Appunti Analisi Matematica 2 Andrea Bavaro
2021 2022
-
Lezione 1 07/03/2022
-
SERIE FUNZIONI
DI -100
[
Ripasso numeriche
• con
serie : mio }
{ } {
IR :{ Es dispari }
da di
partiamo nn dare 1.3.5
i
numeri numeri
ra
una successione
• / .
. .
. .
. .
2m
m : -11
{ }
Es 11 1
1 -1 -1
, , .
, . .
m
c. e)
ln = m
[
5m
le della
Sàpmi
costruiamo successioni Qu
Qatar un
-1
• +
= =
. _
. k =D
ÌÌ lim
definisco 1k
il
Sn
con converge c-
• →
= [
Mito
Mio diverse
[ -1-00
=
> ¥
oscilla =
-100
[
Es ln -11
an mi +00
: Mio
-100
" [ fra
f-
Es )
an 1 oscilla
un de 1
: =
mio
È è
ICIR intervallo
un
fmix
• Mio IR
fm I
funzioni →
di
prendiamo successione
una ;
• ; i
i Codominio
D
DOMINI
"
fnrx
Es ×
] = <
°
Foix fan
1 )
✗
) = ✗
=
=
Fila "
) ×
✗ =
=
Ora funzioni
• posso queste
sommare
fa fa
se 1
+ +
= ×
= fa
fa
Sa '
fy 1
= +
+ + +
+ ×
= n
I fans
5m . Kid { }
EI Fmln
fissa
Se allora di
• reali
è successione
una posso
e
numeri
× È )
( fissato
fmri la
studiare serie numerica a ×
Mio TÉ
Taarna fine
funzioni
la
Deif che di
serie ) puntualmente
converge in un
Muro
* Èfmrx
[ È
CI tfx
la
intervallo se e-
)
numerica
serie converge ]
.
Mio
"
Fma
IR
Es M
Fm ) ×
: :
>
- È " l'
Mi la
1h
chiedo × )
quali converge
per a
e casa
✗ c- serie Mio
Sn
Fisso IR < M
1 ✗
✗ e ±
+ ✗
+ ✗ +
=
. . _
}
Sn M
' "
✗ ✗ +
+ -1
+ ✗
× ×
= . . . [ ]
1
✗ =/
" " "
"
Sn
Sn Sn 1-
1
✗ × ×
>
- =
- = = 1- ×
{ +00 se xze
lim È
Sn 1×1<1
se
=
Moto ¥ 1
se f-
✗ È
" "
funzioni
Gmclesione la di C- )
× 1,1
puntualmente in
converge
: serie ↳
-100 M
[ chiama geometrica
serie
si
✗
Mio "
È !
!
Aram m )
× ( ftp..fi
"
( !
)
Es ) =
serie !
esponenziale
mi an
n.s.io
.
.
mio -11
M :& /
"Én
×
¥
fin
Axe l'
?
Per IR ' incinti
. =
'
IR
quali converge • m
a
e
✗ »
e
= -100
M s .
- È
l' O
la IR =
=
puntualmente M
serie converge
converge in -100
mio
i
* [ ]
( )
ES Dimostrare del
: criterio radice
ripassare criterio
rapporto rapporto
e
-100 ?
I
Quali fra fmri
Fm da
di ereditate
proprietà vengono
• = Mio
?
f
9m lo
se le '
• anche
continue
sono e
,
derivabili
integrabili N
-100
I I fmri
f
ho
Senso fini IN
+ )
) errore
: ~
»
= mio neo ta
[
( Mi
) Fn
Es derivabili En
tutte derivabili
le
chiedendo
tà sto e puntualmente
converge
se sans
: mia
!
fin I Fè
che
' derivabile
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a vero
e
•
:
, -2%4
%k ?
fn
-2in
• .
"
Es [
geometrica
serie ×
: " derivabili
• × sono
[ % I
xm )
Fa
• -1,1
✗ E
per
)
=
= , 1
Posso fin Ì È
11
¥ i
-111
calcolare )
-1
✗ xp
•
= =
-
=
- g.
