Analisi 1

A

= g(t)

x

INTEGRAZIONE PARTI

PER

- Sf'

Sf(x) g(t

f(x) )

(

9.(x) g(z) + -

= · -

. ↓ facicil

/primitive più

esenx cost

, " pesantil

L /funzioni

auctan arasen

arcos ,

, FUNZIONI

INTEGRAZIONE FRATTE

RAZIONALI

·

S (x) (Polinomio

~ dx &

D(x) Polinomio

D(x) (grado

1) N(x) > Sdx

resto

= (ad

Sed +

+

a =

+ +

·

↓

quoziente

D(x) (stesso /

N(x)

.)

.

2 grado

= 1

A +

a

= D N(y)

POLINOMIO >

-

S

3 monomcod()

· stesso

lo

in frazioni DX

scomporre con

S () ( Saz)

+

b dx

) +

+

or +

=

3x2 (grado)

4.) )

Nix( D(

< + N(x)

N(A) 6

si

Ax a

scompone - I = +

D(x) (x) Scomposto

& D(x)b(x)

tr D(x)

to

+ x

- ugragliandoli

6 coefficienti

si

trovare e

o

-

-Se

) ex Scomponibile

.

3 NON 6x

t

3 C

+

X - +

=

i 1)

( + x2

+ + 1

- Delle AREE

PROBLEMA

Il

-

calcolo di

vul superficie

area

I edominio

di di

limite

concetto 6] integra

(a

.

Y

, 6

f(0) S

-

------ - X

f(x)dx

·

-----

I =

- a

i

f(a)-

Ya = 1 11111111j >

. X

X(fX1

X 1

-

,

divido per AREA

vali

intervallini TRAPEZOIDALE

↓ &

dei piccoli J

le aree

se limite

sono di

precisissima)

quadratini ottengo (non SOMMA

un

un'area

pint suddivisioni "sprechi" ci

ci sono

sono meno

,

DEFIN TO

INTEGRALE

· , Se l

sof(da 2 Side

lim Si · fPariealo) da =

.

1 00

- a -

dei

Somma It A ,

piccoli

intervalling Di pari e asos d 0

=

· S

Ac'

u

- D

d

"A

I S

PROPRIETA

- de

f(x) uguali

estremi

: sono

C

· = e

0 b

6

S(f(x) y(x))dx Sg(x)d

f(x)d

=

· + +

+

+

b K

Skf(x)dx Ad k

:

· f(x)dSfcd Se

Va be )

· +

=

i je 6

Sold

Sgd

f(x) g(x) 6)

(ab) >

feg [u

continue = >

vx =

in

· e - . G

-

MEDIO

VALORE

- I

6]

continue dif

medio

definiamo 6)

↑ [0

in [n

in

valure :

. .

6

SF medico

valore

C =

Teorema Valore MEDIO

- G

↑ Sfid

(f(c)

5 ct(n b)

(0 07

sef contien in => :

.

SIGNIFICATO GEOMETRICO ↓

: a)

(c)

f +(x)d

(6 = +

-

·

trapezoide

↑ M f(c)

V

- S

6-d

FUNZIONE INTEGRALE

- 5 6)

F(x) f

)d (0

+ in

continua

+

( +

= .

b)

E(a

x -

del INTEGRALE

CALCOLO

FONDAMENTALE

TEOR

- . e f(x)

(0

continua f(t) de

- 03

in :

. b]

[0

↑ devivabile in .

↓ (06]

f(x)vx +

↑ (x) = DEFINITO

INTEGRALE

CALCOLO

-

6 [F(x)]

Sf(x)d F(b) F(a) =

=

+=

· AREE

CALCOLO

- (f(x/[g(t)

feg (ab) 6]

continue (a

+

in E

· .

↓ di tra e

le

della piano

regione 2 curve

l'area

6

S(() g(x)]d +

-

Per l'Ared

troval

INTERSEZIONE

FIR trovare

l'issexeY : Punti e

· /

. .

T - Syd S

↓ +

S

-//6 d

a &

a

Calcolo vocurl

- ROTAZIONE !

DI

VOLUMI

· grafico

Attorno 1

es A

assex 2552x/ 3

: Y x + 1 x

: = =

: /

-

SYFd i --

v : ax all'asse Y

Attorno

· Vidy nefly

es y

: : RUBAd

y

M X =

ROBA -

:

(x)

f(y) f

= -Mis

METODO GUSCI

DEL CILIBRISI

- f(x)

la

difficile

quando

usa

si pro-de invertice

si

non 41

Y

ATTORIO L'ASSE

· S #

2 i -

V v F

= /

-

- -

- >

'

· - x

X

X ruotismo questo rettangolo

se

~ cilindrico

guscio

forma

si un tanti

prendere

immagino di

· rettangolini sommandoli

e quel

avv

tutti di

il vozume

delle SEZIONI

METOD di

SOLIDO ROTAZIONE

- S IMPROPRI

INTEGRALI

- illimitati

funzioni intervalli

illimitate definite

di su

integrali o

Intervalli LIMITATI

· lim f(x) l'integrale potrebbe

6 non

00

of -

> =

=

6]

30

f(x)d Out finito

+ * esser

-

.

d e'discontinuity

or 2

Scxd Sfinto se

interl

-

im integr

~ DIVERGE

Non

00 - -

.

& l'integr esiste

non

-

punto interno

· di Discontinuita :

6]

(0 [0] :

c

. gimS

i

!

