in un opportuno intorno sferico di (salvo al più stesso) allora:

5 5

( )

lim =

I→I J |()

L’essenziale, nell’enunciato precedente. È aver maggiorato la differenza con una

− |

quantità che dipende da x solo mediante la sua distanza da .

5

Definizione 3.5 ∗ '

Sia E un sottoinsieme di . Un punto si dice:

ℝ ∈ ℝ

5

• Interno a E, se esiste un intorno sferico di contenuto in E;

5 j

• Esterno a E se esiste un intorno sferico di contenuto in (complementare di E)

5

• Di frontiera per E, se ogni intorno sferico di contiene almeno un punto di E e un punto di

5

j

. ' '

Dato un insieme e un punto si verifica necessariamente una e una sola delle tre

⊆ ℝ ∈ ℝ ,

5

condizioni: è interno ad E; è esterno ad E; è idi frontiera per E.

5 5 5

Se è interno a E, necessariamente

∈ .

5 5

Se è esterno a E, necessariamente

∈ .

5 5

Un punto di frontiera per E può appartenere o non appartenere ad E.

Definizione 3.6 '

Un insieme si dice:

⊆ ℝ

Aperto, se ogni suo punto è interno ad E.

Chiuso, se il suo complementare è aperto.

E’ anche vero che il complementare di un chiuso è aperto.

Definizione 3.7 (intorno)

'

Dato un punto si dice intorno di un qualsiasi insieme aperto contenente

∈ ℝ .

5 5 5

Un intorno sferico è un particolare intorno. Ogni intorno di contiente un intorno sferico di

.

5 5

Proposizione 3.1 ' '

Sia E un sottoinsieme di . Un punto è:

ℝ ∈ ℝ

5

• Interno a E se e solo se esiste un intorno di contenuto in E.

5 j

• Esterno a E se e solo se esiste un intorno di contenuto in .

5 j

• Di frontiera per E, se ogni intorno di contiene almeno un punto di E e un punto di .

5

Teorema 3.3 (operazioni insiemistiche su insiemi aperti o chiusi)

L’unione di una famiglia qualsiasi (anche infinita) di insiemi aperti e l’intersezione di un numero

finito di insiemi aperti sono insiemi aperti.

L’intersezione di una famiglia qualsiasi di insiemi chiusi e l’unione di un numero finito di insiemi

chiusi sono insiemi chiusi.

L’unione di una famiglia infinita di chiusi può non essere un chiuso.

L’intersezione di una famiglia infinita di aperti può non essere un aperto.

Teorema 3.5 (insiemi aperti e chiusi definiti da funzioni continue)

' '

Sia una funzione definita e continua in tutto Allora:

: ℝ → ℝ ℝ .

a) Gli insiemi: '

{ ( ) 0};

∈ ℝ ∶ >

'

{ ( ) 0};

∈ ℝ ∶ <

'

{ ( ) 0};

∈ ℝ ∶ ≠

sono aperti.

b) Gli insiemi: '

{ ( ) 0};

∈ ℝ ∶ ≥

'

{ ( ) 0};

∈ ℝ ∶ ≤

'

{ ( ) 0};

∈ ℝ ∶ =

sono chiusi.

Dimostrazione: '

{ () 0}

Sia e proviamo che è interno (da cui per la genericità di

∈ = ∈ ℝ ∶ >

5 / 5

seguirà che E è aperto). Poiché è continua, per il teorema di permanenza del segno (teorema

5 ( ) ( ) ( )

3.1, paragrafo 2.1), esiste un intorno sferico in cui Pertanto E, perciò

> 0. ⊆

> 5 > 5

è interno.

5

Analogamente si prova che:

'

{ () 0} è aperto.

= ∈ ℝ ∶ <

^ '

{ () 0} = perciò è aperto perché unione di aperti.

= ∈ ℝ ∶ ≠ ∪

k / ^ k

I tre insiemi elencati nel punto b sono chiusi perché i loro complementari sono, rispettivamente, i

tre insiemi del punto A, che abbiamo provato essere aperti.

È essenziale che la funzione f che definisce l’insieme sia continua.

Se un insieme E è definito da più equazioni o disequazioni (in numero finito ), che devono essere

verificate simultaneamente, questo significa che E è assegnato come intersezione di più insiemi,

ciascuno definito da una sola equazione o disequazione; se questi insiemi sono tutti aperti o tutti

chiusi, E sarà aperto o chiuso.

Definizione 3.8: '

Sia E un sottoinsieme di .

ℝ

Si dice: 5

• Interno di E, e si indica con l’insieme dei punti interni di E.

,

• Frontiera o bordo di E, e si indica con l’insieme dei punti di frontiera di E.

,

m

• Chiusura di E, e si indica con , l’insieme ∪ .

In particolare si ha sempre: m

5

⊆ ⊆

L’insieme E non è né aperto né chiuso. Si ha: ^ ^

{(, ) 1} {(0,0)}

= ∈ ℝ ∶ + = ∪

m ^ ^

{(, ) 1}

= ∈ ℝ ∶ + ≤

5 ^ ^

{(, ) 1}

= ∈ ℝ ∶ + <

Si ricordi che un punto di E o è interno o è di frontiera. Si vede subito che:

m

5 .

=

Dalle definizioni precedenti si vede che:

• Un insieme è aperto se e solo se coincide con il suo interno.

• Un insieme è chiuso se e solo se coincide con la sua chiusura.