È ↳ S'
lim
"
Vediamo mh
)
= o
×
ora = °
mio m +00
> I
. i ]
[ mxm "
" "
"
Ricorda Interim
Sma
Snk ""
d- In
(
1 1)
1
px +1
D.
)
-1 ×
×
) × +
>
= -
> . -
. - =
- =
= '
Ok M
<
-1 )
✗ ix. ×
-
e)
S' [ ]
L'
lim "
1 ↳ 1×1<1
"
" Mx per
nrx) II
" io
= ,
e
M ( ,
→ +00 µ "
È 1
" [ fnrx
/ok finta dldx
Conclusione ) a
= = (
: 1.
mio Fm
Es IR
Fm " IR
/
( )
3
) Sin →
× :
x = "
Isin /
/
in 21
)
3 ×
i
È fmrx (
IR il
puntualmente )
assoluta
criterio
converge
) di convergenza
in per
mio 'È
È
"
Hot "
Fabio
3m
Fm ho
37 3
/ che )
Ix )
) esempio
cos ho
per +00
: = =
In
0
Mio
an I Ìm
dei
ci punti dove
sono non converge .
D8
Lezione /
2 / 03 2022
- in
Es Prendiamo funzioni
di :[ integrabili
] IR
una successione 0,1 →
. ,
studiamo
•
• puntuale
convergenza T.fm
della
Integrabili
•
• tà somma
Possiamo ④ [ ]
{ DI
}
una MEN che n cioè
in sono
successione ✗
costruire copre m
,
tutti [0,1 ]
razionali
i in
{
Li
! %
{
| } ) ( )
i
; :
i
• per esempio
, _ .
.
fmfx 1
{
Definisco se
) ✗
• = xn
= (
Altrimenti
0 [0,1 ]
in
{
Foix 1 ha )
se
) Xixo -1
=
• altrimenti
o
Ì I
fa fa
•
• )
> %
° - -
-
0 , y
☐ ,
?
fm integrabili 0,1
[
1 ]
sono su
perché
Si discontinue
sono punto
un solo
in
, .
Èfmrx ?
Cos' è
2 )
0 ¥
Noto [ ]
0,1
che c-
converge ;
¢ (
[ fnrx tutte
Q le fm
0 a)
✗
• ¢
se ) valgono se ✗
= /
[
Q )
fmfx '
E 1 c' finche
se ✗
• volet determinato
una sola
) e in ×
un
=
È
" 1 anni
{
fnrx ]
e
se
) ×
=
M O altrimenti
la
è funzione Dirichlet che
di integrabile
è
non
,
In di funzioni
trovato
abbiamo
conclusione serie
integrabili cui
la
una
• successione
: ,
funzione integrabile
puntualmente
converge una non
a .
CONVERGENZA TOTALE
Fsia Fm I funzioni 7
DI Una
di Se
In successione suae
> una ione numerica
-
: >>
.
{ } tc
an :
lfmixl Int IN
1 ± an
sup
✗ TI
han (
[ )
2
2 +00
un converge
0 ÈFM
la
diciamo che
allora funzioni
di totalmente Ij
converge
serie in
o
Relazione fra puntuale totale
• convergenza e :
[ [ fm
se totalmente I puntualmente
allora anche
converge in converge in
Il detto
non è
viceversa .
:[ ]
[
Si Ifn
fmcsnv tot
vede punt
com .
. .
. ti
Sia I 1
oleora
se :
vale
✗ c- Ì
"
I /
I [
[
Ifnix Ifmrx
± E
) -100
un
)
4
convergenza assoluta [
Quindi fmix
E
ho la
allora
I
totale
convergenza in
se )
serie
c- converge
✗
,
quindi
assolutamente puntualmente
e .
