Analisi Matematica 2 - Definizioni e teoremi con dimostrazione

Funzione a valori vettoriali, limiti e continuità

Consideriamo quindi una funzione t(t) = (r(t), (t), (t)) con t = 1, 2, ..., r R.

Siano:

2.1 0 -> z = pt, r, ..., r I, ..., m1 2 m i

È facile vedere che il limite per di (t) si calcola semplicemente calcolando i limiti delle componenti scalari di (t). Vale infatti la seguente:

r(t) = (r, (t), (t)) con t = 1, 2, ..., r R.

È un arco di curva continua, non chiusa.

Si chiama cilindrica perché giace sul cilindro di equazione t t0 e sia:

r = R.

Con a, b, R, p parametri fissati. Si chiama cilindrica perché giace sul cilindro di equazione:

r, r, ..., r I, ..., m

Funzioni a valori vettoriali, limiti e continuità:

I = (l), l, ..., l.

= (l), l, ..., l.

= (l), l, ..., l.

È un arco di curva continua, non chiusa.

x ∈ R, y = R.

È un arco di curva continua, non chiusa.

x ∈ R, y = R.

. . , l .con intervallo in sia (oppure sia un estremo di non appartenente a1 2 m R;

La curva ∈1 2 mI t I t I I)

Siano:

2.1P ⎧con intervallo in sia (oppure sia un estremo di non appartenente aR; 0 0 Allora, per54 ∈I t I t I I)

Capitolo 2. Calcolo infinitesimale per le curve →ROPOSIZIONE t t ,c⃝ 978-88-08-06485-10 0ora, per 0e sia .l Rx = t La curvam54⎨ 3.11→ora, per t t , Capitolo 2. Calcolo infinitesimale per le curve∈ c⃝ 978-88-08-06485-1

Definizione 2.1:= (l )l→ mRt t , ⎧e sia .l ∈54 R, l , . . . , l .m0 Capitolo 2. Calcolo infinitesimale per le curve c∈ ⃝ 978-88-08-06485-10 1 2 m54 ∈y = 2t t [0, 1] x = t

Capitolo 2. Calcolo infinitesimale per le curve⎨(t) = (r (t) (t) (t)) con : = 1, 2,54r c⃝ 978-88-08-06485-1R,Capitolo 2. Calcolo infinitesimale per le curve c⃝ 978-88-08-06485-1 (t) per ogni = 1(t) se e solo se→ r l, r , . . . , r r I i . . . , m →→ l irSi dice cheD 2.1Si dice che:⎩1 2 m ia, per (t) per ogni

1. Si dice che una funzione (t) ha limite l per t→t se e solo se per ogni numero reale ε > 0 esiste un numero reale δ > 0 tale che se 0 < |t - l| < δ allora |(t) - l| < ε.
2. Si dice che una funzione (t) ha limite l per t→t se e solo se per ogni numero reale ε > 0 esiste un numero reale δ > 0 tale che se 0 < |t - l| < δ allora |(t) - l| < ε.
3. Si dice che una funzione (t) ha limite l per t→t se e solo se per ogni numero reale ε > 0 esiste un numero reale δ > 0 tale che se 0 < |t - l| < δ allora |(t) - l| < ε.
4. Si dice che una funzione (t) ha limite l per t→t se e solo se per ogni numero reale ε > 0 esiste un numero reale δ > 0 tale che se 0 < |t - l| < δ allora |(t) - l| < ε.

2,(t) se e solo ser l; infatti giace sul piano y = 2x.curva piana in →! |r −l| t→ttun vettore è un numero reale), la definizione precedente riconduce la nozione di limitealtre parole: il limite della funzione a valori vettoriali si calcola componente per→→ 0l i . . . , m.r t→taltre parole: il limite della funzione a valori vettoriali si calcola componente per0per funzioni a valori vettoriali a quella, già nota, di limite per funzioni a valori reali .i i= (l ) 3l mR componente; in simboli:un vettore è un numero reale), la definizione precedente riconduce la nozione di limitese ∈, l , . . . , l .3Rseun vettore è un numero reale), la definizione precedente riconduce la nozione di limite; infatti giace sul piano y = 2x.è una curva piana inper funzioni a valori vettoriali a quella, già nota, di limite per funzioni a valori reali .31 2 mSe per funzioni a valori vettoriali a quella, già nota, di limite per funzioni a valori reali .3mponente;

in simboli:ponente; in simboli:Geometricamente, la (2.1 ) significa che la distanza tra il punto (t) e il punto nellor l,per funzioni a valori vettoriali a quella, già nota, di limite per funzioni a valori reali .tre parole: il limite della funzione a valori vettoriali si calcola componente per 3 !4per funzioni a valori vettoriali a quella, già nota, di limite per funzioni a valori reali .3Geometricamente, la (2.1 ) significa che la distanza tra il punto (t) e il punto nellor l,Allora, per Geometricamente, la (2.1 ) significa che la distanza tra il punto (t) e il punto nellor l,→t t , (2.1) lim (t) = 0! "l|(2.1) lim (t) = 0l|0spazio , tende a zero per . |r −! " .Rm |r −Geometricamente, la (2.1 ) significa che la distanza tra il punto (t) e il punto nello. r l,onente; in simboli: →t t 4 (2.2) lim (r (t) (t) (t)) = lim (t) lim2Geometricamente, la (2.1 ) significa che la distanza tra il punto (t) e il punto nellor l,spazio , tende a zero per . , r , . .