• Un insieme aperto non contiene nessuno dei suoi punti di frontiera.

• Un insieme chiuso contiene tutti i suoi punti di frontiera.

Definizione 3.9 '

Sia E un sottoinsieme di . E si dice limitato se esiste una costante k>0 tale che:

ℝ || ≤ ∈

(in altre parole, se è contenuto in una sfera di raggio abbastanza grande); illimitato altrimenti).

Definizione 3.10

Un insieme E si dice connesso (per archi) se, per ogni coppia di punti esiste un arco di curva

, ∈ ℝ,

continuo contenuto in E, che ha per estremi x e y.

Teorema 3.6 di Weierstrass

'

Sia un insieme chiuso e limitato e sia continua. Allora ammette massimo e

ℝ : →

minimo in E, ossia esistono tali che:

, ∈

o p

( ) () ( ) per ogni x

≤ ≤ ∈

o p

DERIVATE PARZIALI, PIANO TANGENTE, DIFFERENZIALE.

Se f : Rn → R, per calcolare la derivata parziale di f rispetto alla i-esima variabile xi, in un punto x0

fissato, terremo fisse tutte le coordinate di x eccetto la i-esima e calcoleremo il limite del rapporto

incrementale di f in questa direzione. In simboli:

DEFINIZIONE 3.11 Una funzione f : A R → R si dice derivabile in un punto del suo dominio se in

⊆ n

quel punto esistono tutte le sue derivate parziali; si dice derivabile in A se è derivabile in ogni

punto di A.

Se f è derivabile in un punto, chiameremo ancora gradiente il vettore delle sue derivate parziali:

PIANO TANGENTE:

Per funzioni di una variabile, definire la derivata di una funzione equivale sostanzialmente a

definire la retta tangente al suo grafico. Per una funzione di due variabili il problema analogo `e

definire il piano tangente al grafico della funzione.

DEFINIZIONE 3.12 Sia f: A⊆ R →R con A aperto e sia x Diremo che f è differenziabile in x0 se

∈A.

n 0

esiste un vettore a Rn tale che:

∈

4.8 Rn

Nella formula precedente, il vettore h è l’incremento della variabile indipendente e a · h il

∈

prodotto scalare dei due vettori; la funzione f è definita nel punto x + h, almeno quando |h| è

0

abbastanza piccolo, perché per ipotesi il punto x è interno al dominio di definizione di f. Più

0

esplicitamente, la (4.8) significa che:

PROPOSIZIONE 3.2 Se f è differenziabile in x , allora f è anche derivabile in x e il vettore a che

0 0

compare nella (4.8) è il gradiente di f calcolato in x :

0

a = ).

∇f(x 0

Inoltre, f è continua in x .

0

DEFINIZIONE 3.13 Se f è differenziabile in x , si dice differenziale di f calcolato in x la funzione

0 0

Rn

lineare df (x ) : → R definita da

0 df ( x ) : h −→ f ( x ) · h .

∇

0 0

Nel caso n = 2, il numero )·h rappresenta l’incremento della funzione nel passare da x a x +

∇f(x 0 0 0

h, calcolato lungo il piano tangente al grafico di f in x .

0

L’approssimazione dell’incremento di f mediante il suo differenziale (applicato ad h) prende il

nome di linearizzazione di f e, per le funzioni di più variabili come già per quelle di una variabile

sola, costituisce la più semplice e tipica applicazione del calcolo differenziale. Spesso,

sottointendendo l’incremento h, con abuso di linguaggio si scrive semplicemente df (x )

0

intendendo df (x ) (h) , cioè (x ) ·h.

∇f

0 0 Esprime la linearizzazione di f.

DEFINIZIONE 3.14 Se f è differenziabile in x = (x , x , . . . , x ) , si dice iperpiano tangente al

01 02 0n

grafico di f, in x , l’iperpiano

0

ossia n+1

Questa è effettivamente l’equazione di un iperpiano nello spazio R delle variabili.

La differenziabilità è una condizione più forte sia della continuità che della derivabilità.

DIFFERENZIABILITA`)

TEOREMA 3.8 (CONDIZIONE SUFFICIENTE DI

Rn

Siano f : A → R, con A aperto e x A. Supponiamo che le derivate parziali di f esistano in un

⊆ ∈

0

intorno di x e siano continue in x . Allora f `e differenziabile in x . In particolare, se le derivate

0 0 0

parziali di f esistono e sono continue in tutto A, allora f `e differenziabile in tutti i punti di A.

Una funzione le cui derivate parziali esistono e sono continue in tutto un aperto A si dice di classe

C1(A) C1(A).

e si scrive f Il secondo enunciato del teorema afferma quindi che

∈ C1(A)

f f differenziabile in A

∈ ⇒

L’implicazione inversa non vale.

DEFINIZIONE3.15 Siano f:A⊆Rn→R, con A aperto, x A e v un versore. Si dice derivata direzionale

∈

0

di f rispetto al versore v, nel punto x , il limite (purchè esista finito):

0 n

TEOREMA 3.9 (FORMULA DEL GRADIENTE) Sia f : A → R con A aperto di R , f differenziabile in x ∈

0

A. Allora per ogni versore v esiste la derivata direzionale Dvf (x ) e vale l’identità:

0

La derivata direzionale è in questo caso il prodotto scalare del gradiente con il versore nella cui

direzione si deriva; tutte le derivate direzionali