Appunti di Meccanica quantistica (in latex)

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1.1. CRISI DELLA FISICA CLASSICA

Facciamo due osservazioni:

i) La costante di Planck ha le dimensioni di un’energia per un tempo che in fisica corri-

spondono alle dimensioni di un’azione.

ii) Il valore di h è estremamente piccolo, molto più piccolo della sensibilità di qualunque

strumento del tempo e di conseguenza era praticamente impossibile intuire una discretiz-

zazione dei livelli energetici dai dati sperimentali.

Da un punto di vista macroscopico era perciò del tutto ovvio pensare ai sistemi fisici

come continui.

2) L’EFFETTO FOTOELETTRICO:

L’effetto fotoelettrico è un fenomeno fisico nella cui interpretazione la fisica classica

fallı̀ completamente. Ciò che si osserva è che se si irraggia un metallo con una radiazione

elettromagnetica questo comincia ad emettere istantaneamente degli elettroni con un’e-

nergia che cresce linearmente rispetto la frequenza incidente proprio con pendenza h. Si

osserva inoltre che l’emissione avviene solamente quando la frequenza incidente si trova

al di sopra di una certa soglia .

ν 0

L’unica idea intuitiva che si erano fatti i fisici è che quando la radiazione incide sul

metallo, gli elettroni sulla superficie la assorbono finché non superano l’energia w di lega-

me e vengono rilasciati. Questa spiegazione però fallisce miseramente, infatti:

a) Il processo richiede un certo tempo e quindi l’emissione avviene con un ritardo,

mentre si osserva che è istantanea.

b) Secondo questo modello prima o poi l’emissione dovrebbe avvenire anche con una fre-

quenza < mentre ciò non si verifica.

ν ν 0

c) Non si spiega in alcun modo come mai la pendenza corrisponde proprio alla costante

di Planck.

Nel 1905 Albert Einstein decise perciò di applicare l’ipotesi di Planck anche per l’effet-

to fotoelettrico. Ipotizzò che le radiazioni elettromagnetiche trasportassero pacchetti di

energia quantizzata tramite particelle prive di massa, chiamate , ognuno con ener-

fotoni

gia hν che può essere scambiata con l’elettrone al momento dell’urto. Quando avviene

l’urto l’elettrone assorbe istantaneamente l’energia del fotone cosı̀ che, se tale energia è

maggiore dell’energia di legame, viene riemesso con energia ε = hν − w. Con questa sem-

plice assunzione si spiega come mai l’emissione è istantanea e come mai l’energia cresce

linearmente con pendenza h. Per risolvere anche la contraddizione b) è sufficiente pensare

che gli scambi di energia non sono continui ma discreti e quindi, indicando w = hν ,

0

l’emissione avviene solamente se:

ε> 0 ⇒ hν > w ⇒ >

ν ν 0

Con questa spiegazione Einstein vinse il Premio Nobel nel 1921 e la teoria di Planck

cominciò effettivamente a farsi largo nel mondo della fisica con una certa rilevanza. Per

la prima volta inoltre un’onda veniva interpretata con una natura corpuscolare.

4 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA MECCANICA QUANTISTICA

1.2 Dualismo onda-corpuscolo

Nel precedente paragrafo abbiamo illustrato due esempi in cui la fisica classica falliva men-

tre invece cominciava a prendere il via un nuovo modo di vedere le cose. A far crollare

completamente le idee della fisica classica tuttavia non furono queste prove sperimentali

ma il seguente esperimento che nacque come esperimento mentale, ma poi venne effetti-

vamente dimostrato anche in laboratorio.

Immaginiamo di sparare un elettrone per volta (in modo da evitare ogni tipo di inte-

razione che si potrebbe avere in un fascio di elettroni) contro due fenditure molto piccole

e di rilevare, su uno schermo posto dietro le fenditure, il numero di elettroni che cadono

in una certa sezione dello schermo. Immaginando che il tutto sia il più ideale possibile

(elettroni collimati, fenditure uguali e simmetriche ecc.) ci si aspettava che un elettrone

avesse uguale probabilità 0.5 di passare in una delle due fenditure. Di conseguenza la

distribuzione di elettroni attesa prevedeva che essi si distribuissero per la maggior parte

nelle due regioni dello schermo poste immediatamente dietro le fenditure. Il risultato

reale ottenuto era del tutto differente e stupefacente, la distribuzione degli elettroni segue

esattamente il pattern generato dall’interferenza di due onde che attraversano le fenditure

(esperimento di Young). La distribuzione mostrava quindi un picco nella zona centrale

dello schermo rispetto le due fenditure, zona in cui non ci si aspetterebbe di trovare elet-

troni, e una serie di picchi minori man mano che ci si allontanava dal centro.

Questo risultato è notevole poiché mentre la teoria di Einstein mette in luce la natu-

ra corpuscolare della radiazione questo esperimento mette in luce la natura ondulatoria

delle particelle, da qui si parla di Ciò a cui bisogna prestare

dualismo onda-corpuscolo.

attenzione è il fatto che non è l’elettrone di per se a comportarsi come un’onda, ma a

manifestarsi come un’onda è la che l’elettrone arrivi una certa zona dello

probabilità

schermo. Sebbene si possa ancora tentare remotamente di dare una qualche spiegazione

tramite la fisica classica qualunque tentativo crolla definitivamente con la seguente osser-

vazione:

Se si ripete l’esperimento ponendo un rivelatore su una delle due fenditure, in modo

che sia in grado di osservare il passaggio dell’elettrone, la distribuzione di elettroni cambia

ancora e si ritrova la distribuzione prevista dalla fisica classica! In altre parole quando

l’elettrone non viene osservato si comporta in maniera delocalizzata ed è come se attra-

versasse entrambe le fenditure per poi ritrovarsi sullo schermo sotto forma dell’elettrone

di partenza. Nel momento in cui invece l’elettrone viene osservato (o meglio misurato) è

come se diventasse consapevole di essere osservato ed attraversa una singola fenditura.

Questo fenomeno comporta definitivamente la necessità di introdurre un nuovo mo-

do di interpretare i fenomeni subatomici o Nonostante l’apparente assurdità

quantistici.

di questi esperimenti tali fenomeni sono oggi completamente spiegati e il primo passo è

proprio capire dove è che fallisce la fisica classica. Nella meccanica che descrive il mondo

macroscopico la di un corpo viene intesa come la capacità di determinare con-

traiettoria

temporaneamente la posizione e la velocità del corpo con una precisione piccola a piacere

(se ciò è possibile lo stato della particella è univocamente determinato). Questa prerogati-

va fallisce nel mondo subatomico dove gli esperimenti mettono in evidenza il fatto che non

si può determinare contemporaneamente la posizione e la velocità di una particella con

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1.3. PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE

una precisione piccola a piacere. Il primo passo per abbandonare la meccanica classica

ed entrare nella meccanica quantistica è quello di accettare che nel mondo subatomico

e dunque lo stato di una qualunque particella

non esiste il concetto di traiettoria

può essere interpretato solamente in termini probabilistici. Questa assunzione del tutto

plausibile. Quando l’elettrone non viene osservato si comporta come un’onda di probabi-

lità ed effettivamente attraversa entrambe le fenditure mostrando la figura di interferenza.

Nel momento in cui però viene osservato smette di essere una probabilità e diventa una

certezza attraversando una singola fenditura mostrando la distribuzione classica.

1.3 Principio di indeterminazione

Effettuare questo passo può sembrare una mossa forzata per far quadrare le cose ma è facile

vedere che l’incertezza di determinazione dello stato di una particella è insita nella natura

stessa della particella. Immaginiamo di avere un elettrone fermo in un punto e di colpirlo

con una radiazione di lunghezza d’onda λ. Determiniamo la posizione dell’elettrone dopo

l’urto tramite un microscopio con angolo di apertura ϕ. La risoluzione ∆x del microscopio,

e quindi l’incertezza sulla posizione dell’elettrone, è data da:

λ

∆x = sin ϕ

Si potrebbe determinare la posizione con un errore piccolo a piacere utilizzando una

radiazione con λ → 0 (e quindi con frequenza molto grande). Questo però non permette

di determinare lo stato dell’elettrone in quanto abbiamo bisogno anche della sua velocità.

Per determinare l’incertezza sulla velocità, o meglio sulla quantità di moto, è sufficiente

osservare che: ε hν hν

p = = ⇒ ∆ sin ϕ

= 2

p x

c c c

Si vede che per avere un’incertezza piccola occorre mandare mandare → 0, ma questo

ν

irrimediabilmente farebbe aumentare ∆x. Questa esclusione mutua si traduce in:

∆x · ∆p = 2h

p x

Più in generale si dimostra che vale la seguente disuguaglianza nota come Principio di

indeterminazione di Heisenberg:

~ (1.2)

∆x · ∆p ≥ Principio di indeterminazione di Heisenberg

2 h . Le incertezze sono legate

Il simbolo è chiamato e corrisponde a =

accatagliato

~ ~ 2π

da una costante, che corrisponde proprio alla costante di Planck, che non dipende in alcun

modo dal tipo di sistema e pertanto l’impossibilità di determinare contemporaneamente le

due grandezze fisiche è insita nella natura stessa della fisica. D’ora in avanti chiameremo

una qualunque grandezza fisica che può essere misurata in qualche modo.

osservabile

6 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA MECCANICA QUANTISTICA

1.4 Assiomi della meccanica quantistica

Rinunciando alla traiettoria ed accettando la presenza di un’indeterminazione legata in-

timamente alla natura subatomica abbandoniamo definitivamente la meccanica classica

per entrare nella meccanica quantistica. Come la per maggior parte delle teorie in fisica

è necessario prima di tutto fissare degli assiomi e dei principi, che assumiamo essere veri,

sui quali fondare la teoria.

1) Esiste un insieme finito di osservabili che sono misurabili contemporaneamente.

O in maniera equivalente:

Esiste un un insieme finito di osservabili che possiedono contemporaneamente un va-

lore determinato.

Le definizioni sono del tutto equivalenti e riassumono la possibilità che ci siano delle

osservabili (grandezze fisiche) che non possono essere determinare o misurate contempora-

neamente. Questo insieme prende il nome di ed è un insieme massimale

insieme completo

nel senso che contiene il numero massimo di osservabili che descrivono completamente

il sistema (ne permettono cioè di prevedere l’evoluzione nel tempo dopo aver fissato un

tempo di partenza).

2) Lo di particella elementare (ad esempio l’elettrone o qualunque altra particella

stato

subatomica) può essere descritto mediante una funzione:

ψ(q) Funzione d’onda

La funzione ψ(q) che descrive lo stato della particella (o più in generale del sistema fisico)

è detta ed è una funzione a valori complessi. La variabile q non è altro

funzione d’onda

che una coordinata generalizzata, rappresenta cioè la posizione della particella nello spazio

n n

:

o Se q ∈ allora avremo che ψ q ∈ → ψ(q) ∈

R R

delle fasi spazio delle configurazioni.

Questo ci permette anche di scrivere la funzione d’onda separando la componente reale

C.

da quella immaginaria ed eventualmente utilizzando la notazione esponenziale:

2 2 2 iθ(q)

ψ(q) = ψ (q) + iψ (q) ⇒ |ψ(q)| = ψ + ψ ⇒ ψ(q) = |ψ(q)|e

R I R I

In generale la funzione d’onda dipende anche dal tempo e seguirà una certa evoluzione

temporale, tuttavia da adesso fino a nuova definizione con ψ(q) intendiamo lo stato di

un sistema ad un certo istante di tempo fissato. Chiaramente la funzione d’onda ha un

significato fisico e lo si capisce dalla seguente definizione:

2

|ψ(q)| dq = probabilità, effettuando una misura, di trovare la particella nell’intervallo

I = [q, q + dq] 2

In altre parole la quantità |ψ(q)| dq rappresenta la probabilità che la particella si trovi

nel volume infinitesimo dq (inteso come volume dello spazio delle fasi, quindi dipendente

dalla dimensione di tale spazio) centrato in q. Da questa definizione si deduce che la

2

quantità |ψ(q)| è una densità di probabilità e ovviamente, integrando su tutto quanto lo

spazio τ delle configurazioni: Z 2

dq|ψ(q)| = 1 (1.3)

τ 7

1.5. PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE

2

Questa relazione vale sempre se |ψ(q)| dq ha il significato di probabilità espresso poco

fa ed esprime la normalizzazione della funzione d’onda. Mentre per ottenere la probabilità

′

in uno spazio minore τ ⊆ τ è sufficiente risolvere l’integrale

Z 2

′ dq|ψ(q)| (1.4)

P (τ ) = τ ′

È evidente che affinché questo integrale sia adimensionale è necessario che le dimensioni

1

−

della funzione d’onda siano tali che [ψ] = [q] .

