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CASO 1 (vincolo esplicito)
Supponiamo che il vincolo g(x,y)=b sia soddisfatto da tutti e soli i punti appartenenti al supporto della curva
γ : I ⊆ ℝ → ℝ2
Definiamo la funzione φ : t → f(γ(t))
Allora per trovare gli estremi di f soggetti al vincolo g(x,y)=b è sufficiente calcolare gli estremi di φ
Es:
Calcolare i massimi e i minimi di f(x,y)=√(x2+y2)-1 su M= {(x,y): x2+y2=9}
Soluzione
Il vincolo M è il supporto della curva γ : [0,2π]→(ℝ2, ℝ)
γ(θ) = (3 cosθ, 3 sinθ)
φ(θ) = √(9 cos2θ + 9 sin2θ + 9 sin2θ)-1 = 3 = 9 sin2θ -1
⇒ φ ha massimo in θ = π/2, 3π/2 e minimo in 0,π dunque
max: γ(π/2), γ(3π/2) = (0,±3)
γ(0), γ(π) = (±3,0)
Es:
Determinare max/min di f(x,y)=2x-3y-1 vincolato a stare sull’ellisse di eq. x2/u2 + 3/2 y2=1
Es:
Tra tutti i rettangoli di perimetro p trovare quello di area massima.
17 Aprile 2019
Ottimizzazione vincolata in R3
CASO 1 (vincolo bidimensionale)
f, g: R3 → R ; b ∈ R
L(x,y,z,λ):= f(x,y,z) - λ(g(x,y,z) - b)
Se un punto (x0, y0, z0) con ∇g (x0, y0, z0) ≠ 0 è un estremo (locale) per f, vincolato a g ≡ b, allora
∃ λ0 ∈ R t.c. (x0, y0, z0, λ0) è punto critico di L.
CASO 2 (vincolo unidimensionale)
f: R3→ R ; g: R3 → R2; b ∈ R2
L(x,y,z,λ, w)= f(x,y,z)-[λ(g1(x,y,z)-b1)+w(g2(x,y,z)-b2)]
Se un punto (x0, y0, z0) con Rk(Jg(x0, y0, z0)) = 2 è un estremo (locale) per f, vincolato a g ≡ b, allora ∃ λ0, w0 ∈R t.c. (x0, y0, z0, λ0, w0) è punto critico di L.
---
Sia Σ ⊆ R3 la sfera di centro l'origine e raggio 5
Calcolare min Σ { x2 + y2 + z2 - x - 2y + 2z }
Soluzione:
f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 - x - 2y + 2z
g(x, y, z) = x2+y2+z2=25
L(x, y, z , λ) = x2+y2+z2-x+2y+2z-λ(x2+y2+z2-25)
∇g(x,y,z)=(2x,2y,2z) ≠ 0 perché 0 ∉ Σ
imponiamo le condizioni
Lx = 0 ⟺ 2x-1-2λx=0
Ly = 0 ⟺ 2y+2-2λy=0
Lz = 0 ⟺ 2z+2-2λz=0
Lλ =0 ⟺ x2 + y2 + z2 - 25=0
x=
2x(1-λ)=1
y=
2z(1-λ)-2=0
z=
( )
λ = 1 non è soluzione!
Per concludere:
imU (fU(x)) = x ∀x ∈ U
Basta dimostrare che f è biettiva da U ∪ V ⇒ g deve essere f-1.
