Appunti Teoria - Analisi 2

PROGRAMMA

A.A. 2019/20

Prof. Giulia Sarfatti

• CURVE:
  1. Funzioni a valori in Rⁿ: def. di intervallo, funzione continua
  2. Curve in Rⁿ: def. arco di curva continua, curva chiusa/semplice/piana
  3. Curve regolari in Rⁿ: def. curva derivabile, vettore derivata, arco, retta tangente, curva regolare a tratti
  4. Lunghezza di un arco di curva: def. poligonale, rettificabile, Teorema della rettificabilità delle curve regolari
  5. Curve equivalenti: definizione e teorema (+DIM) + ESERCIZI
• ELEMENTI DI TOPOGRAFIA DI Rⁿ:
  1. Def. di intorno circolare, forato, punto interno/esterno/di frontiera/di accumulazione/isolato
  2. Def. dominio aperto/chiuso/limitato/connesso
  3. Def. funzione limitata →Criterio di limitatezza
• CURVE DI LIVELLO
• LIMITI DI FUNZIONI in più variabili
• CONTINUITA’:
  1. Teorema della permanenza del segno
  2. Teorema di Weierstrass
  3. Teorema degli zeri
• CALCOLO DI LIMITI in due variabili:
  1. Criterio per la non esistenza del limite
  2. Criterio di esistenza del limite
• DERIVATE PARZIALI:
  1. Definizione di funzione derivabile parzialmente, derivabile
  2. Definizione di gradiente di funzione
  3. Definizione + proposizioni (+DIM) di funzione differenziabile →Teorema del differenziale
• DERIVATE DIREZIONALI:
  1. Definizione di derivata direzionale

• Teorema e corollario sul gradiente (+DIM)
• Teorema + corollario: derivazione di funzioni composte + ESERCIZI

DERIVATE SUCCESSIVE:

1. Teorema di Schwarz
2. Definizione di matrice hessiana
3. Formula di Taylor: di 1° e di 2° ordine (+DIM)

MASSIMI e MINIMI:

1. Definizione di massimo e minimo relativo/assoluto
2. Teorema di Fermat (+DIM)
3. Definizione di punto critico/di sella
4. Teorema + corollario: condizione necessaria del secondo ordine (+DIM)
5. Teorema: condizione sufficiente per l’esistenza di massimo/minimo relativi
6. Funzioni a gradienti nulli: teorema (+DIM) + ESERCIZI

INTEGRALI DOPPI:

1. Definizione di funzione integrabile e di integrale doppio
2. Teorema su funzione continua-integrabile
3. Teorema di riduzione o di Fubini per i rettangoli + ESERCIZI
4. Dominio x-semplice, y-semplice
5. Definizione di dominio misurabile
6. Proprietà dell’integrale doppio: linearità, monotonia, monotonia rispetto al dominio di integrazione, additività rispetto al dominio di integrazione
7. Teorema di Fubini + ESERCIZI
8. Definizione di matrice Jacobiana e determinante Jacobino
9. Teorema del cambio di coordinate + ESERCIZI
10. Coordinate ellittiche: definizione e applicazione (calcolo di baricentro a momenti di inerzia di una lamina, del momento di inerzia di una lamina)
11. Cenni agli integrali doppi generalizzati

INTEGRALI TRIPLI:

1. Integrazione “per fili” → Teorema di Fubini + ESERCIZI
2. Integrazione “per strati” + ESERCIZI
3. Cambio di variabili: coordinate cilindriche, sferiche + ESERCIZI
4. Applicazione: calcolo del baricentro + ESERCIZI

INTEGRALE CURVILINEO di I° specie:

1. Definizione, teorema, proprietà di integrale curvilineo di I° specie

CURVE IN R^m

def. I ⊂ R intervallo, un pezzo di curva continua in R^m è una funzione continua φ: I → R^m

σ: il sostegno della curva è l'immagine della funzione φ

P(t) ∈ I ⇔ P(t) ∈ R^m

ES.:

φ: [0, 2π] → R² | P(t) = (2cos t, 2sen t) | x = 2cos t | y = 2sen t t ∈ [0, 2π]

• Più rigorosamente, φ si dice "parametrizzazione" della curva

NB:

• Esistono paramterizzazioni diverse di una stessa curva

ES.:

ψ: [0, T] → R² | ψ(t) = (2cos 2t, 2sen 2t)

Il sostegno è lo stesso, percorro lo stesso percorso a velocità diversa

δ: [0, 4T] → R² | δ(t) = (2cos t, 2sen t)

def.