2 ¯

3) Il valore medio di un’osservabile fisica, indicato con hf i o f , deve poter essere scritto

∗ 1

come un integrale bilineare in ψ e ψ :

Z Z ′ ∗ ′ ′ 2

hf i = dq dq ψ (q ) ϕ(q , q) ψ(q) (1.5)

′

La funzione ϕ(q , q) è un kernel integrale e dipende dal tipo di risultato che si vuole ot-

tenere. È facile far vedere che l’espressione (1.5) è una forma più generica dell’espressione

(1.4). Ricordiamo infatti la proprietà della funzione Delta di Dirac δ(y − x):

Z +∞ dy δ(y − x)f (y) (1.6)

f (x) = −∞

′ ′

Se poniamo ϕ(q , q) = δ(q − q) e la sostituiamo nella (1.5) si ottiene Z

Z Z Z Z 2

′ ∗ ′ ′ ′ ′ ∗ ′ = dq|ψ(q)|

dq dq ψ (q )δ(q − q)ψ(q) = dq ψ(q) dq δ(q − q)ψ (q )

{z }

| ψ (q), def (1.6)

∗

Chiaramente nell’ultimo passaggio si è sfruttata la nota proprietà dei numeri complessi

∗ 2

z z = |z| .

1.5 Principio di sovrapposizione

Nel precedente paragrafo abbiamo presentato tre assiomi su cui è fondata la meccanica

quantistica, vediamo ora un principio fondamentale per proseguire nel lavoro. Precisiamo

che quando parliamo di misurare con certezza un’osservabile per un certo stato fisico

(descritto da una qualche funzione d’onda) intendiamo il fatto che, ripetendo la misura

un numero di volte arbitrariamente grande sempre sullo stesso sistema e sempre nelle

stesse condizioni (quindi con la medesima funzione d’onda), si ottiene sempre lo stesso

valore per l’osservabile. In questo senso possiamo dire che la probabilità di trovare un

certo valore per l’osservabile, per uno stato descritto da una certa funzione d’onda, è 1.

Il valore dell’osservabile diventa quindi una proprietà intrinseca del sistema e gli stati che

godono di questa proprietà sono detti stati puri.

1 Con l’asterisco posto come apice di una grandezza si intende il suo complesso coniugato

2 NOTA: d’ora in avanti quando non specificheremo gli estremi di integrazione intederemo sempre che

l’integrale è esteso a tutto quanto lo spazio interessato, in particolare di solito gli estremi saranno −∞ e

+∞

8 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA MECCANICA QUANTISTICA

Proseguiamo ora con l’enunciato del principio di sovrapposizione. Consideriamo un

sistema fisico che si trovi in un certo stato descritto dalla funzione ψ (q) e che per tale

1

stato una qualche osservabile (ad esempio l’energia) ha valore E . Supponiamo poi che il

1

medesimo sistema si trovi in uno stato differente descritto dalla funzione ψ (q) e che per

2

tale stato l’osservabile abbia valore definito E . I due stati sono cioè puri.

2

Il quindi afferma che se il sistema si trova in uno stato

principio di sovrapposizione

intermedio che è dato dalla sovrapposizione lineare dei due stati descritti, e quindi può

essere descritto mediante una nuova funzione d’onda che è combinazione lineare delle due

ψ(q) = c ψ (q) + c ψ (q) c , c ∈ (1.7)

C

1 1 2 2 1 2 2

allora effettuando una misura dell’osservabile considerata si ha una probabilità |c | di

1

2

trovare il valore E ed una probabilità |c | di trovare il valore E , ovviamente deve essere

1 2 2

2 2

soddisfatta |c | + |c | = 1. In altre parole se lo stato del sistema è una sovrapposizione

1 2

lineare di due stati puri allora quando si effettua una misura di una certa osservabile non

si può ottenere un valore intermedio ma necessariamente si deve ottenere uno dei due

valori con probabilità pesata dai coefficienti della combinazione lineare. Il principio di

sovrapposizione ci permette di costruire una struttura algebrica lineare per descrivere la

meccanica quantistica.

1.6 Operatori lineari nella meccanica quantistica

Fissate le precedenti convenzioni è giunto il momento di cominciare a fornire una struttu-

ra algebrica alla teoria che ci approcciamo a costruire. Il primo passo fondamentale che

comporterà una serie di conseguenze forzate molto importanti è quello di associare ad

Per ora non diremo come deve essere definita

ogni osservabile un operatore lineare.

questa associazione ma se f è una osservabile allora indicheremo l’operatore lineare ad

ˆ

essa associato con f . Chiaramente gli operatori lineari lavorano su spazi lineari (o vet-

toriali), la differenza sostanziale con i classici spazi lineari dell’algebra lineare è che in

meccanica quantistica questi sono cioè spazi infinito dimensionali ma ciò

spazi di Hilbert,

non comporterà un’ulteriore difficoltà. Come spazi di Hilbert prendiamo gli spazi delle

Ciò significa che ciascun vettore di tale spazio (cioè una generica funzione

funzioni d’onda.

d’onda) può essere decomposta nelle infinite basi dello spazio, vedremo tra poco che tali

ˆ

basi corrispondono alle autof unzioni. Dunque un operatore lineare f è una funzione che

manda una funzione d’onda ψ (q) in un’altra funzione d’onda ϕ (q). Come convenzione

k k

assumiamo che un operatore agisca sempre solo sul primo elemento alla sua destra salvo

altre specificazioni.

In algebra lineare è comune rappresentare gli operatori come matrici e chiaramen-

te la rappresentazione matriciale dipende dalla base scelta. Sappiamo poi che per cia-

scun operatore, e quindi per ciascuna matrice, si possono definire degli autovalori e degli

ˆ

autovettori. Facciamo lo stesso per gli operatori f e adottiamo la specifica notazione:

ˆ

f ψ (q) = f ψ (q) (1.8)

Autofunzioni

n n n

Chiariamo immediatamente il significato di questa scrittura. I termini f sono gli autova-

n

lori e indicano l’ n-esimo valore assunto dall’osservabile f . Gli oggetti ψ (q) rappresentano

n

invece gli autovettori e prendono il nome di o In accordo con la

autofunzioni autostati. 9

1.6. OPERATORI LINEARI NELLA MECCANICA QUANTISTICA 3

definizione classica dell’algebra lineare questa scrittura dice che, applicando l’operatore

ˆ

lineare f all’autofunzione ψ (q) non si ottiene un vettore di un nuovo spazio lineare ma

n

si ottiene di nuovo l’autofunzione ψ (q) variata di intensità secondo il fattore f .

n n

Le autofunzioni hanno anche un importantissimo se lo stato fisico

significato fisico:

di un sistema quantistico è descritto da un’autofunzione, ψ(q) = ψ (q), allora la misura

n

dell’osservabile f dà con certezza il valore f . Questo significa che le autofunzioni descri-

n

vono stati puri e il valore dell’osservabile in questo stato corrisponde proprio all’autovalore

f , il sistema quindi possiede nella sua natura questo valore. Per semplicità assumiamo

n ˆ ˆ

inizialmente che gli autovalori di f (cioè lo spettro dell’operatore f ) sia costituto da un

insieme di valori discreti.

Dal momento in cui gli autovalori f rappresentano il valore di osservabili (e quindi di

n

grandezze fisiche) questi non possono essere complessi ma devono necessariamente essere

reali. Questa osservazione comporta una prima conseguenza forzata, infatti gli unici ope-

ratori lineari per i quali gli autovalori sono sempre reali sono gli operatori autoaggiunti

o hermitiani.

A tal proposito riproponiamo la definizione di operatore aggiunto. Preso una spazio

:

lineare L metrico, cioè dotato di prodotto interno, sia A L → L un operatore lineare.

†

Si definisce l’operatore di A, indicato con A , l’operatore lineare tale che valga

aggiunto

l’identità: †

hx, A = hA

yi x, yi

In termini di rappresentazione matriciale, la matrice aggiunta della matrice A corrispon-

ij

de alla sua trasposta coniugata: † ∗ † † ∗

A = (A ) = (A )

Un operatore lineare è detto o se è uguale al suo aggiunto e

autoaggiunto hermitiano

analogamente una matrice è detta autoaggiunta o hermitiana se è uguale alla sua aggiunta.

Dunque l’operatore A è autoaggiunto se soddisfa:

†

hA = hx, A A = A Operatore hermitiano (1.9)

x, yi yi

Da qui segue una seconda conseguenza forzata. Dal caso complesso del teorema spettrale

è noto infatti che gli operatori autoaggiunti sono diagonalizzabili in una base ortogona-

le o analogamente gli autovettori di un operatore autoaggiunto costituiscono una base

ˆ

Segue quindi che gli autovettori dell’operatore f , cioè le sue autofunzioni,

ortogonale.

costituiscono una base ortogonale per lo spazio di Hilbert delle funzioni d’onda. Questo

significa che possiamo scrivere qualunque funzione d’onda come una combinazione lineare

delle autofunzioni: X X

∗ ∗ ∗

ψ(q) = a ψ (q) ⇔ ψ (q) = a ψ (q) a ∈ (1.10)

C

n n n

n n

n n

Si osservi che non è specificato il valore superiore della somma perché per ora lavoriamo

in ambito generale. A seconda del problema il numero di autofunzioni in cui si può de-

comporre lo stato può essere finito e vedremo più avanti come si scrive la (1.10) per uno

3 Bisogna fare attenzione al fatto che quando applichiamo un operatore ad un vettore utilizzando la

generica scrittura intendiamo il risultato di tale operazione e pertanto si tratta di un singolo oggetto.

T̂ ~x

10 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA MECCANICA QUANTISTICA

spettro continuo. Inoltre finché rimaniamo in un insieme discreto è garantita anche al nor-

malizzazione delle autofunzioni, ciò non è però garantito nel caso di autovalori al continuo.

La definizione (1.10) generalizza il principio di sovrapposizione discusso nel preceden-

te paragrafo e tale risultato è perfettamente compatibile con quanto detto. Si era infatti

parlato di un generico stato intermedio dato dalla sovrapposizione lineare di due stati

puri; dal semplice fatto di associare un operatore lineare ad una osservabile fisica si è

giunti, tramite passaggi matematici del tutto giustificati e logici, ad una definizione ma-

tematica in cui ciascuno stato si scrive come una combinazione lineare di autofunzioni

che rappresentano proprio degli stati puri. I coefficienti a hanno ancora il significato di

n

probabilità. In particolare per una certa osservabile f , la probabilità di trovare il valore

P

2

f è data da |a | e quindi segue ovviamente che per un certo stato ψ(q) = a ψ (q),

n n n n

n

normalizzabile secondo la (1.3), si ha: X 2

|a | = 1 (1.11)

n

n

Immaginiamo ora di conoscere la funzione d’onda ψ(q) e che siano note le autofunzioni

ψ (q) in cui è decomponibile. Ci poniamo il problema di determinare i coefficienti a che ci

n n

permettono di prevedere con quale probabilità si otterrà un certo valore di un’osservabile.

