Analisi 2 - appunti - esercizi di riepilogo

1. Sia dato il campo vettoriale

F = ( ^z/_x+y + x, ^z/_x+y, ln(x+y) )

Calcolare

1. Il lavoro di F lungo la curva r(t):

r(t) = ( ^{2 cos(t)}/₂, ^sin(t)/₂ ) per t ∈ [0, /2]

• Il potenziale U t.c. U(¹/₁) = -2

2.

f(x,y) , D = { (^x/_y) | x² + y² ≤ 10, x < 0 }

dove f(x,y) = xy²

Soluzione Esercizio 1

Calcoliamo il rotore per vedere se F è conservativo

▽ x F = det

| i | j | k |

| ∂/∂x | ∂/∂y | ∂/∂z |

| z/(x+y) + x | z/(x+y) | ln(x+y) |

= i ( ^∂/_x+yln(x+y) - ^∂z/_x+yln(x+y) ) - j ( ^∂z/_x+yln(x+y) ) + k ( ^z/_x+y + x )

= i ( - ¹/_x+y - 1/_x+y ) - j (¹/_x+y + ¹/_x+y ) + k ( - ^z/ (x+y)² - ^z/(x+y)² )

= ( ⁰ )

▽ x F = ( ⁰ ) campo conservativo!

Ora calcoliamo il potenziale U(x,y,z)

1. Sia dato il campo vettoriale

F = ( _z/_x+y + x , _z/_x+y , ln(x+y) )

Calcolare

a. il lavoro di F lungo la curva f(t) : ( _{2 cos(t)} , _{2 sin(t)} , t )

• t ∈ [0, π/2]

b. il potenziale U t.c. U ( ₀ , ₁ ) = -2

2. f(x,y) , D = { ( _{x y} ) | x²+y² ≤ 10 , x < 0 }

• dove f(x,y) = xy²

Sug. ES 1

Calcoliamo il rotore per vedere se F è conservativo

(Verificare)

∇ x F = det(

• i j k
• ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z
• _z/_x+y + x _z/_x+y ln(x+y) )

)= i( _∂/_x+y ln(x+y) - _∂/_x+y ln(x+y) ) - j( _z/_x+y - _z/_x+y ) + k( _z/_x+y x )

• = i( ₁/_x+y - ₁/_x+y ) - j( ₁/_x+y - ₁/_x+y ) + k( _-z/(_x+y)² - _-z/_{(x+y)² )}

) = ( _{0 0 0} )

∇ x F = ( ₀ ) campo conservativo!

Ora calcoliamo il potenziale U(x,y,z)

∂_xU = ^z⁄_x+y , ∂_yU = ^z⁄_x+y , ∂_zU = ln(x+y)

U(x,y,z) = ∫ ln(x+y) dz

= z ln(x+y) + a(x,y)

funzione nelle variabili x e y

∂/∂y (U(x,y,z))

= ^z⁄_x+y + a'(x,y)

z⁄_x+y = a'(x,y), z⁄_x+y → a'(x,y)=0

→ a(x,y) = b(x)

U(x,y,z) = z ln (x+y) + b(x)

∂_x (U(x,y,z)) = ^z⁄_x+y + b'(x)

z⁄_x+y = ^z⁄_x+y, z⁄_x+y → b(x) = x → b(x) = ^x2⁄₂ + C

➤ U(x,y,z) = z ln(x+y) + ^x2⁄₂ + C , CER

Lavoro : U(^̅) - U(∅)

= U(0,∅,∅) - U(2,0,∅)

= ∅ ln(2) - (∅ ln 2 + 2) = -2

U(0,1,1) = -1∅1 = 0

U(x,y,z) = z ln(x+y) + ^x2⁄₂ - 2

ES. 2

∫_D x y² dx dy

D = { (x, y) ∈ ℝ² | 1 ≤ x² + y² ≤ 10, x < 0, y }

x = ρ cosθ

y = ρ sinθ

Jac = ρ

ρ ∈ [1, √10]

cosθ < 0

θ ∈ [π/2, 3π/2]

∫₁^√10 ∫ρ dρ

= ∫∫ ρ cosθ ρ² sin²θ dθ =

= ∫₁^√10 ρ⁴ dρ ∫_π/2^3π/2 sin²θ cosθ dθ

|_ρ⁵/5^√10₁ = (√10)⁵/5 - 1/5

| = 10^5/2 - 1 / 5

= -²⁄₃((10^5/2 - 1) / 5)