. , r r , rspazio , tende a zero per .0RRmm →→t tt tt→tt→t 1 2 m 1 202) lim (r (t) (t) (t)) = lim (t) lim (t) lim (t)000È facile vedere che il limite per di (t) si calcola semplicemente calcolandor) lim (r (t) (t) (t)) = lim (t) lim (t) lim (t), r , . . . , r r , r , . . . , r .spazio , tende a zero perRm 2 t→t t→t t→t→t t(t) per ogni = 1, 2,(t) se e solo se, r , . . . , r r , r , . . . , r .→r l ! "t t 0 0 0spazio , tende a zero per .1 2 m 1 2 m→→ l i . . . , m.rR0 mÈ facile vedere che il limite per di (t) si calcola semplicemente calcolandorÈ facile vedere che il limite per di (t) si calcola semplicemente calcolandor0→1 2 m 1 2 m0t t →t t→t ti it→t t→t t→t t→t00 0 0 00t→t t→t t→t t→t0i limiti delle componenti scalari di (t). Vale infatti la seguente:È facile vedere che il limite per di (t) si calcola semplicemente calcolando0 0 0r r→0t tlim (r (t) (t) (t))

= lim_t→0 lim_t→0 lim_t→0È facile vedere che il limite per di (t) si calcola semplicemente calcolando i limiti delle componenti scalari di (t). Vale infatti la seguente:
r₀ → t
t₁ → 2m
t₂ → -2m
t₃ → 0
In altre parole: il limite della funzione a valori vettoriali si calcola componente per componente; in simboli: Siano:
lim_t→0 r = lim_t→0 t
lim_t→0 t = lim_t→0 2m
lim_t→0 t = lim_t→0 -2m
lim_t→0 t = lim_t→0 0
Dimostrazione. Basta osservare che
lim_t→0 r = 2
lim_t→0 t = 0
lim_t→0 t = 0
lim_t→0 t = 0
Vale in proposito la stessa avvertenza che abbiamo fatto nella nota a pag. 49.
Vale in proposito la stessa avvertenza che abbiamo fatto nella nota a pag. 49.
Proposizione 2.1 Siano:
lim_t→0 r = -2
lim_t→0 t = 2m
lim_t→0 t = 2m
lim_t→0 t = 0
Dimostrazione. Basta osservare che
lim_t→0 r = -4
lim_t→0 t = 2
lim_t→0 t = 2
lim_t→0 t = 0

1. Basta osservare che n#ROPOSIZIONE |r - | ≤ |r - |r - |
2. Siano: (2.3) (t) l (t) l| = (t) l2.1P 4n ! "# i i j jROPOSIZIONE(t) = (r (t) (t) (t)) con : = 1, 2,3 r R,2 2 2(t) = (r (t) (t) (t)) con : = 1, 2,→r , r , . . . , r I i . . . , mR,|r - | ≤ |r - |r - |2 2 2) (t) l (t) l| = (t) l . →, r , . . . , r r I i . . . , m|r - | ≤ |r - |r - |) (t) l (t) l| = (t) l .(t) = (r (t) (t) (t)) con : = 1, 2,r R,1 2 m ii i j j →, r , . . . , r r I i . . . , m j=1n 1 2 m i#(2.2) lim (r (t) (t) (t)) = lim (t) lim (t) lim (t)i i j j 3(t) = (r (t) (t) (t)) con : = 1, 2,r R,, r , . . . , r r , r , . . . , r .1 2 m i →, r , . . . , r r I i . . . , m2 2 2 21 2 m 1 2 m(t) = (r (t) (t) (t)) con : = 1, 2,1 2 m ir R,j=1|r - | ≤ |r - |r - |(t) l (t) l| = (t) l . →, r , . . . , r r I i . . . , mj=1t→t t→t t→t t→ti i j j 20 0 0 0e sia 1 2 m ie sia → →
3. Allora se r (t) l,

La prima disuguaglianza implica che r(t) ≤ E sia: 1 e sia ij=1e sia→ →ora se r(t) ≤ l, la prima disuguaglianza implica che r(t) ≤ l per ogni i = 1, 2, .., m1→ →ra se r(t) ≤ l, la prima disuguaglianza implica che r(t) ≤ l per ogni i = 1, 2, .., m= (l )= (l )l l m mRR →(teorema del confronto); viceversa se r(t) ≤ l per ogni j = 1, 2, .i i ∈∈, l , . . . , l ., l , . . . , l .0 e sia i i j j= (l )l mR1 2 m1 2 m ∈, l , . . . , l .= (l )l mR−2Dimostrazione.→ → 0a se r(t) ≤ l, la prima disuguaglianza implica che r(t) ≤ l per ogni i = 1, 2, .., mBasta osservare che ∈→ , l , . . . , l .rema del confronto); viceversa se r(t) ≤ l per ogni j = 1, 2, . . . , m, allora la sommatoria1 2 m→rema del confronto); viceversa se r(t) ≤ l per ogni j = 1, 2, . . . , m, allora la sommatoriai i →nella (2.3) tende a zero, quindi r(t) ≤ l.j j 1 2 m−1 = (l