Ricordiamo le seguenti definizioni e proprietà riguardo il prodotto scalare in e il prodotto

C

scalare tra funzioni:

N Z

X ∗ ∗

∗

hγ, αi = α hγ, αi = hα, γi hψ(q), ϕ(q)i = dq ψ (q)ϕ(q) (1.12)

γ i

i

i=1 ˆ

Come anticipato poco fa, se gli autovalori dei f costituiscono un insieme discreto allora le

autofunzioni corrispondenti sono anche normalizzabili. Da queste definizioni si ha quindi

che se si effettua il prodotto scalare tra funzioni appartenenti allo stesso insieme di funzioni

ortonormali si ottiene: (

Z 1 se n = m

∗

hψ , ψ i = dq ψ ψ = δ = Delta di Kronecker (1.13)

n m m n,n

n 0 se n 6 = m

Da cui per l’appunto segue la condizione di normalizzazione delle autofunzioni:

Z 2

hψ , ψ i = dq|ψ (q)| = 1 (1.14)

n n n

Ribadiamo che questa condizione è valida se gli autovalori costituiscono un insieme

non

ci preoccuperemo di dimostrarlo in seguito. Queste definizioni ci aiutano ad

continuo,

individuare gli a perché essendo coefficienti di una combinazione lineare, rappresentano il

n

contribuito dato da ciascun elemento della base lungo la direzione da esso rappresentata.

Dall’algebra lineare sappiamo che per determinare la proiezione di un vettore rispetto una

direzione privilegiata è sufficiente effettuare il prodotto scalare. Verifichiamo quindi che

il prodotto scalare tra lo stato ψ(q) e un’autofunzione ψ (q) dà proprio il coefficiente a

n n

cercato: Z

Z X

∗ ∗ ∗

ψ (q) = dq

hψ(q), ψ (q)i = dq ψ (q) a ψ (q)ψ (q) =

n

n n

m m

{z }

| m

def (1.10) 11

1.7. VALORE MEDIO DI UN’OSSERVABILE

Z

X ∗

∗ ∗ 4

= = a

dq ψ (q)ψ (q)

a n

m

m n

m | {z }

δ , vale 1 quando m=n

n,m

Sfruttando la seconda proprietà delle (1.12) si ottiene cosı̀

Z ∗

a = hψ , ψi = dq ψ (q)ψ(q) (1.15)

n n n

Come si era previsto, il prodotto scalare hψ , ψi tra l’ n-esima autofunzione e la funzione

n

d’onda ottenuta dalla loro sovrapposizione lineare dà il coefficiente a il cui modulo qua-

n

2

drato |a | rappresenta la probabilità di trovare il valore f per l’osservabile f effettuando

n n

la misura nello stato descritto da ψ.

Osserviamo i due principali risultati ottenuti in questo paragrafo:

Z

X ∗

ψ(q) = a ψ (q) a = dq ψ (q)ψ(q) = hψ , ψi

n n n n

n

n

Una volta trovale le autofunzioni ψ queste due espressioni sono pressoché equivalenti. Si

n

vede infatti che fornendo le a nella prima si può determinare la funzione d’onda ψ(q)

n

mentre dando la funzione d’onda ψ(q) nella seconda si possono determinare gli a .

n

Per concludere il paragrafo facciamo un’ultima osservazione. Sostituiamo l’espressione

(1.15) nell’espressione nell’espressione (1.10):

Z Z

X X ′

′ ∗ ′ ′ ′ ∗ ′ ψ(q ) =

ψ(q) = dq ψ (q )ψ(q )ψ (q) = dq ψ (q )ψ (q)

n n

n n

n n {z }

|

O(q,q ), operatore lineare

′

Z ′ ′ ′

= dq O(q, q )ψ(q ) P ∗ ′

′ ψ (q )ψ (q);

Abbiamo cosı̀ definito apparentemente un nuovo operatore lineare O(q , q) = n

n

n

se però si utilizza di nuovo la definizione della Delta di Dirac descritta nella (1.6) si ha

che X ∗ ′ ′

ψ (q )ψ (q) = δ(q − q) (1.16)

n

n

n

Questo risultato tuttavia non è nuovo poiché ribadisce solamente l’ortogonalità della base

dello spazio di Hilbert.

1.7 Valore medio di un’osservabile

Nell’enunciare alcuni degli assiomi della meccanica quantistica abbiamo detto che il valore

medio di un’osservabile si deve poter scrivere come una forma integrale bilineare, tuttavia

non abbiamo ancora dato la definizione di valore medio. Il valore medio di un osservabile

¯

f , indicato con hf i o con f , è dato da

Z

ˆ ˆ

∗

hf i = hψ, f ψi = dq ψ (q) f ψ(q) Valore medio di un’osservabile (1.17)

4 Tutti i passaggi in cui coefficienti e sommatorie vengono portate fuori dall’integrale sono giustificati

dalla linearità degli operatori che si stanno considerando.

12 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA MECCANICA QUANTISTICA

Questa scrittura ha sia un significato fisico che matematico. Dal punto di vista fisico

effettuare una misura significa agire sul sistema e questa azione è espressa dall’applicazione

ˆ

dell’operatore f sullo stato ψ. Per ottenere poi il valore medio occorre integrare questa

operazione su tutto lo stato del sistema e si ritrova cosı̀ il prodotto scalare. Questa è

una giustificazione intuitiva ma poco rigorosa, per verificare la correttezza mostriamo che

effettivamente la scrittura (1.17) ha proprio il significato di valore medio come lo si intende

∗

in matematica. Decomponiamo le funzioni ψ e ψ in combinazioni lineare di autofunzioni:

Z Z

X X

X X

ˆ ˆ

∗ ∗ ∗

∗ =

hf i = hψ, f ψi = a a f dq ψ ψ

a a dq ψ (q) f ψ (q)

m m m m

m n n

n n {z }

| n m

n m {z }

|

f ψ , (1.8)

m m δ =1, m=n

n,n

X X

ˆ

∗ 2

= a a f h f i = |a | f Q.E.D. (1.18)

n n n n

n

n n

Abbiamo cosı̀ ottenuto la definizione matematica di valore medio, cioè la somma di tutti

2

i possibili valori ognuno pesato con la probabilità |a | di manifestarsi.

n

Definito il valore medio di un’osservabile si può definire anche l’incertezza ad esso

associata. La definizione è del tutto equivalente a quella che si dà nell’analisi degli errori

ed è la seguente: q ˆ ˆ

ˆ 2 2

h f i − h f i (1.19)

∆ f =

Il principio di indeterminazione di Heisenberg si può anche scrivere come:

q ~

2 2

2 2 ≥

hp̂ i − hp̂i

hx̂ i − hx̂i

∆x̂ · ∆p̂ = 2

Vedremo più avanti come sono definiti l’operatore x̂ e l’operatore p̂.

posizione impulso

1.8 Commutazione tra operatori in meccanica quan-

tistica

Ricordiamo ora l’operatore Presi due operatori lineari  e B̂ (ad esempio

commutatore.

delle matrici) si definisce [ Â, B̂] il seguente operatore lineare:

commutatore

[ Â, B̂] = Â

B̂ − B̂ Â Commutatore (1.20)

Se il commutatore è nullo allora si dice che i due operatori commutano, viceversa se non

è nullo i due operatori non commutano. Due operatori diagonali commutano sempre.

Essendo un operatore lineare può essere applicato ad una funzione (o ad un vettore):

[ Â, B̂]~x = Â B̂~x − B̂ Â~x

Una molto importante è la seguente: se due operatori hermitiani commuta-

proprietà

no allora sono diagonalizzabili in una base ortonormale comune, viceversa se due operatori

13

1.8. COMMUTAZIONE TRA OPERATORI IN MECCANICA QUANTISTICA 5

hermitiani sono diagonalizzabili su una base ortonormale comune allora commutano.

Questa proprietà ha un notevole risvolto in meccanica quantistica dove si può calco-

lare il commutatore di due operatori associati ad osservabili fisiche ed applicarlo ad una

ˆ

funzione d’onda. Consideriamo quindi due operatori associati a due osservabili fisiche, f

ˆ ˆ

† †

e ĝ. Come si è detto tali operatori lineari sono hermitiani ( f = f ĝ = ĝ ) e pertanto

diagonalizzabili in una certa base ortogonale. Per quanto detto, se commutano allora sono

diagonalizzabili su una stessa base di autovettori ψ :

n

ˆ

f ψ (q) = f ψ (q) ĝ ψ (q) = g ψ (q)

n n n n n n

Questo risultato ha un importante senso fisico. Se infatti abbiamo uno stato fisico de-

scritto da un’autofunzione ψ (q) che è una base per due operatori associati ad osservabili

n

allora il sistema considerato possiede contemporaneamente i valori f e g delle osserva-

n n

bili f e g. Lo stato descritto ψ è cioè uno stato puro in cui sono definiti con certezza i

n

valori di due osservabili differenti. Chiaramente in virtù del principio di sovrapposizione

lineare questo concetto può essere esteso anche a più di due osservabili fisiche. In altre

parole diciamo che in meccanica quantistica se due operatori lineari commutano allora

rappresentano osservabili fisiche che fanno parte dell’insieme completo.

Questa osservazione ha anche un’utilità pratica, se infatti abbiamo due operatori che

commutano e solamente di uno si conoscono le autofunzioni allora possiamo esprimere

l’altro operatore proprio come una decomposizione di queste autofunzioni. Faremo uso di

questa osservazione più avanti.

5 Questa proprietà è in realtà valida per operatori Un operatore è detto se commuta

normali. normale

†

con il suo aggiunto, cioè se [ ] = 0; la particolarità degli operatori normali è che sono sempre

Â, Â

diagonalizzabili su una base ortonormale e gli operatori hermitiani sono chiaramente degli operatori

normali (da cui la validità della suddetta proprietà). In generale invece per due operatori qualsiasi che

commutano si può soltanto dire che ammettono almeno un autovettore in comune. Se commutano e

sono anche diagonalizzabili allora ammettono una base di autovettori in comune che in generale non sarà

ortonormale.

14 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA MECCANICA QUANTISTICA

Capitolo 2

Operatori della meccanica

quantistica

2.1 Equazione di Schrödinger

Fino ad ora abbiamo detto che una funzione d’onda ψ(q) rappresenta lo stato di un

sistema in certo instante di tempo. È ovvio però che lo stato di un sistema fisico si può

evolvere nel tempo e quindi la funzione d’onda che lo rappresenta in generale sarà anche

una funzione del tempo: ψ(q, t). Ci preoccupiamo ora di descrivere il processo che domina

l’evoluzione temporale di uno stato fisico, in meccanica classica questo significa scrivere e

~

risolvere l’equazione F = m~a . Vogliamo quindi trovare un’equazione analoga al secondo

principio della dinamica anche per la meccanica quantistica. In fisica tutti i processi fisici

che si evolvono nel tempo sono descritti da equazioni differenziali quindi anche in questo

1

caso avremo al primo membro la derivata ∂ ψ(q, t) dello stato del sistema. Possiamo poi

t

pensare che l’evoluzione del sistema sia rappresentata da un operatore Ĥ (indipendente

dal tempo) che agisce sul sistema stesso, otteniamo cosı̀ una bozza dell’equazione cercata:

∂ ψ(q, t) = Ĥψ(q, t) (2.1)

t

Dalla meccanica classica sappiamo che a generare l’evoluzione temporale è la variazione

dell’energia del sistema. L’operatore lineare Ĥ deve quindi contenere il significato dell’

energia (intesa come osservabile) e perciò corrisponde all’hamiltoniana del sistema, da

cui si deduce la scelta della lettera utilizzata per rappresentarlo. Dal momento in cui

†

Ĥ è l’operatore associato ad un’osservabile (l’energia) è autoaggiunto: Ĥ = Ĥ . Dalla

meccanica classica sappiamo che l’hamiltoniana è data dalla somma di un termine cinetico

e di un termine potenziale: 2

p + V (q) (2.2)

H = 2m

Più avanti ci preoccuperemo di definire quale è la forma operatoriale di Ĥ. L’equa-

zione (2.1) tuttavia è incompleta, l’equazione corretta prende il nome di equazione di

ed ha la forma seguente:

Schrödinger ∂ ψ(q, t) = Ĥψ(q, t) (2.3)

i~ Equazione di Schrödinger

∂t

Tale equazione è deterministica, se cioè è noto lo stato ψ(q , t ) allora è univocamente

0 0

determinata l’evoluzione temporale del sistema. Il simbolo è chiamato e

accatagliato

~

∂

1 Per semplicità di notazione utilizzeremo spesso il simbolo =

∂ t ∂t

15

16 CAPITOLO 2. OPERATORI DELLA MECCANICA QUANTISTICA

h

corrisponde a = . Vediamo ora come mai questa è la forma corretta. Osserviamo

~ 2π

che nell’espressione (2.1), togliendo le dimensioni della funzione d’onda, al membro di

−1

sinistra si hanno le dimensioni [t ] e al membro di destra si hanno le dimensioni [E].

