Analisi Matematica

Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone

Sia I ⊂ R intervallo, f: I → R monotona, x₀ ∈ I.

• Se x₀ è punto di accumulazione da destra per I, allora lim f(x) ∈ R.

Inoltre

• inf f(x) ≥ f(x₀) se f è crescente
• sup f(x) ≤ f(x₀) se f è decrescente

• Se x₀ è punto di accumulazione da sinistra per I, allora lim f(x) ∈ R.

Inoltre

• sup f(x) ≤ f(x₀) se f è crescente
• inf f(x) ≥ f(x₀) se f è decrescente

Osservazione

Dai precedenti esempi si osserva che, in generale, se f è monotona non è detto che in un punto x₀∈I sia continua, né da destra né da sinistra.

Infatti nei grafici sopra si vede che potrebbe accadere nel caso di funzioni crescenti che

lim_x→x0^- f(x) < f(x₀) < lim_x→x0⁺ f(x).

A causa di questo salto, si ha anche che l'insieme delle immagini f(I) non è un intervallo, infatti tutti i valori fra lim_x→x0^- f(x) e lim_x→x0⁺ f(x) non sono in f(I), fatta eccezione per f(x₀).

Proposizione

Sia f: I → R, I < R, intervallo.

Se f è

1. iniettiva
2. continua

allora f è strettamente monotona.

Teorema di continuità delle funzioni inverse di funzioni continue

Sia f: I → R, I intervallo.

Se f è

1. continua
2. iniettiva

allora f^#: I → f(I) è invertibile e la sua inversa g: f(I) → I è continua.

Dim. Per definizione, la funzione f^# ridotta di f è definita come f in I ma ha come insieme dei valori f(I) e, perciò, è surgettiva. Poiché f è continua ed iniettiva, f^# è continua, iniettiva e surgettiva e perciò f^# è invertibile perché biettiva.

Concludiamo che

^lim_{x → x0}   f(x) - f(x₀) ^lim_{x → x0} = d = l,

ossia ∀ x < R : D x = 1.

3. Sia d < R e sia f : R \ {x₀} → R tale che ∀ x < R \ {x₀} : f(x) = x^d.

Allora, fissato x₀ < R \ {∞} si ha che

∀ x < R \ {∞}: f(x) - f(x₀) = ^{xd - x₀d}⁄_x-x0 = ^{x₀d(x⁄_x0d -1)}⁄_{x0(^x⁄x0 -1)}

Perciò

^lim_{x → x0} ^{f(x) - f(x₀)}⁄_{x - x0} ^lim_{h → 0} ^{x₀d [(h+x₀)d⁄_x0 -1]}⁄_h

= ^lim_{h → 0} x₀^{d-1 (h+1⁄_x0d-1)}⁄_h = d x₀^d-1,

ossia ∀ x < β e {∞}: D x^d = d x^d-1.

Lemma

Sia f : X → R, x₀ < X, x₀ punto di accumulazione per X.

Se f è derivabile in x₀ allora f′(x₀) = ^lim_{h → 0} ^{f(x₀ + h) - f(x₀)}⁄_h

viceversa, se esiste ed è finito

^lim_{h → 0} ^{f(x₀ + h) - f(x₀)}⁄_h,

allora f è derivabile e

f′(x₀) = ^lim_{h → 0} ^{f(x₀ + h) - f(x₀)}⁄_h.

- Osservazioni

1. f(x) = |x| ha in (0,0) un punto angoloso.
2. ha un grafico con tangente verticale in (0,0).
3. ha in (0,0) una cuspide.

Infatti

- Teorema

f : X → R , x₀ ∈ X punto di accumulazione per X . Se f è derivabile in x₀ allora f è continua in x₀. Dim. Bisogna provare che oppure, equivalentemente, .

Per ipotesi , che, equivalentemente, si può scrivere

Osservazione

Sia h(x) = f(x), ed assumiamo che f e g siano derivabili.

Allora, ponendo h(x) = e^{log h(x)}, si ha che

h(x) = e^{log(f(x))g(x)} = e^{g(x) log(f(x))}

e dunque

h'(x) = e^{g(x) log(f(x))} [D (g(x) log(f(x)))]

= h(x) [g'(x) log(f(x)) + ^g(x)⁄_f(x) f'(x)].

Esempio

Sia h(x) = x^x. Il dominio di h è Dom h = {x ∈ R| x > 0}

h'(x) = D e^{x log(x)} = e^{x log(x)} [log x + 1]

= x^x (log x + 1).

Osservazione

Abbiamo visto che f: R → R \E, e ∀x ∈ R: f(x) = |x| è derivabile in tutti i punti tranne in 0.

In particolare, siccome f(x) = ^x⁄_{x > 0}

e ha

f'(x) = ¹⁄_{2x > 0}

Consideriamo g: R+ \{0\} → R t.c. g(y) = log y, ∀y > 0.

Si ha che ∀y > 0: g'(y) = ¹⁄_y.

Per definizione, ∃δ >0 tale che

∀ x ∈ I ∩ ]x₀ -δ,x₀ +δ[ : f (x) ≤ f(x₀)(1).

Poichè x₀ ∈ ]a,b[⊂ I, esiste s >0 tale che

]x₀ -s , x₀ +s [ ⊂ ]a,b[ ⊂ I⟹

]x₀ -s , x₀ +s [ ⊂ ]x₀ -δ, x₀ +δ[.

Dunque ]x₀ -s , x₀ +s [ ⊂ I ∩ ]x₀ -δ, x₀ +δ[ e perciò per(1)

∀ x ∈ ]x₀ -s , x₀ +s [ : f (x) ≤ f(x₀).

Considero il rapporto incrementale ∀x∈ ]x₀ -s , x₀ +s [\{x₀

f(x) - f(x₀)

―――――

x - x₀

Se x > x₀, si ha, grazie ad (1),

f(x) - f(x₀) ≤ 0

――――――――

x - x₀

Dunque, per il teorema di permanenza del segno,

f₊(x₀) = lim f(x) - f(x₀) ≤ 0 (2).

x → x⁺

x - x₀

Se x < x₀, si ha, grazie ad (1),

f(x) - f(x₀) ≥ 0.

―――――――

x - x₀

Dunque, per il teorema di permanenza del segno,

f_-(x₀) = lim f(x) - f(x₀) ≥ 0 (3).

x → x₀

x - x₀

Siccome f è derivabile in x₀, f₊(x₀)=f_-(x₀)=f'(x₀)(4)

e perciò

0 ≤ f_-(x₀) (4) = f'(x₀) (4)= f₊(x₀) (2) ≤ 0

ossia f'(x₀)=0.