Sia γ: [a, b] → R^m una curva. γ si dice

• Chiusa se γ(a) = γ(b)
• Semplice se ∀t₁, t₂ di cui ambo uno in (a, b), si ha γ(t₁) ≠ γ(t₂)
• Piana se ∃ un piano che contiene il suo sostegno

ES.:

γ degli esempi precedenti sono curve chiuse, semplici, piane. Mentre δ non era semplice

Retta in R³ passando per P(1, 2, 3); parallela a N = (-1, 0, -1)

• P = P₀ + N_t t ∈ R | x = 1 + t | y = 2 | z = 3 + t
• Semplice, piana, non chiusa

Ellica in R³ | x = r cos t | y = r sen t | z = kt

• Semplice, non piana, non chiusa

Grafico di funzioni

f: [a, b] → R continua → φ: [a, b] → R² | x = t | y = f(t) t ∈ [a, b]

• Semplice, piana, non chiusa

Esercizi

1. Calcolare la lunghezza dell’astroide

   • P:
     • x = 2cos t
     • y = 2sin t
   • P_I:
     • x' = -6cost sint
     • y' = -6smt cost
   • L(P) = 4 ∫₀^π/2 √[(-x')² + (y')²] dt = 4 ∫₀^π/2 6cost sint dt = 2a ∫₀^π/2 x dx = x = sint dx = cost dt
   • L = 2a ∫₀¹ x dx = 2a [x²/2]₀¹ = 2a[1/2] = a

2. Calcolare la lunghezza della cardioide

   • P:
     • x = (1-cosθ) cosθ
     • y = (1-cosθ) sinθ
   • L(P) = ∫₀^2π √2(1-cosθ) dθ = √2 ∫₀^2π √[1-cosθ]/√[1+cosθ] dθ =
   • 2√2 ∫_-1¹ √[1-x]² dx = 2√2 [¹/√2 (1+x)^3/2]_-1¹ -1 =x = cosθdx = -sinθ dθ
   • 2√2(√2 - √2 = 8

Curve di Livello

def. Si considera f: A⊆ℝ²→ℝ (definito su ℝ² o valore in ℝ)

E_k = { (x,y) ∈ A : f(x,y) = k }

Per ottenere le curve o l'insieme di livello, si fa'intersecare il grafico della funzione superficie nello spazio ℝ³ con piani paralleli agli assi x,y,z o uno fissato k=k. Poi si studieranno le proiezioni delle curve sulle piane.

Non è detto che sia uno curva.

Es: 1) E_k (x,y) = -x²-y²-1E_k : -x²-y² = k⇒ x²+y² = -1-k

Punto appartenente se k < -1

Paraboloide di rotazione

Circonferenze di passo crescente

2) E_k (x,y) = x²-y²E_k : x²-y² = k

IperboloReffeIperbolo

Paraboloide iperbolico o sella

Criterio di esistenza del limite

∀ε > ε₀, ∃T > 0

[{g(x(t), y(t)) - g(x₀, y₀)]} | < ε

∀θ ∈ [0, 2π] ∃γ(x, y) ≠ (x₀, y₀)

f(x, y)ʹ → ρ → 0, t < 0, ∞

∃ε > 0, D:

x₂ + ρ cos(θ) + ρ → 0

f(x, y): f(ρ(x, 0))

f(x, y) → p(sinθ, 0)

cosθ 1 = -1

oss:

x₀ + ρ cos(θ), y₀ ± ρ sin(θ)

• 1. ²f(ρ)
• 2. ∃f₂ ∈ C (x₀, y₀): f(x, y)

cos(θ) [-1, 1]

cosθ, sin(θ)

H = m₀

ess1

eccensione

1. x/y = 0

∃x

(x = ρ cos(θ))

f(ρ, ρ)

ρ→0 f(ρ(x₀, y₀))

-∞ f(ρ(x, y)) = [

• lim ((x, y) ((x))
• x([cosθ])]g

cosθ | ≤ 1

sinθ < 1

eccessione

2. f(ρ_{(x, y)})

[f(ρ, 0)] = [

∀x ∈ R

[{1}lim]

ε(x² ²)

x([cosθ)] → e

→

#left_rule