−1

L’introduzione al membro di sinistra delle dimensioni [E · t ] della costante di Planck

corregge l’equivalenza dimensionale dei due membri. Un pò meno intuitivo è il motivo

per cui occorre aggiungere anche l’unità immaginaria i. Innanzitutto si osservi che dalla

(2.3) segue immediatamente i

i ∗ ∗ ∗

Ĥψ ∂ ψ = Ĥ ψ (2.4)

∂ ψ = − t

t ~ ~

Sebbene il sistema evolva nel tempo deve comunque restare preservata la condizione di

normalizzazione della funzione d’onda:

Z Z

d

2 ∗

dq |ψ(q, t)| = 1 ∀t ⇔ dq ψ ψ = 0 (2.5)

dt

Mostriamo quindi che l’unica espressione che soddisfa la (2.5) è la (2.3) con la i davanti:

Z Z

d

∗ ∗ ∗

dq ψ ψ = dq ∂ ψ ψ + ψ ∂ ψ =

t t

dt

Sostituiamo le (2.4) ed effettuiamo alcuni passaggi algebrici:

#

"

Z

Z i i

i ∗

∗ ∗ ∗

∗ ∗

−

ψ + ψ =

Ĥ ψ Ĥψ dq ψ − ψ Ĥψ =

Ĥ ψ

= dq ~ ~ ~

Z

i ∗ ∗†

= dq ψ Ĥ ψ − Ĥψ =0 Q.E.D.

~ |{z}

Ĥ

La presenza della i permette la discordanza dei segni in maniera tale da annullare

∗ ∗ ∗ ∗†

l’integrale. Osserviamo nel dettaglio il passaggio ( Ĥ ψ )ψ = ψ ( Ĥ ψ), questo pas-

∗ ∗ ∗ ∗†

saggio può essere riscritto sotto forma di prodotto interno: hĤ ψ , ψi = hψ , Ĥ ψi.

†

È facile vedere ora che si è applicata la nota proprietà h Âu, = hu, Â Essendo

vi vi.

T

poi Ĥ una matrice hermitiana (e quindi anche simmetrica, Ĥ = Ĥ) è evidente che

T T

∗† ∗ ∗

Ĥ = ( Ĥ ) = Ĥ = Ĥ. Si tratta cioè di un’applicazione della proprietà (1.9) di cui

godono gli operatori hermitiani.

2.2 Soluzione dell’equazione di Schrödinger

Nei precedenti paragrafi abbiamo ottenuto le equazioni: i

ˆ˙ ˆ

[ Ĥ, f ]

i~ ∂ ψ(q, t) = Ĥψ(q, t) f =

t ~

Queste due equazioni ci permettono di capire come si evolvono nel tempo gli stati quan-

tistici e gli operatori lineari associati alle osservabili, in particolare la seconda equazione

ci permette anche di capire quali sono le quantità che conservano il loro valore medio nel

tempo. Ci preoccupiamo ora di trovare una soluzione all’equazione di Schrödinger. La

funzione d’onda ψ è un vettore dello spazio di Hilbert e in quanto tale avrà delle compo-

nenti cosı̀ che l’equazione di Schrödinger corrisponde in realtà ad un insieme di equazioni

17

2.2. SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER

differenziali lineari del primo ordine. Per un’equazione differenziale del primo ordine della

forma ẋ(t) = ax(t) ricordiamo che:

dx(t) a(t−t ) at

= ax(t) ⇒ x(t) = x(t )e = x(0)e

0

0

dt

Per semplicità d’ora in poi assumeremo t = 0 come istante iniziale. Nel caso in cui si

0

abbia un insieme di N (con N che può valere anche ∞) equazioni differenziali lo si può

rappresentare in forma matriciale: N

d d X

~ ~

ξ(t) = Â

ξ(t) ⇒ ξ (t) = A ξ (t) i = 1, .. , N

i ij j

dt dt j=1

Visto che in meccanica quantistica tutti gli operatori sono autoaggiunti è conveniente met-

terci nella base degli autovettori in maniera tale che la matrice  associata all’operatore

sia diagonale. In questo modo la soluzione diventa:

 

         

λ t

ξ ξ

λ .. 0 ξ (t) e .. 0 ξ (0)

1

1

1

1 1 1

d  

         

: : : : : : : : : :

= · ⇒ = ·

 

         

dt λ t

ξ 0 .. λ ξ ξ (t) 0 .. e ξ (0)

N

N N N N N

o in forma ridotta ~ ~

tÂ

ξ(t) = e ξ(0)

Trovare la soluzione di questo tipo di equazioni è quindi in genere semplice e queste os-

servazioni possono essere utilizzate per risolvere l’equazione di Schrödinger in un caso

particolare.

Vediamo ora che un modo efficiente per determinare l’evoluzione temporale del sistema

è quello di decomporre la funzione d’onda che lo descrive negli autostati dell’hamiltoniana.

Ciò significa che occorre risolvere l’equazione agli autovalori per Ĥ :

Ĥψ (q) = E ψ (q) (2.6)

n n n

Ricordiamo che gli E sono i valori dell’osservabile (in questo caso l’energia) che hanno

n

probabilità 1 di essere misurati quando il sistema è descritto dall’autostato ψ (q). Ri-

n

solvere l’equazione (2.6) è quindi molto importante e per questo è solitamente chiamata

. Determinati gli E e gli ψ lo stato

equazione di Schrödinger indipendente dal tempo n n

ψ(q, t) è dato da N

X

ψ(q, t) = a (t)ψ (q) (2.7)

n n

n

Dove la dipendenza temporale è tutta attribuita agli a (t) e non agli autostati. Il motivo è

n

dovuto al fatto che l’energia si conserva nel tempo, pertanto gli autostati dell’hamiltoniana

posseggono valori dell’energia fissati e non possono quindi avere dipendenza temporale.

2

Gli a (t) rappresentano ancora i coefficienti per i quali la quantità |a (t)| è la probabilità

n n

P 2

di trovare il valore E e quindi vale ancora |a (t)| = 1. Sostituiamo l’espressione

n n

n

(2.7) dentro l’equazione di Schrödinger:

N N

N d X X

X Ĥψ (q)

a (t)ψ (q) = =

a (t) a (t)E ψ (q)

i~ n

n n n n n n

dt {z }

|

n n

n E ψ

n n

18 CAPITOLO 2. OPERATORI DELLA MECCANICA QUANTISTICA

N

d

X ψ (q) = 0

⇒ i~ a (t) − a (t)E n

n n n

dt

n

Il passaggio evidenziato in rosso spiega come la scelta della base data dagli autostati

dell’hamiltoniana semplifica notevolmente l’equazione di Schrödinger, la scelta di una

base differente non permette questa semplificazione. L’ultima espressione è soddisfatta

solamente se se sono soddisfatte singolarmente le N equazioni differenziali lineari

d a (t) − a (t)E = 0

i~ n n n

dt

Abbiamo discusso prima la forma della soluzione di queste equazioni:

iE iE

n n

a (t) = a (t ) exp − (t − t ) = a (0) exp − t (2.8)

n n 0 0 n

~ ~

Abbiamo dunque ottenuto l’evoluzione temporale degli a (t), per completare la soluzione

n

sostituiamo questa espressione nella (2.7):

N

iE

X n t ψ (q) (2.9)

ψ(q, t) = a (0) exp − n

n ~

n

A questo punto l’evoluzione temporale diventa univocamente determinata quando si asse-

gnano le condizioni iniziali a (0). Questa espressione per l’evoluzione temporale è valida

n

solamente quando lo stato è decomposto sulle autofunzioni dell’hamiltoniana. In generale

è molto difficile, se non impossibile, determinare l’evoluzione temporale quando si ha una

decomposizione sugli autostati di un qualsiasi altro operatore.

2.3 Stati stazionari

Discutiamo ora un modo particolare di utilizzare la soluzione (2.9). Innanzitutto si defini-

sce ψ (q) l’autostato per il quale E = min{E }, cioè l’autostato per

stato fondamentale 0 0 n

il quale è minimo il livello di energia ed E è chiamato livello energetico fondamentale.

0

Tutti gli altri autostati ψ hanno energia maggiore e sono detti Gli autostati

stati eccitati.

n

ψ (q) associati all’operatore Ĥ, cioè Ĥψ = E ψ , sono chiamati In altre

stati stazionari.

n n n n

parole gli stati stazionari non sono altro che le autofunzioni dell’hamiltoniana. Chiariamo

ora il motivo di questa definizione. Supponiamo che all’istante iniziale il nostro sistema

sia descritto da un certo autostato: ψ(q, 0) = ψ (q) cosı̀ che Ĥψ = E ψ . Abbiamo

⋆ ⋆ ⋆ ⋆

detto che quando un sistema è descritto da un autostato la probabilità di trovare il valore

E è pari ad 1 (l’osservabile assume con certezza il valore E ) cosı̀ che a (0) = 1 e di

⋆ ⋆ ⋆

conseguenza a (0) = 0 ∀n 6 = ⋆. In queste condizioni la soluzione (2.9) si riduce ad una

n

singola equazione:

iE ⋆ t ψ (q) (2.10)

ψ(q, t) = exp − ⋆

~ iE

Lo stato del sistema in ogni istante è dato dal prodotto di una exp(− t), dipen-

fase n

~

dente dal tempo, con l’autostato. Ma è evidente che tale fase non modifica il valore medio

dell’osservabile associata ad Ĥ, cioè non modifica l’energia. Quest’ultima osservazione si

dimostra immediatamente ricordando che il valore medio di un osservabile si scrive come

una combinazione integrale bilineare:

Z Z ′ ∗ ′ ′

Ē = dq dq ψ (q , t)ϕ(q , q)ψ(q, t) 19

2.3. STATI STAZIONARI iαt

Se ora scriviamo la funzione d’onda nella forma ψ(q, t) = e ψ(q) e la sostituiamo

nell’espressione di Ē si vede che scompare la fase:

Z Z Z Z

′ −iαt ∗ ′ ′ iαt ′ ∗ ′ ′

Ē = dq dq e ψ (q )ϕ(q , q)e ψ(q) = dq dq ψ (q )ϕ(q , q)ψ(q)

In generale quindi quando si ha una fase globale (comune a tutti gli autostati nei quali si

decompone la funzione d’onda) questa può essere trascurata ai fini dei calcoli, cioè la fase

non è osservabile. Dunque uno stato stazionario è tale per cui il valore medio dell’energia

si conserva e cioè è indipendente dal tempo e pertanto la sua misura può essere fatta in

qualsiasi istante di tempo.

Un ragionamento analogo non si può fare quando si ha una fase relativa, cioè una fase

che moltiplica solo una delle autofunzioni che combinate danno l’evoluzione del sistema.

Ad esempio immaginiamo che il sistema all’instante iniziale sia dato dalla sovrapposizione

di due autostati ψ e ψ ognuno con uguale probabilità:

a b 1

2 2 a = 0 n 6 = a, b

|a (0)| = |a (0)| = n

a b 2

La soluzione avrà quindi la forma:

iE iE

a b

ψ(q, t) = a (0) exp − t ψ (q) + a (0) exp − t ψ (q)

a a b b

~ ~

I coefficienti a (0) e a (0), essendo numeri complessi, sono determinati a meno di una

a b

fase: √

√ 2 2

iα iβ

e a (0) = e

a (0) = b

a 2 2

La funzione d’onda diventa quindi √

√

iE iE

2 2

a b

iα iβ

e exp − t ψ (q) + e exp − t ψ (q)

ψ(q, t) = a b

2 2

~ ~

√ #

"

iE

iE

2 b

a

iα i(β−α)

⇒ ψ(q, t) = e t ψ (q) + e exp − t ψ (q)

exp − a b

2 ~ ~

iα

Si vede a questo punto che la fase globale e può essere trascurata mentre non si può

i(β−α)

ignorare la fase relativa e che moltiplica il secondo autostato. Tale fase determina

quanto la sovrapposizione dei due autostati è distruttiva o costruttiva nell’evolversi del

sistema, oltre alle condizioni iniziali sugli a (0) devono quindi anche essere fornite delle

n

condizioni che permettono di determinare univocamente tutte le fasi non trascurabili.