Il [ che
troviamo
è puntualmente
fn
controesempio Una
non
viceversa vero converga
: totalmente
ma non
+ ad "
È
" 1-
I
f. " < + a
+
oo M
M" |
mia Licbmz
di
criterio
" Vi
Eff
definiamo fmfx IR
allora ) c-
=
[
che FMK IMIR
Sappiamo la
<
) puntualmente
cioè serie
+00 ma
converge
× ,
,
è
non totale
convergenza
c' :
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① E rn
suplfm Kit
In 1 nn
questo caso = =
m
-100
È In
② § totalmente
la
quindi
+00 serie
un con
=
= converse
e
Es serie geometrica
: ÌÌ %
che f-
sappiamo Studiamo
" la
1,1
)
puntualmente
× convergenza
in ora
= .
,
o
totale . tc
{ }
trovare
Dobbiamo un
una svaessione ;
/
① Fmi tnt
/ IN
E an
sup »
✗ EI È
②
/ MI 1
1 1
on
cioè sup +00
✗ = > =
=
=
✗ HM) 0
E
quindi la 1-
e totalmente
non
geometrica 1)
serie converge 1
in , .
Provo l'
ÓE
piccolo [
intervallo
Un intervallo
10,1 consideriamo
)
più
• à 5 ]
e
: - ,
[ ]
À
la §
totale
Ristudiare convergenza in -
a ,
"
MI
/ 6
① sup ✗ an
= =
]
E
[
-6
✗ E , %
"
② 6
[ IN 1
<
Perché
= ,
I [ -8
Ò ]
la
Conclusione totalmente è
< geometrica in
1
: converge
serie ,
É "
Esercizio ×
di
totale
studiare convergenza
: 5
!
o EFM
da
di
Torniamo fn
dell'
alla proprietà
questione eredità a
}
{ Fm
Fm
Situazione funzioni
di I
data successione IR
sia :
: →
È
fix /
fmix Zfm
la I
della
)
l sia converse
serie
somma in
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I
puntualmente a
in .
Fse
I Fm km ZFM
I la
continuità è continua in Converge
serie
e
f [ Fm
totalmente allora è Ij
continua in
=
"
I [
Es la
]
è
totalmente or quindi somma continua
converge
a. è
e
× -
in ,
I [ )
-2×7
[ ]
è
à
in - , ×
È %)
/
sin R
che puntualmente
• converge
sappiamo in
2M
o la
Non che totalmente
vediamo
è
cos' converge
somma
sappiamo ma :
,
lsmfff-t.fm
i sup on
=
IR
✗ c- Fa
In
② Ian lamiera
I 2 )
=
= = funzione
la
quindi è
somma una continua
.
Fse
I DERIVABKITÀ Ifn
le fm derivabili '
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in
sono
totalmente I allora
in :
f- [
fm derivabile I
è
• in
fin
' ( }
-2 derivazione
f
• per
= serie
fin "
[ I
I )
sintomi
Noto di ! Y
la )
nell' costo (
)
serie
esempio • non
=
zm
/
IR )
totalmente
converge converge
su non
. % [
111 fm
le Fn
[ CI
tutte
' b)
INTEGRABILI integrabili su e
TA a.
sono converge
totalmente allora :
,
I
f fm integrabile [
è ]
• ,b
in a
=
b [
| ( )
I
finta fnix dx integrazione
• ) )
per serie
= Q
a
Noto che
nell' Dirichlet
della Monte
di
funzione
esempio totale
' convergenza :
| I
finta 1
| mie
sup mi +00
>
= =
reni
? Lynn :{ ' se ✗ in
=
o altrimenti -100 "
§ "
Esercizio di è
la
studiare convergenza
i
• convergenza >
puntuale 14103
Tutorato
totale
convergenza
in ?
derivabile
serie integrale
proprietà continua
somma :
• , ,
Lezione 09/03/2022
3 -
SERIE POTENZE
DI )
(
{ della
coefficienti
}
un reali serie
• numeri
successione
:
in
[ "
/ )
un × xo
- .