Yn ↓im f(x) +)dx )de

i 00

= +

,

!x

a

Intervalli ILLIMITATI

· +00 Sug(d

? h(x)dx

f(x)dx too

3-ou

opa]

3

0 [

[a ,

-

+

- ↓

↓

· timSh()d

T

lin(t) lim g(z)dx

d Si 003

-

↓ "doppio"

limite

↓

sei f(x)

l lim e00k

integrabile

è

Non

CRITERI INTEGRABILITA

DI

- limitata [26]

in

definita

↑ e . delle

integrabile

↑ Qualsiasi

è verificata una

&

e se

seguenti CONDIZIONI :

(o Decres.)

f è 6]

CRESC (a

in

· .

.

fe in 6]

(a

CONTINUA

· .

[ab] didisc di

presenta Di 1003"

in Finito p specie

numero

un

· . .

INTEGRALI FISICA

APPLICAZIONE ACCA

- VCt) nell'intervallo

velocità

di punto

Spostamento retta con di

su una

· ve

(1

tempo 2)

+

1,

tz

i

Ir(t)ldt

di

Quantita' CARICA

· S

Q )dt

: +

ti FORZA

LAVORO di un

· -

Sf(x)d

2 d

forza è funzione

DIFFERENZIALI

EQUAZIONI l'incognita presenti

ci

vea sono

- e

- dif(y)

devirate

più

Massimo ordine

:

ORDINE uns o

· devivazione

di f(x) f(x)

es : 10

+ ordine

X

=

nell'equazione ↓ significa b

trovate lef(x)

visolverla

ELEMENTARI

- che Soddisfano

ORDINE

I le equazioni

SED

VAR

A

- ,

· LINEARI 3f"(x)

esif" o

) 3

( ordine

3x

+ + =

↑

I 37"

y" 9X

+ =

f'(x) Coordine

X

es : = da

devirata

x3 I la

frazioni cui x

C ,

+

y 4

: x

=

z 9 2

S E

Sf'(x)d dx

Generale

Soluz ↑ (x) + + c

=

= +

=

.

deliequazione .

ELEMENTARI

· f(x)

y' f(x)dx

( F( )

< c

+

= +

· y

= = *

be

*

2

3Se

se 3 St

y' :

es : y

de

- : :

y =

: ·

f(x)

y" SF

integro volte (7)d

2 (2

> x

= < + +

+

· = ,

PROBLEMI CAUCHY

DI

· S condizioni

che iniziali

le

soddisfa

DIFF soluz

EQUAZ trovare la

-

, .

12/AdI

CONDIZIONI IN -

Siete I

es e

: =

y

·

8

- 2 del

Sol .

plodems

LUCHY

E di

=

e 2

y1 2 12

7

4 0y

+ +

+

=

· = ,

,

↑ j

& (22

n 2 2

+

0

+

= E

3'(0) 4 y( %

: +

hx 1

= +

=

4

ca

· h +

0 =

=

Itante condizioni

l'ordine

quanto

delle derivate) 10

A SEPARABILI ORDINE

VARIABILI

· alla forms

ricondurre

si possono : y)

y(y) +

y' yby

y'

f(x) y(n

esc = e

= =

- .

le

separare e y

+

· inteyro ciascun membro

- RISOLUZIONE

vaviabile

alla

rispetto propria

y(t)

ricaud

- y2(

es y +

: =

- de fedxe

de xx

de

Lex =

=

= -

> .

=

ant 1

y(x) -

= X(nx x +

- c

& g() y I

(*)

allora

e Costante

solve

y

0

= = e dell'equazione

ORDINE

TO

LINEARI

· f(t)

)

(x) y(t)

u(

y' y 2x

xy

-

+ =

+ - = - ww

a(x f(t)

Se a (x 1 ELEMENTALE

· e

= 0 è

Se f(x) orokenea e

=0

· divents SEP

2 VAR . .

(metodo del integrantel

RISOLUZIONE fattore :

A(t)

1) dia(x)-zioe a(t)

trovare A(x)

che

tale

primsTIra =

ct(t)

. ( Entrambi ; Membri

Moltiplico per

2 et()

et(x) (y(t)

!

et f(x)

y'(x) alt

+ = .

.

- [y(x(et(t)]) membri

:

INTERRO ENTRAMI

3) (dx

+

et(x) ( f(x)e

y(t) c

+

= A(x)

i -

membri

(1) roctiplicano entramo

DiCan

4) ; per e

y +(t)

(t)(f(x)et()d

-

y( ) (e

+

+ = +

e

y'(x) yy( )

es 2x

: =

- +

L W

a(t) f(x)

x

S d + i

+ =

- - +

2 2

+

i - y(x) =

y'(x) 2xe

=

xe

e -

. E y

e

(y(x) . xh x3

(2xe =

y(x)i - -

zez

dx + = + c

= -

2

cez

y(x) 2 +

= -

ORDINE

o

2

. !

es

OMOGENEE

· y" 2y =

2y' 0

+

+

(x)

y" fi

by'

(x) cy(x) art

+ 0 6

+ )

= 2

or 2

con (

= =

. = 1

a

(242(x)

y(x) (t)

SOLU2 GENERALE Y

: < +

= , .

. S

parametri "Formano

trovale base :

was

· dello

liberi da se

azz 6z una

+ + c 0

= delle

Spazio

inizialis

10 valovi

6 c Soluzioni

.

. ~ se [ebzx

+

XX2

X

Isoluzioni X y(x)

x

Reali Distinte # ,