Un’osservazione importante da fare è che l’equazione agli autovalori (cioè l’equazione

di Schrödinger indipendente dal tempo) è un’equazione differenziale a valori reali e gene-

ralmente anche le condizioni al contorno sono reali. Ciò significa che gli stati stazionari

possono sempre essere presi reali. In particolare l’hamiltoniana stessa è a valori reali:

∗

H = H (2.11)

In genere la funzione d’onda è a valori complessi ma deriva dal fatto che sono i coef-

ficienti (gli a ) della combinazione lineare ad essere complessi e non necessariamente

n

le autofunzioni su cui si decompone. Questa osservazione sarà particolarmente utile in

seguito.

20 CAPITOLO 2. OPERATORI DELLA MECCANICA QUANTISTICA

2.4 Derivata temporale di un operatore lineare

Abbiamo parlato del valore medio di un’osservabile f e abbiamo introdotto l’operatore

ˆ˙

ˆ

f ad esso associato. Vogliamo capire ora quale forma assume la derivata temporale f

ˆ

dell’operatore f . Non possiamo intendere la derivata nel modo classico perché la derivata

è calcolata a partire da uno spostamento infinitesimo rispetto ad un punto. In meccanica

quantistica una volta definito il valore di un’osservabile in un certo stato restano indeter-

minati i valori in stati differenti. Da questa osservazione possiamo solamente dire che il

valore medio della derivata deve essere uguale alla derivata del valore medio:

d

d

ˆ˙ ˆ

˙ hψ, f ψi = hf i (2.12)

h f i = hψ, f ψi = dt dt

ˆ

Non ci resta quindi che derivare la (1.17) osservando che f può dipendere esplicitamente

dal tempo e quindi va calcolata la derivata di un prodotto:

Z Z

d

ˆ

˙ ˆ ˆ

ˆ ˆ

∗ ∗ ∗

hψ, f ψi = ∂ f ψ + f ∂ ψ =

dq ψ f ψ = dq ∂ ψ f ψ + ψ t t

t

dt

Sostituiamo le (2.4) e ripetiamo l’ultimo passaggio del precedente paragrafo:

Z i

i ˆ ˆ

ˆ

∗ ∗ ∗ ∂ f ψ − f

Ĥ ψ f ψ + ψ Ĥψ =

= dq t

~ ~

Z i

ˆ ˆ ˆ

∗ ∗ ∗† ∗

= dq ψ ∂ f ψ + ψ Ĥ f ψ − ψ f Ĥψ =

t ~

Z

Z i

i ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ∗

∗ ∂ f +

ψ = dq ψ

Ĥ f − f Ĥ [ Ĥ, f ] ψ =

∂ f +

= dq ψ t

t ~ ~

* +

i ˆ˙

ˆ ˆ

= ψ, ∂ f + [ Ĥ, f ] ψ = hψ, f ψi

t ~

Infine confrontando i termini si ottiene:

i

ˆ˙ ˆ

ˆ [ Ĥ, f ] Derivata di un operatore (2.13)

f = ∂ f +

t ~ ˆ˙

ˆ ˆ

Se l’operatore f non dipende esplicitamente dal tempo si ha ∂ f = 0 e dunque f =

t

ˆ

i [ Ĥ, f ]. Il risultato ottenuto rappresenta una notevole analogia con la meccanica classica.

~

In meccanica classica infatti se abbiamo una generica osservabile f q(t), p(t), t la sua

˙ 2

derivata è data da f = ∂ f + {H, f } che è molto simile alla (2.13). Sempre nell’ambito

t

della meccanica classica, se la variabile f non dipende esplicitamente dal tempo e se la

˙

parentesi di Poisson con l’hamiltoniana è nulla si ha che f = 0 e quindi f = cost. f

è pertanto una quantità che si conserva. Questa implicazione si trasmette anche alla

ˆ

meccanica quantistica infatti se l’operatore f non dipende esplicitamente dal tempo e

ˆ˙

ˆ

commuta con l’hamiltonina, [H, f ] = 0̂, allora si ha che f = 0̂ e quindi l’osservabile

conserva il suo valore medio:

d

˙

h f i = hf i = 0 ⇒ hf i si conserva

dt

2 L’espressione {H, } è l’operatore tra l’hamiltoniana H ed .

f f

parentesi di Poisson 21

2.5. SPETTRO DEGLI OPERATORI

Il fatto che un’osservabile conservi il suo valore medio non significa che per un certo stato

assume con certezza un determinato valore ma solamente che resta conservato il valore

medio insieme alla sua probabilità di manifestarsi. Un operatore il cui valore medio

della derivata è nullo è proprio Ĥ quando esso non dipende esplicitamente dal tempo.

Lo si vede facilmente poiché un operatore commuta sempre con se stesso, l’osservabile

associata conserva il suo valore medio è dunque l’energia del sistema. Si osservi che in

questo paragrafo non si è accennato alle autofunzioni, questo perchè le definizioni date

valgono indipendentemente dal tipo di funzione d’onda che descrive lo stato quantistico.

Viceversa se un certo stato possiede un valore determinato di f , e quindi è uno stato

descritto da un’autofunzione, allora anche negli istanti successivi si conserverà il valore f .

2.5 Spettro degli operatori

Fino ad ora abbiamo assunto che gli autovalori di un operatore costituissero un insieme

discreto. Discutiamo ora anche il caso in cui siano un insieme continuo e vediamo quali

importanti conseguenze si hanno. L’insieme degli autovalori di un operatore lineare è

chiamato Avendo a che fare con operatori hermitiani gli spettri che tratteremo

spettro.

avranno sempre valori reali. Possiamo distinguere due tipi di spettri per un generico ope-

ˆ

ratore f : può contenere un numero limitato o illimitato (come la maggior

Spettro discreto:

parte dei casi) di autovalori ma questi sono discreti, lo spettro costituisce cioè un insieme

numerabile: f → {f , f , f , ...}.

1 2 3

in questo caso gli autovalori assumono valori in un continuo su

Spettro continuo:

un intervallo: f → [f , f ].

a b

La cosa importante da chiarire è che lo spettro non dipende dall’operatore ma dalla

situazione. A seconda dei casi quindi un operatore può avere uno spettro discreto o uno

spettro continuo. Il problema nasce però quando si vanno a vedere le condizioni al con-

torno dello spazio di Hilbert, a seconda del tipo di spettro si hanno risultati differenti.

Per uno spettro discreto abbiamo visto che: Z

X 2

ψ = a ψ hψ , ψ i = δ hψ , ψ i = dq |ψ | = 1

n n n m n,m n n n

n

Quest’ultimo risultato ci dice che le autofunzioni ψ sono ortogonali e su

normalizzabili

n

tutto quanto lo spazio delle configurazioni. Se lo spazio delle configurazioni è molto gran-

de la probabilità di trovare la particella all’infinito decresce molto velocemente cosı̀ che

in generale all’infinito non è possibile trovarla. Concludiamo quindi che se l’autostato

è normalizzabile, cioè è associato ad un operatore con spettro discreto, allora il sistema

corrisponde ad uno In altre parole gli stati legati corrispondono a moti finiti

stato legato.

del sistema.

Consideriamo ora un operatore con spettro continuo, indichiamo con a un generico

f

valore dell’autovalore. Tutto quello che abbiamo già visto è ancora valido, cambia sola-

mente il modo di scrivere le cose infatti la funzione d’onda diventa una sovrapposizione

22 CAPITOLO 2. OPERATORI DELLA MECCANICA QUANTISTICA

lineare di un continuo di autofunzioni:

Z Z

f f

b b 2

ψ(q) = df a ψ (q) df |a | = 1

f f f

f f

a a

2

Dove |a | df è la probabilità di trovare il valore dell’osservabile f nell’intervallo [f, f +df ].

f ′

Ciò che cambia, come a breve dimostreremo, è che hψ (q), ψ (q)i = δ(f − f ) e quindi

f f ′

Z 2

hψ , ψ i = dq|ψ | = δ(f − f ) = δ(0) = +∞ (2.14)

f f f

Gli autostati associati ad operatori con spettro continuo sono ancora ortogonali ma non

sono più normalizzabili e di conseguenza non si può più trascurare la probabilità di tro-

vare una particella all’infinito. In questo senso diciamo che il sistema si trova in uno stato

Gli stati liberi corrispondono a moti infiniti del sistema.

libero.

Riassumendo quindi gli autostati associati ad operatori con spettro discreto sono orto-

gonali e normalizzabili (quindi ortonormali) e perciò descrivono stati legati, gli autostati

associati ad operatori con spettro continuo sono ancora ortogonali ma non sono più nor-

malizzabili e perciò descrivono stati liberi.

Per concludere il paragrafo dimostriamo quanto detto:

′

hψ (q), ψ (q)i = δ(f − f ) (2.15)

f f ′

Per dimostrarlo ricordiamo le seguenti espressioni:

Z Z Z

2 2

a) ψ(q) = df a ψ (q) b) |a | df = 1 c) dq|ψ(q)| = 1

f f f

Uguagliamo i membri di sinistra della b) e della c) sostituendo nella c) l’espressione a):

Z Z Z Z

∗ ∗ ∗

dq ψ ψ = dq df ψ a ψ = df a a

f f f

f

Per confronto dei coefficienti si ottiene

Z Z

∗ ∗ ∗

a = dq ψ ψ ⇒ a = dq ψψ

f f

f f

Sostituiamo dentro quest’ultima l’espressione a) al posto di ψ:

Z

Z ′ ∗ a

a = df dq ψ ψ f

f f ′

′ f

Come detto nella (1.6) l’unico kernel integrale che non modifica la struttura della funzione

è la Delta di Dirac: Z ∗ ′

dq ψ ψ = δ(f − f )

f ′ f

Ma il primo membro corrisponde anche alla definizione di hψ , ψ i, concludiamo quindi

f f ′

che: ′

hψ (q), ψ (q)i = δ(f − f ) Q.E.D.

f f ′ 23

2.6. OPERATORE POSIZIONE

2.6 Operatore posizione

Abbiamo finora parlato degli operatori lineari associati ad osservabili fisiche come opera-

tori generali, è giunto il momento di cominciare a vedere come sono effettivamente fatti

questi operatori. Cominciamo con il vedere l’operatore associato all’osservabile posizione

Innanzitutto osserviamo una cosa, le funzioni d’onda sono vettori dello spazio di Hil-

q.

bert in tale spazio si possono definire un numero infinito di basi (visto che in generale le

basi di uno spazio vettoriale sono infinite). Scegliere una base rispetto ad un’altra ha la

sola conseguenza di cambiare la rappresentazione delle funzioni d’onda e degli operatori

rispetto tale base ma effettivamente non cambia lo stato fisico del sistema.