29 Aprile 2019 Esercizi Gianazza
1) Lunghezza curva
^
Γ⊆ ℝ³
una r(t) ∈ C1[(0, lnω)]
Γ(s)=r(s) r'(t) ≠ 0 ∀t ∈ (0, lnω)]
e(Γ) lunghezza di Γ
ω ω
e(Γ)= ∫ ||r'(t)|| dt
- x' = t
- y' = 8sht
- z' = &sqrt;&fract12 {3}cht
lnω
e(Γ) = ∫ ω⁄0 || ¹sht + 3 cht ²dt
= ∫ &fr;ω lnωω (ch²t - sh²t
= e^ &omega - lnω
^
=∫(ch²t dt) Γ Γ o
= lnω
- 2chtt = 2sh
2sh lnω = 2
t ∈ (-π/2, π/2]
e(Γ)= ∫ ||(r'(t))|| dt = =
3 (coh²t + 3sh²t
- π/1
- &sup π/t (lnω +
cos
- costdt = &frac13 {(3s dithirin cresc scostd .ds}
- ____ __pspotissima
p . per cautmiura si impone
30 Aprile 2019
Sia Γ :
- x2 + y2 = 1
- z = 1 - xy
Determina i punti di Γ che hanno distanza minima o massima dall'origine.
Alcuno n sella = curva nello spazio
P ∈ ℝ3
d(P, O) = √(x2 + y2 + z2)
Il punto che massimizza (minimizza) lo f, lo fa anche se lo f è al quadrato. (Utilità per togliere radice)
Determinare i punti di massimo e minimo per f = x2 + y2 + z2 soggetti al vincolo:
- x2 + y2 = 1
- z = 1 - xy
Procediamo sostituendo nella f il vincolo e possiamo semplificarla:
f1 = 1 + (1 - xy)2 soggetti al vincolo x2 + y2 = 1
Semplifichiamo togliendo 1, perché non modifica la posizione dei punti
z2 = (1 - xy)2
- x2 + y2 = 1
C(1,0) :
- x = cos t
- y = sin t
t ∈ [0, 2π]
Stiamo dicendo che 1/2 ≤ 1 - xy ≤ 3/2
⇒ Determinare i punti di massimo o minimo di f = 1 - xy soggetti al vincolo x2 + y2 - 1 = 0
Scegliamo di NON usare i moltiplicatori:
C(1,0) :
- x = cos t
- y = sin t
t ∈ [0, 2π]
f = 1 - 1/2 sin 2t
h(t) = 1 - 1/2 sin 2t , t ∈ [0, 2π]
Avo di minimo dove sen = -1
massimo dove sen = -1
2t = 3/2π + 2kπ t = 3/4π + kπ
t = 3/4π t = 7/4π
t = π/4 + kπ t = 5/4π
{ [0, 2π] }
3 Maggio 2019
Capitolo 5 da 1 a 3
CALCOLO INTEGRALE IN PIÙ VARIABILI
Richiamo (Integrale di Rieman per funz. di una variabile).
f: [a,b] → ℝ continua.
Allora definiamo:
dove ho diviso [a,b] in un numero n di sottintervalli della stessa lunghezza
Tk è un qualunque punto del k-esimo sottintervallo.
Quando rimpicciolisco un intervallo → integrale.
OSS.
1) Per poter definire Sn è sufficiente che f: [a,b] → ℝ sia limitata.
Definizione (Integrabilità):
f: [a,b] → ℝ è integrabile in [a,b] se valgano le entrambe le seguenti:
- (i) esiste finito il limite della successiva Sn;
- (ii) il limite non dipende dalla scelta dei punti Tk.
OSS.
2) Per le funzioni continue su [a,b] valgano (i), (ii) e quindi sono integrabili secondo Riemann.
Integrale doppio su un rettangolo
f: [a,b] × [c,d] → ℝ limitata
Suddividiamo sia [a,b] che [c,d] in n sotto intervalli di uguale lunghezza.
Avrò quindi diviso il rettangolo [a,b] × [c,d] in n² sottorettangoli.
Ihk con h,k ∈ {1,...,n} ottenuti come prodotto cartesiano tra l'h-esimo sottointervallo di [a,b] e il k-esimo sottoint. di [c,d].
Nel grafico, nel sotto-rett. ho preso un punto a caso e vedo il valore corresp. della funzione.
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