ANALISI 2
MARCO VIBERTI
LIBRO: PAVIMENTI PEGLI
SASSO ANALISI MATEMATICA 2
ANALISI 1:
SERIE NUMERICHE
f: R → R
DERIVATE E INTEGRALI
ANALISI 2:
SERIE DI FUNZIONI
f: m R → IRm
SPAZI VETTORIALI
DERIVATE E INTEGRALI SU PIÙ VARIAB., INT. SU CURVE, VOLUME E SUPERFICI
S. NUMERICHE DA ANALISI 1
SI PARTE DA UNA SUCCESSIONE {am} DI NUMERI REALI
So = a0
S1= a0+a1
S2= a0+a1+a2
Sm =...
DEFINISCO Sm = lim Sm
m→∞
SERIE DI FUNZIONI
SIA DATO UN INTERVALLO I IR E SIA DATO UNA SUCCESSIONE fn : I → IR
MI CHIEDO, COS’É, ∑n=0fn?
FISSO X∈I ln(x) E’ UN NUMERO
POSSO STUDIARE ∑m=0ln(x) E’ UNA SERIE NUMERICA
EX: I: [-2; 2]
(fm(x) = xm)
f0 1
f1 x
f2 x2
EX: fn(x) = xm
CON x DATO
x =- 1/2
VEDIAMO
SO f0(-1) =(−1)0= 1
SA = f0(-1) + f1(-1) (−1)0 + (−1)1= 0
S2 =1 S3 = 0
Sm = 1, 0, 1, 0,... Sm NON HA LIMITE QUINDI
SERIE DI f CON x= −1 E’ INDET.
Analisi 2
Serie Numeriche
Si parte da successione {an} di numeri reali
Definisco le somme parziali
S0 = a0, S1 = a0 + a1, S2 = a0 + a1 + a2
Sm = .... sommo i primi m termini
Definisco ∑m=0∞ am = lim Sm ... definizione pungente freccia.
Serie di Funzioni
Sia dato un intervallo I ⊂ ℝ e sia data una successione fm : I → ℝ di funzioni.
Mi chiedo, cos'è ∑m=0∞ fm(x) ?
Fisso x ∈ I fm(x) ∈ ℝ posso studiare ∑m=0∞ fm(x) è una serie numerica.
Esempio: I = [-2, 2] fm(x) = xm
f0 1
f1 x
f2 x2
fn(x) = xm
Esempio: x = 1/2 cos'è ∑m=0∞ fm(x) = ∑m=0∞ (1/2)m è una serie geometrica.
∑m=0∞ fm(x) = ∑m=0∞ e(-1)m
= indefinito
Se |x| < 1
= 1/(1-x)
converge.
Studio serie, vediamo:
S0 f0(-1) = (-1)0 = 1, S1 = f0(-1) + f1(-1) = (-1)0 + (-1)1 = 0
S1 = f0(-1) + f1(-1) = (-1)0 + (-1)1 = 0
S2 = 1, S3 = 0, Sm = 1, 0, 1, 0, .... Sm non ha limite quindi serie di x converge m = .
L' = -1 è indefinito.
x=2 DIVERGE
DEDICO CHE SE
x=-1 SERIE È INDOC.
- x=1 CONV.
- x=2 È OVERGNE.
COMPORTAMENTO DELLA SERIE DIPENDE DAL PUNTO CHE SCELGO
DEF. Sia n=m:0 +∞ n=m:0 una successione di funzioni. Se esiste un intervallo I* ⊆ I tale che
∑m:0 +∞ fm(x) converge ∀ x ∈ I* allora dico che ∑m converge puntualmente in I*.
In questo caso, per ogni x ∈ I*, definisco la somma della serie f(x) = ∑m:0 +∞ fm(x)
EX. SERIE GEOMETRICA ∑+∞m:0
Converge puntualmente in I* (-1,1).
f(x) = 1 / 1-x
∞∑m:0 +∞ fm(x) = ∑ +∞m:0 xm
Converge p.t. in I* = IR
A f(x) = ex è speanzione di Taylor.
QUESTIONE DELL'EVEDITA:
Se fm sono continue derivabili, integrabili
e vedo che ∑m +∞ fm è (C.) (D.?) (I.?)
Dipende, non è sempre vero.
EX.
fm(x) = xm(3mx) / 2m
Studio la serie ∑m:0 +∞ fm(x)
fm sono cnt dell'int.
- ∞
- ∑m=0 +∞ rm(3m / 2m)
- Converge (per x fissato): sì.
- 1∑+∞m:0 |x|m(3m / 2m)
- 1 / 2m
+∞∑ 1
ε∃ +∞ converg.
ORGL IL CRITERIO DEL CONFRONTO
- ∑ |x3mm
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