Nel nostro caso, cerchiamo la rappresentazione dell’operatore q̂ nella base in

posizione 2

lo stato del sistema è descritto dalla funzione ψ(q) e il significato di |ψ(q)| dq è quello di

probabilità di trovare la particella nell’intervallo [q, q + dq]:

2

|ψ(q)| dq = Prob[q, q + dq] (2.16)

Dalla definizione di valore medio di un’osservabile sappiamo che

Z ∗

q̄ = hψ, q̂ψi = dq ψ (q) q̂ψ(q) (2.17)

2

Ma nella rappresentazione dello spazio in cui |ψ(q)| dq ha il significato di probabilità deve

allora valere anche la definizione matematica di valore medio:

Z Z

2 ∗

q̄ = dq q|ψ(q)| = dq ψ (q) qψ(q) (2.18)

Confrontando funzioni integrande della (2.17) e della (2.18) si vede che l’operatore q̂

agisce nel seguente modo:

q̂ψ(q) = qψ(q) ⇒ q̂ = q (2.19)

Operatore posizione

L’operatore posizione q̂ quando agisce sullo stato ψ(q) dà lo stato ψ(q) moltiplicato per

q, si tratta cioè di un operatore lineare moltiplicativo. Per confermare la correttezza di

questo risultato si può dimostrare che q̂ è un operatore hermitiano. Per farlo verifichiamo

che soddisfi la proprietà:

hq̂ψ, ϕi = hψ, q̂ϕi ⇒ hqψ, ϕi = hψ, qϕi

deve quindi essere soddisfatta l’uguaglianza:

Z Z

∗ ∗

dq (qψ) ϕ = dq ψ qϕ

∗

Ma q è una grandezza fisica e pertanto è reale, q = q, pertanto può essere portata fuori

dal prodotto interno senza problemi:

Z Z

∗ ∗

dq q ψ ϕ = dq q ψ ϕ Q.E.D.

24 CAPITOLO 2. OPERATORI DELLA MECCANICA QUANTISTICA

Cerchiamo ora di capire come è fatto lo spettro dell’operatore q̂. Per farlo dobbiamo

trovare le autofunzioni ψ (q) dell’equazione agli autovalori:

q i q̂ψ (q) = q ψ (q) ∀q fissato q

q i q i

i i

Abbiamo visto come agisce q̂ perciò riscriviamo l’equazione precedente come segue:

qψ (q) = q ψ (q) ⇒ (q − q )ψ (q) = 0

q i q i q

i i i

L’unica soluzione di quest’ultima equazione è che l’autofunzione sia una delta:

ψ (q) = δ(q − q ) (2.20)

q i

i

Infatti per q = q si annulla il termine (q−q ) mentre per q 6 = q si annulla ψ (q) = δ(q−q ).

i i i q i

i

Pertanto nella base in cui vale la (2.16) le autofunzioni di q̂ sono delle distribuzioni, co-

stituiscono quindi uno spettro continuo. D’altronde non abbiamo indicato alcun vincolo

discreto sull’autovalore q che per tanto può assumere un continuo di valori nell’intervallo

i

[−∞, +∞].

Nel precedente paragrafo abbiamo detto che le autofunzioni associate ad uno spettro

continuo sono ortogonali tra loro ma non sono normalizzabili e questo si può vedere anche

per le autofunzioni ψ . Prendiamo quindi le autofunzioni ψ e ψ relativi a due autovalori

q q q

i i j

q e q e mostriamo che hψ , ψ i è uguale a zero per q 6 = q e diverge invece per q = q :

i j q q i j i j

i j

Z Z

∗

hψ , ψ i = dq ψ ψ = dq δ(q − q )δ(q − q )

q q q i j

q

i j j

i

Chiaramente essendo q una grandezza fisica reale anche la corrispondente delta sarà reale.

Riconosciamo nell’ultima espressione la definizione di delta di Dirac:

Z

f (x) = dqδ(x − y)f (y) (2.21)

In questo caso f (y) = δ(q − q ) e quindi otteniamo il risultato che cercavamo:

j ( 0 q 6 = q

i j Q.E.D.

hψ , ψ i = δ(q − q ) =

q q i j +∞ q = q

i j i j

In precedenza si è anche detto che le autofunzioni costituiscono una base per lo spazio di

Hilbert e quindi una generica funzione d’onda ψ(q) deve poter essere decomposta in una

combinazione di tali autofunzioni. Ciò vale ovviamente anche per le autofunzioni di q̂:

Z

ψ(q) = dq a(q )δ(q − q ) (2.22)

i i i 2

dove gli a(q ) sono coefficienti complessi con il significato che |a(q )| dq rappresenta la

i i

probabilità di trovare la posizione q nell’intervallo [q , q + dq]. È interessante vedere che

i i

forma hanno gli a(q ) ed lo si vede subito osservando che la (2.22) ha proprio la forma

i

della (2.21) e quindi immediatamente si vede che Z

a(q ) = ψ(q ) ⇒ ψ(q) = dq ψ(q )δ(q − q ) (2.23)

i i i i i 25

2.7. OPERATORE IMPULSO 2 2

Questo risultato è del tutto plausibile infatti |a(q )| dq e |ψ(q)| dq devono avere lo stesso

i

significato (e quindi devono essere uguali) per come abbiamo scelto la base nella (2.16).

Un’altra conferma dei risultati ottenuti è che le autofunzioni sono proprio uguali ad una

distribuzione. Questo ci dice che se mettessimo il sistema in uno autostato della posizione

la sua funzione d’onda sarebbe ψ(q) = δ(q − q ) ma non essendo l’autofunzione normaliz-

i

zabile il suo modulo quadro divergerebbe in tale punto. Questo risultato contraddittorio è

dovuto al fatto che nella natura stessa della meccanica quantistica non si può determinare

la probabilità in un punto esatto ma solamente in un intervallo molto piccolo. Possiamo

però pensare di localizzare la particella in un intervallo ∆ e di considerare come funzione

1

d’onda una funzione del tipo ψ ≃ . Se ora si manda ∆ a 0 si ottiene un’approssimazio-

∆

ne finita della delta di Dirac e la funzione torna ad essere normalizzabile nell’intervallo

∆, tuttavia non si potrà mai rendere ∆ puntiforme e perciò la probabilità dovrà sempre

essere riferita ad un intervallo.

2.7 Operatore impulso

Definire l’operatore associato alla posizione è stato facile mentre definire l’operatore im-

p̂ associato all’osservabile (o quantità di moto) è un pò più complicato.

pulso impulso p

Innanzitutto mettiamo in un sistema isolato, la proprietà di un sistema isolato è quella

di essere invariante per traslazioni spaziali e cioè si conserva l’impulso di un corpo in tale

sistema. Per semplificare il tutto consideriamo in tale sistema una singola particella in

grado di muoversi nella sola direzione x e descritta dalla funzione d’onda ψ(x). Per co-

minciare facciamo compiere a questa particella una traslazione ∆x molto piccola di modo

che passi da ψ(x) a ψ(x + ∆x). Se la traslazione è molto piccola possiamo pensare di

sviluppare la funzione d’onda:

2 = (1 + ∆x∂ )ψ(x) = Ô ψ(x)

ψ(x + ∆x) = ψ(x) + ∆x∂ ψ(x) + o |∆x| x ∆x

x

Gli ordini superiori dello sviluppo possono essere trascurati per ∆x piccolo. Abbiamo

definito cosı̀ il risultato della traslazione come l’applicazione dell’operatore lineare Ô =

∆x

(1 + ∆x∂x) applicato allo stato di partenza ψ(x). L’operatore Ô genera la traslazione e si

può vedere che commuta con l’hamiltoniana Ĥ, questo vuol dire che può essere associato

ad un’osservabile che si conserva e la grandezza fisica che si conserva sotto traslazioni

in un sistema isolato è proprio l’impulso come detto. Tuttavia non possiamo ancora

associare Ô a p poiché dobbiamo prima generalizzare questo operatore per traslazioni

di dimensione finita. Una mossa legittima è quella di pensare ad una traslazione finita

come la composizione di tante traslazioni infinitesime e quindi all’applicazione molteplice

dell’operatore Ô . Ad esempio per una traslazione 2∆x possiamo scrivere:

∆x

ψ(x + 2∆x) = Ô Ô ψ(x) = (1 + ∆x∂ )(1 + ∆x∂ )ψ(x) =

∆x ∆x x x

2

= (1 + 2∆x∂ + ∆x ∂ )ψ(x) (2.24)

x xx

Sebbene il passaggio sia corretto ci si rende conto immediatamente che diventa impossi-

bile applicarlo per traslazioni molto grandi. Per farlo abbiamo bisogno di un’espressione

alternativa per l’operatore che genera la traslazione. Continuiamo lo sviluppo in serie

senza ignorale gli ordini superiori: 3

2 ∆x

∆x ∂ ψ(x) + ∂ ψ(x) + ...

ψ(x + ∆x) = ψ(x) + ∆x∂ ψ(x) + xx xxx

x 2! 3!

26 CAPITOLO 2. OPERATORI DELLA MECCANICA QUANTISTICA

Questo sviluppo è lecito poiché le funzioni d’onda sono funzioni analitiche e pertanto

sono derivabili infinite volte nel loro dominio di analiticità, questo ci dice che il raggio di

convergenza dello sviluppo è infinito e perciò può essere scritto in generale per qualunque

spostamento ∆ grande a piacere. Osserviamo ora che tale sviluppo può essere inteso come

l’espansione dell’esponenziale di un operatore lineare:

ˆ ψ(x) (2.25)

ψ(x + ∆x) = exp ∆ ∂ x

Quest’ultima espressione include anche la traslazione intesa come insieme di traslazioni

infinitesime. Se infatti proviamo a fare una traslazione di 2∆ si ottiene:

ˆ

ˆ

ˆ ψ(x)

exp ∆ ∂

ψ(x) = exp ∆ ∂

ψ(x + 2∆) = exp 2∆ ∂ x

x

x

Si vede come la traslazione può essere portata a compimento tramite due applicazioni

del’operatore di spostamento. Osserviamo che in genere se si hanno due operatori diversi

 e B̂ vale: exp  exp B̂ 6 = exp(  + B̂)

1

⇒ exp  exp B̂ = exp(  + B̂) exp [ Â, B̂] (2.26)

2

Nell’esempio illustrato però i due operatori sono uguali e quindi ovviamente commutano.

Il fatto che abbiamo trovato un operatore che genera delle traslazioni finite non ci legittima

ˆ

ancora a dire che p̂ = ∂ poiché l’operatore deve essere autoaggiunto ed una rapida verifica

x

ˆ

ci mostra che ∂ non lo è. Per essere autoaggiunto dovrebbe soddisfare la (1.9):

x Z Z

ˆ ˆ ˆ ˆ

∗ ∗

hψ, ∂ ϕi = h ∂ ψ, ϕi ⇒ dq ψ ∂ ϕ = dq ∂ ψ ϕ

q q q q

Dove in questo caso si è generalizzata la derivata rispetto una qualunque coordinata q.

Se integriamo per parti il membro di sinistra si ottiene:

Z Z

ˆ ˆ

∗ +∞ ∗ ∗

ψ ϕ| − dq ∂ ψ ϕ 6 = dq ∂ ψ ϕ (2.27)

q q

−∞

| {z }

0 ˆ

L’uguaglianza non risulta verificata e perciò l’operatore ∂ non è autoaggiunto. Ciò lo si

q

sarebbe potuto intuire anche osservando le dimensioni di ∂ e p:

q

L −1

[∂ ] = L

[p] = M · q

T ˆ

Per compensare la disuguaglianza a livello dimensionale possiamo moltiplicare ∂ per ~

q

mentre per correggere la disuguaglianza (2.27) possiamo moltiplicare per −i. Si vede cosı̀

che il seguente operatore è autoaggiunto:

ˆ

p̂ = −i~ ∂ (2.28)

Operatore impulso

q

Abbiamo cosı̀ trovato un operatore lineare hermitiano da associare all’osservabile impulso.