Mio fissato
IR della
' il
✗ centro
c-
o e serie
•
Serie
Es geometrica
•
-100
[ m Anet
con
✗
mio ✗ =D
a
Serie esponenziale
•
È in 4m !
0mi
un
!
n
• 0
Xd =
l'
Nota del traslazione
effetto è
centro in
una ×
: ; ^
^ '
fine
fin (
2 ✗ xD
-
✗
= V. .
, •
I ( ) di
L' di potenze
di particolare
I è insieme
un
serie
una
insieme convergenza
• .
Ho possibilità
3 :
}
E- {
1 xo
I " "
/
Nota anti xD Arlt
xD xd
ho ai +
✗
+ -1
: = - -
- . .
. ( )
la
Im x-x.in
/
scelgo ' serie a
se n + qo
converge
× >
qo ✗
= o
es =
- = .
?⃝ Esiste tc
R
2 / R
<
al
detto di
0 ✗
un > se ✗ converse
numero convergenza •
raggio -
:
, Se R
Il >
xd converse
non
• -
converge
non
R -
mmm , g
Ìoir
io IR
xar /
converge
[ (
" a)
✗
Es × a- ( 1)
R
1×121
se
• converge =
1×1 1
se converge
> non
☐ ttx
La IR
3 converge c-
serie .
¥
[ ttx
E M
:S c-
converge
: . )
( IN
Notai di =D
è
1 zero
convergenza
raggio ( Htoo
)
di infinito
3 raggio '
convergenza e
Il della
2 comportamento di
XOIR stabilito volta
serie ✗ volta
in in
va
=
Nel oscillare
la divergere
2 K R serie può
caso o
al >
✗
-
Per di ho
trovare il criteri
raggio
• 2
convergenza :
la di
1 potenze
della radice
Criterio serie
per
-100 " | MI
[ dilim
Sia Allora
Supponiamo
la
data mix "
• che esista
serie xD :
•
- .
0 M +00
→
l R
1 Se -100
=D =
,
Se l
2 R O
so
+ =
= ,
3 Il
l
se R
io )
e -100 =
, , "
Attenzione Iml
devo
vale mettere
positivi
solo termini
non ma
persone a ,
Criterio del
2 la di
rapporto potenze
per serie
Qn
Supponiamo -11
l
che
• lim
esista = RM
Muso
l R
1 Se -100
=D =
,
Se l
2 R 0
so
+ =
= ,
"
" 3 Il
l
Se R
Io )
e -1dg =
, ,
Es Studiamo di
di l'
il raggio
• insieme
convergenza e convergenza
È -1in
" 0=3
" mix -1
un
in ✗
»
. )
zm
° zm
Usiamo della radice
criterio :
m m
lim " I
tant 1
him
Am lim
= =
=
Mi in M
M
+00 2
> -400 2
stop
-
1--1 R La 1 % 2
>
= = . =
=
,
Il la
dice /
criterio -31 2
<
serie ✗
• converge in
: la serie IX.
In
• non converge 3172
Il dice Quindi
succede
criterio nella
non he
cosa =3 sostituisco
in e- 5
1 e e
✗ serie
a- ,
.
la
studio
e numerica
serie (
✗
=p lim od
a- +
misto I
tra
È LÀ
-1in
" In
Il II. "
inni
minuti diverse
» )
-1 =
. =
° ¥
zm 0
5
a- LÀ È
È
È t.IM "
" oscilla
IN
hinten n
=
>
=
° °
"
1¢
in La
Conclusione I
! :( )
1,5
converge in
serie
( )
( )
DIMOSTRAZIONE 3 .
Idea fissiamo antani
te TR della le
criterio
ix. radice
✗ per numeriche
usiamo su
sere
e
xd 0
" "
mancino l Amm
AM "
(
" lim / xD ✗
nn
) . x =
= on
× •
- - , Motors
M M
+00
> story
- - " /
l
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)
Ii ✗
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1Pa -
;)
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xD al 1
K
✗
= e <
- > ✗
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[ Ian
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