L’operazione che genera la traslazione può quindi essere scritta come:

i∆

ψ(x + ∆) = exp p̂ ψ(x) (2.29)

~ 27

2.7. OPERATORE IMPULSO

L’operatore impulso può essere agevolmente esteso a più dimensioni. Ad esempio in due

dimensioni: ~ ~

p̂ = (p̂ , p̂ ) = −i~(∂ , ∂ ) ∆ = (∆x, ∆y)

x y x y

dunque una traslazione in due dimensioni può essere indicata con:

i∆x i∆y

i ~

~

∆ · p̂ ψ(x, y) = exp exp ψ(x, y)

p̂ p̂

ψ(x + ∆x, y + ∆y) = exp x y

~ ~ ~

~

Si vede che le componenti del vettore p̂ commutano tra loro:

[p̂ , p̂ ]f (x, y) = [−i~∂ (−i~∂ ) − (−i~∂ )(−i~∂ )]f (x, y) =

x y x y y x

2

= −~ (∂ ∂ − ∂ ∂ )f (x, y) = 0

x y y x

Possiamo quindi facilmente estendere l’operatore ad n dimensioni:

~ ˆ

p̂ = (p̂ , p̂ , .. , p̂ ) = −i~ ∇ [p̂ , p̂ ] = 0 (2.30)

x x x x x

n i j

1 2

ˆ

dove ∇ = (∂ , ∂ , .. , ∂ ) è l’operatore . Il fatto che le componenti dell’operato-

gradiente

x x x n

1 2

re impulso commutano tra loro significa essenzialmente che il risultato finale non dipende

dall’ordine con cui vengono effettuate le traslazioni rispetto le tre coordinate. Se quindi

abbiamo una particella, la cui posizione è indicata da ~r = (x , x , .. , x ), che compie una

1 2 n

traslazione ∆~r = (∆ , ∆ , .. , ∆ ) l’operazione è espressa mediante:

x x x

n

1 2

i ~

p̂ · ∆~r ψ(~r ) (2.31)

ψ(~r + ∆~r ) = exp ~

Infine l’estensione può essere fatta ad un sistema di N particelle in n dimensioni. Ad ogni

~

particella associamo un operatore impulso p̂ ed una posizione ~r cosı̀ che:

i i

i

~ ~

ψ(~r + ∆~r , .. , ~r + ∆~r ) = exp ψ(~r , .. , ~r )

∆~r p̂ + .. + ∆~r p̂

1 1 N N 1 N

1 1 N N

~

I vari operatori impulso commutano tra loro:

~ ~ = 0

p̂ , p̂

i j

Ora che abbiamo definito l’operatore impulso studiamo il suo spettro e quindi le sue

autofunzioni. Per semplicità mettiamoci di nuovo nel caso unidimensionale. Essendo un

operatore lineare dobbiamo risolvere l’equazione agli autovalori:

p̂ψ (x) = p ψ (x) ∀x

p i p

i i

Scriviamo esplicitamente come p̂ agisce su ψ (x):

p i

ip i x (2.32)

−i~ ∂ ψ (x) = pψ (x) ⇒ ψ (x) = C exp

x p p p

i i i ~

Con C costante reale. Abbiamo cosı̀ trovato le autofunzioni dell’operatore p̂ e si vede che

esprimono un’onda piana che si propaga lungo la direzione x, l’operatore ha pertanto uno

spettro continuo. Ci aspettiamo quindi che le autofunzioni siano ortogonali fra loro ma

i = 0 quando p 6 = p :

non normalizzabili, verifichiamo quindi che hψ , ψ

p p i j

i j

Z Z

+∞ +∞ p p

ip

ip j i j i

i

− x x (p −p )x

dx e

hψ , ψ i = dx 1 · e

e = = δ −

j i

~ ~ ~

p p

i j h h

−∞ −∞

28 CAPITOLO 2. OPERATORI DELLA MECCANICA QUANTISTICA

Questo conferma quando volevamo verificare, chiaramente si è utilizzato il risultato noto

dalla teoria sulle trasformate di Fourier: Z

Z +∞

+∞ 1 iyk

i2πyx e dk (2.33)

e dx =

δ(y) = 2π −∞

−∞

Con questo terminiamo il paragrafo sull’operatore impulso.

2.8 Operatore impulso e operatore posizione

Nei precedenti due paragrafi abbiamo introdotto e studiato gli operatori posizione e impul-

so, abbiamo trovato che la rappresentazione della loro forma e delle loro autofunzioni, nella

2

base in cui ψ(q) descrive lo stato del sistema e |ψ(q)| dq ha il significato di probabilità,

è data da: q̂ = q ψ (q) = δ(q − q )

q i

i

ip i

ˆ q

p̂ = −i~ ∂ ψ (q) = C exp

q p i ~

Potremmo chiederci se questi due operatori commutano, la risposta è ovvia ed è no ma

calcoliamo ugualmente il loro commutatore:

ˆ ˆ ˆ ˆ

[q̂, p̂]f (q) = q(−i~ ∂ ) − (−i~ ∂ )q f (q) = −i~ q ∂ f (q) − ∂ qf (q) =

q q q q

ˆ ˆ

= −i~ q ∂ f (q) − f (q) − q ∂ f (q) = i~f (q) 6 = 0

q q

dunque [q̂, p̂] = i~1 (2.34)

Ma come mai sarebbe dovuto essere ovvio? All’inizio abbiamo detto che con la mecca-

nica quantistica si perde il concetto di traiettoria con la conseguenza che la posizione e

l’impulso di una particella non si possono più determinare contemporaneamente. Se non

si possono più determinare contemporaneamente significa che i rispettivi operatori non

possono essere decomposti in una base comune e di conseguenza non commutano.

I due operatori cosı̀ espressi nascondono dentro di loro il principio di indeterminazione.

Per vederlo esaminiamo i seguenti casi particolari.

Immaginiamo che il sistema quantistico si trovi in un autostato della posizione e quin-

di la sua funzione d’onda è un’autofunzione dell’operatore posizione: ψ(q) = ψ (q) =

q 0

δ(q − q ). In questa situazione la probabilità, effettuando una misura, di trovare la par-

0

ticella nella posizione q è pari ad 1. Abbiamo detto che una funzione d’onda può essere

0 ˆ

decomposta in una base formata dalle autofunzioni di operatore hermitiano f :

Z

ψ(q) = df a(f )ψ (q) (2.35)

f

Decomponiamo ψ(q) sulle le autofunzioni dell’operatore impulso, per trovare la forma dei

coefficienti a(p) osserviamo che dalla (2.33) risulta:

Z

Z i

i i

ψ(q) = δ(q − q ) = dp exp (q − q)p = dp exp q p exp − qp =

0 0

0 ~ ~ ~ 29

2.9. OPERATORE POSIZIONE NELLO SPAZIO DEGLI IMPULSI

Z i qp ψ (q)

= dp exp q 0

~

i qp ma a(p) è un coefficiente tale

Per confronto con la (2.35) si vede che a(p) = exp − ~

2

che la quantità |a(p)| dp rappresenta la probabilità, effettuando una misura, di trovare il

valore dell’osservabile p nell’intervallo [p, p + dp]. È evidente però che

2

i

exp − qp dp = 1 ∀ p ∈ [−∞, +∞]

~

Questo significa che si ha uguale probabilità di trovare p con qualunque valore nell’inter-

vallo [−∞, ∞] e quindi il valore dell’impulso è completamente indeterminato a fronte del

fatto che la posizione q è completamente determinata.

0

Analogamente possiamo pensare che il nostro stato si trovi in un autostato dell’impulso

i

e quindi ψ(q) = ψ (q) = exp . In questo stato, effettuando una misura dell’osser-

qp

p 0

~

0

vabile p, si ha probabilità 1 di trovare il valore p . Decomponiamo ora la funzione d’onda

0

nella base formata dalle autofunzioni dell’operatore posizione:

Z Z i

ψ(q) = ψ (q) = dq a(q )ψ (q) = dq exp δ(q − q )

qp

p i i q i i

0

i

0 ~

i 2

, ma |a(q )| dq rap-

qp

Infatti come visto nella (2.23) si ha che a(q ) = ψ(q) = exp i

0

i ~

presenta la probabilità, effettuando una misura, di trovare la particella nell’intervallo

[q , q + dq]. Si vede che

i i 2

i qp dq = 1 ∀q ∈ [−∞, +∞]

exp 0

~

Ciò vuol dire che si ha uguale probabilità di trovare q con un qualunque valore nell’in-

tervallo [−∞, +∞] e quindi il valore dell’impulso è indeterminato a fronte della completa

determinatezza di p .

0

Si vede dunque che la conoscenza esatta di posizione o impulso implica un’indetermina-

tezza dell’altra osservabile. Questo risultato esprime chiaramente in termini quantistici il

già visto principio di indeterminazione di Heisenberg che in una delle sue varie espressioni

può essere scritto come: ~ (2.36)

∆q · ∆p ≥ 2

2.9 Operatore posizione nello spazio degli impulsi

Abbiamo detto che la rappresentazione di operatori e funzioni d’onda dipende dalla scelta

della base da associare allo spazio di Hilbert ma che tale scelta non modifica lo stato

fisico del sistema. Per l’operatore posizione e impulso abbiamo scelto la base nella quale

ψ(x) indica la funzione d’onda nello spazio delle configurazioni. In tale base valgono le

espressioni: Z

ψ(x) = dp a(p)ψ (x) (2.37)

p

30 CAPITOLO 2. OPERATORI DELLA MECCANICA QUANTISTICA

Z ∗

a(p) = hψ (x), ψ(x)i = dx ψ (x)ψ(x) (2.38)

p p

Z Z

2 ∗

x̄ = dx x|ψ(x)| = dx ψ (x) xψ(x) (2.39)

Si è già detto che le prime due espressioni hanno il medesimo contenuto informativo, in-

fatti date le autofunzioni ψ (x) possiamo determinare la funzione d’onda ψ(x) conoscendo

p

gli autovalori a(p) nella prima equazione oppure possiamo determinare le a(p) conoscendo

la funzione d’onda ψ(x) nella seconda equazione. In questa rappresentazione conside-

riamo però ψ(x) come la funzione d’onda nello spazio delle configurazioni ma possiamo

anche cambiare base e intendere a(p) come una funzione d’onda dello spazio degli impulsi.

Mostriamo allora che effettuando questo specifico cambiamento di base (ma ovviamen-

te vale per qualunque cambiamento di base) cambia anche la forma degli operatori, in

particolare vediamo come cambia l’operatore posizione x̂. Nella base in cui ψ(x) è la

funzione d’onda nello spazio delle configurazioni il valore medio della posizione x è dato

da x̄ = hψ(x), x̂ψ(x)i, nella nuova base in cui a(p) è la funzione d’onda nello spazio degli

impulsi il valore medio di x dovrà avere la forma:

Z ∗

x̄ = ha(p), x̂a(p)i = dp a (p)x̂a(p) (2.40)

Tuttavia x̂ non sarà più un semplice operatore moltiplicativo come prima proprio perché

la rappresentazione dipende dalla base scelta. Abbiamo scelto l’espressione (2.39) perché,

riscrivendo le espressioni (2.37) e (2.38) in termini della nuova base ed effettuando ma-

nipolazioni algebriche, cerchiamo di ottenere l’espressione esplicita di x̄ tramite la quale

determinare x̂. Cominciamo con lo scrivere la (2.37) e la (2.38) esplicitando ψ (x):

p

Z i

ψ(x) = dp a(p) exp px (2.41)

~

Z i px ψ(x) (2.42)

a(p) = dx exp − ~

A questo punto moltiplichiamo per x la prima equazione e portiamo la x all’interno

dell’integrale (l’integrale dipende da p quindi x funge da parametro):

Z Z

i i

xψ(x) = dp a(p)x exp px = −i~ dp a(p)∂ exp px

p

~ ~

Integriamo per parti il secondo membro:

Z i

xψ(x) = i~ dp ∂ a(p) exp px

p ~

Sostituiamo questa espressione nella (2.39):

Z Z i

∗ px (2.43)

x̄ = i~ dx ψ (x) dp ∂ a(p) exp

p ~

Dalla (2.41) osserviamo che:

Z i

∗ ∗

ψ (x) = dp a (p) exp − px

~ 31

2.9. OPERATORE POSIZIONE NELLO SPAZIO DEGLI IMPULSI

Sostituiamo quest’ultima nella (2.43):

Z

Z Z i i

′ ∗ ′ dp ∂ a(p) exp

x̄ = i~ dx dp a (p) exp − p x px

p

~ ~

Spostando dei termini da un integrale all’altro si ottiene:

Z Z Z i ′

′ ∗ (p − p )x

x̄ = dp dp a (p)[i~∂ ]a(p) dx exp

p ~

′

L’ultimo integrale corrisponde a δ(p − p):

Z Z ′ ∗ ′

x̄ = dp dp a (p)[i~∂ ]a(p)δ(p − p)

p

′

La delta fa scomparire l’integrale in dp :

Z ∗

x̄ = dp a (p)i~ ∂ a(p) (2.44)

p

Infine confrontando la (2.44) con la (2.40) troviamo la rappresentazione dell’operatore x̂

nella nuova base dello spazio degli impulsi: ˆ

x̂ = i~ ∂ (2.45)

p

Si osserva un’interessante simmetria negli operatori, in particolare si può vedere che l’ope-

ratore p̂ nello spazio degli impulsi assume la forma p̂ = p. Nello spazio delle configurazioni

abbiamo quindi che:  x̂ψ(x) = xψ(x)





 p̂ψ(x) = −i~∂ ψ(x)

 x

Mentre nello spazio degli impulsi abbiamo:

 x̂a(p) = i~ ∂ a(p)

 p



 p̂a(p) = p a(p)



Le espressioni degli operatori cambiano al cambiare della base tuttavia è facile vedere che

resta invariato il loro commutatore: [x̂, p̂] = i~1

e dunque [x̂, p̂]a(p) = i~ a(p) [x̂, p̂]ψ(x) = i~ ψ(x)

D’altronde l’operatore identità è l’unico operatore che non cambia sotto cambiamenti

1

di base e perciò quest’ultimo risultato era prevedibile.

32 CAPITOLO 2. OPERATORI DELLA MECCANICA QUANTISTICA

2.10 La particella libera

Utilizziamo gli strumenti introdotti fino ad ora per descrivere un sistema quantistico

costituito da una singola particella libera che si muove in una sola dimensione. Abbiamo

detto che per risolvere un problema quantistico occorre innanzitutto risolvere l’equazione

agli autovalori dell’hamiltoniana:

Ĥψ (x) = Eψ (x) ∀x ∈ [−∞, +∞] (2.46)

E E

dalla quale poi si trova la soluzione dell’equazione di Schrödinger associata:

i~ ∂ ψ(x) = Ĥψ(x)

t

L’hamiltoniana classica di una particella libera è data da:

2

p (2.47)

H(p) = 2m

Per determinare la forma operatoriale dell’hamiltoniana sostituiamo alle variabili di H le

rispettive forme operatoriali: 2

p̂ (2.48)

Ĥ(p̂) = 2m

In una sola dimensione abbiamo quindi: 2

~ ˆ

ˆ ˆ

2 2 2 2 ∂

p̂ = p̂ = (−i~ ∂ ) = −~ ∂ ⇒ Ĥ = − xx

x xx

x 2m

In tre dimensioni invece si avrebbe: ˆ ˆ ˆ

ˆ

2 2 2

p̂ = (p̂ , p̂ , p̂ ) ⇒ p̂ = −~ ∆ = −~ ( ∂ + ∂ + ∂ )

x y z xx yy zz

ˆ ˆ ˆ

ˆ

Dove ∆ = ( ∂ + ∂ + ∂ ) è l’operatore . L’idea quindi è quella di risolvere

laplaciano

xx yy zz

l’equazione 2

~ ˆ

∂ ψ (x) = Eψ (x) ∀x ∈ [−∞, +∞]

− xx E E

2m

Tuttavia per risolvere questa funzione osserviamo che l’hamiltoniana è una funzione di p̂:

2

p

Ĥ = f (p̂) da cui H = f (p) = . Questo vuol dire che se sappiamo diagonalizzare p̂ (cioè

2m

trovare i suoi autovalori e i suoi autovettori) allora automaticamente sappiamo diagona-

lizzare anche Ĥ, in particolare Ĥ e p̂ commutano e perciò possono avere autofunzioni in

comune. Per trovare gli autovalori è sufficiente poi osservare che:

 p̂ψ = p ψ

 p j p

 j j

 Ĥψ = f (p )ψ

 p j p

j j

dunque √

2

p ⇒ p = ± 2mE (2.49)

E = f (p) = 2m

Abbiamo cosı̀ trovato gli autovalori E dell’equazione (2.46) che vogliamo risolvere. Ma

avendo detto che Ĥ è diagonalizzata sulle autofunzioni di p̂ allora le autofunzioni di Ĥ

coincidono proprio con quelle di p̂ che abbiamo calcolato in precedenza:

√

i i

ψ (x) = ψ (x) = C exp 2mE x

px = C exp ±

E p ~ ~ 33

2.10. LA PARTICELLA LIBERA

Si vede che ci sono due autofunzioni differenti che hanno lo stesso valore di energia E,

entrambe descrivono la medesima evoluzione temporale ma con una propagazione in due

direzioni differenti. In questo caso si dice che le autofunzioni sono approfondi-

degeneri,

remo questo aspetto nel prossimo capitolo. Dopo aver trovato autovalori ed autofunzioni

ci resta solo da determinare l’evoluzione temporale risolvendo l’equazione di Schrödinger.

In precedenza abbiamo detto che è comodo determinare l’evoluzione temporale ponendo

il sistema in uno stato stazionario, cioè in un autostato dell’hamiltoniana. In questo stato

infatti l’equazione di Schrödinger diventa:

i~ ∂ ψ = Ĥψ = Eψ

t E E E

La soluzione sarà quindi della forma (2.10):

√

i

i

i Et ψ (x, 0) = C exp Et exp ± 2mE x =

ψ(x, t) = exp − E

~ ~ ~

√

i i

= ψ(x, t) = C exp Et ± 2mE x

~ ~

La C rappresenta una costante arbitraria poiché la funzione d’onda non è normaliz-

zabile dato che è l’autofunzione di un operatore con spettro continuo. Per concludere

vediamo velocemente il caso in tre dimensioni. L’hamiltoniana ha la forma:

2 2

2 p̂ p̂

p̂ y z

x + +

Ĥ = 2m 2m 2m

Con p̂ , p̂ e p̂ che commutano tra loro. L’hamiltoniana è separabile poiché è una som-

x y z

ma di operatori che dipendono da coordinate separate. Questo significa che anche le

autofunzioni saranno separate e l’equazione di Schrödinger prende la forma:

Ĥψ (x, y, z) = Ĥψ (x)ψ (y)ψ (z)

E E E E

x y z

Questa scrittura ha senso poiché la misura di un’osservabile ha a che fare con la probabilità

di trovare un certo valore e sappiamo che se le osservabili sono indipendenti allora le

probabilità vanno moltiplicate tra loro. In questo caso l’autovalore E ha la forma:

2 2 2

p + p + p

x y z

E = 2m

Mentre l’autofunzione dipendente dal vettore posizione ~r = (x, y, z) ha la forma:

p y p z

p x

i y z

x

p

~ · ~r = C exp i + +

ψ (~r ) = C exp

E ~ ~ ~ ~

Dunque l’autofunzione è un’onda piana in tre dimensioni.

34 CAPITOLO 2. OPERATORI DELLA MECCANICA QUANTISTICA

Capitolo 3

Potenziali unidimensionali

Alla fine del precedente capitolo abbiamo studiato il caso della particella libera. Il si-

stema della particella libera non è altro che un sistema in cui l’hamiltoniana ha termine

potenziale nullo. In questo capitolo ci proponiamo di studiare i sistemi unidimensionali

in cui compaiono potenziali di vario tipo.

3.1 Equazione di Schrödinger

Riassumiamo in breve parte dei risultati ottenuti nei capitoli precedenti. Se ψ(q, t) è la

funzione d’onda che descrive lo stato del sistema allora la sua evoluzione temporale è data

dall’equazione di Schrödinger: i~ ∂ ψ(q, t) = Ĥψ(q, t)

t

L’equazione agli autovalori per l’hamiltoniana costituisce l’equazione di Schrödinger in-

dipendente dal tempo: Ĥψ (q) = Eψ (q) (3.1)

E E

Nel caso particolare in cui la funzione d’onda è decomposta sugli stati stazionari (autostati

dell’hamiltoniana) la soluzione dell’equazione di Schrödinger diventa:

i

X E t ψ (q)

ψ(q, t) = a (0) exp − n n

n ~

n

L’hamiltoniana è data da un termine cinetico e da un termine potenziale. A partire

dall’operatore impulso p̂ = −i~∂ il termine cinetico si può scrivere come

i i

2 2 2 2 2

p + p + p ~ ~

x y z ˆ

2 2 2

= − (∂ + ∂ + ∂ ) = − ∆

x y z

2m 2m 2m

ˆ 2 2 2

dove ∆ = ∂ + ∂ + ∂ è l’operatore Dunque l’hamiltoniana diventa:

laplaciano.

x y z 2

~ ˆ

∆ + Û (q)

Ĥ = − 2m

da cui, nel caso unidimensionale, si ha: 2

~ ∂ + Û (x) (3.2)

Ĥ = − xx

2m

35

36 CAPITOLO 3. POTENZIALI UNIDIMENSIONALI

Poiché abbiamo spiegato la necessità di risolvere l’equazione agli autovalori per l’hamilto-

niana sostituiamo la (3.2) nella (3.1) e ricaviamo l’equazione di Schrödinger indipendente

dal tempo nel caso unidimensionale: !

2

~

− ∂ + Û (x) ψ (x) = Eψ (x)

xx E E

2m

da cui 2 h i

~ ∂ ψ (x) + E − Û (x) ψ (x) = 0 (3.3)

xx E E

2m

In questo capitolo ci occuperemo in larga parte di risolvere questa equazione per differenti

espressioni di Û (x). La generalizzazione al caso tridimensionale è immediata:

2 h i

~ ˆ

∆ψ (~r ) + E − Û (~r ) ψ (~r ) = 0

E E

2m

Nel paragrafo sulla particella libera si è inoltre accennato al caso di hamiltoniane sepa-

rabili. L’hamiltoniana è separabile se può essere scritta come somma di hamiltoniane

ognuna riferita ad un insieme di gradi di libertà indipendenti l’uno dall’altro:

Ĥ = Ĥ + Ĥ + ...

1 2

Nel caso tridimensionale ad esempio l’hamiltoniana è separabile se può essere scritta nella

forma: Ĥ(x, y, z) = Ĥ(x) + Ĥ(y) + Ĥ(z)

Il caso di hamiltoniana separabile può essere facilmente trattato, infatti l’interpretazione

probabilistica della meccanica quantistica ci permette di scrivere il generico autostato del

1

sistema come il prodotto degli autostati delle singole hamiltoniane separate:

ψ (q , q , ..., q ) = ψ (q )ψ (q )...ψ (q )

E 1 2 n E 1 E 2 E n

3.2 Densità di corrente

Abbiamo parlato dell’evoluzione temporale di una funzione d’onda ma non ci siamo pre-

occupati di capire come varia la probabilità in funzione del tempo in un certo intervallo

spaziale. Calcoliamo dunque: Z b

d 2

dx |ψ(x, t)| (3.4)

dt a

Per semplicità mettiamoci nel caso unidimensionale, generalizzeremo i risultati ottenuti

alla fine. Si ha: Z

Z

Z b

b

b d

d

∗ ∗

∗

2 dx ∂ ψ ψ + ψ ∂ ψ

ψ (x, t)ψ(x, t) =

dx

dx |ψ(x, t)| = t t

dt dt a

a

a

a questo punto sostituiamo le (2.4): Z b i

∗ ∗ ∗

Ĥ ψ ψ − ψ Ĥψ

dx

⇒ = ~

a

1 In statistica infatti la probabilità associata al verificarsi di eventi indipendenti è data dal prodotto

delle probabilità che si verifichi singolarmente ciascun evento. 37

3.2. DENSITÀ DI CORRENTE

Per quanto discusso alla fine del paragrafo 2.3 si ha:

2 2

d

~

∗

Ĥ = Ĥ = − + V (x)

2

2m dx

da cui sostituendo:

Z b 2

2 d

d

~ ∗

∗

dx ψ − ψ

ψ ψ =

⇒ = −i 2 2

2m dx dx

a

" #

Z Z

b b

d d

~

∗

∗

d d J(x) = − J(b) − J(a)

dx dx

= −

ψ ψ

ψ − ψ

= −i dx dx

2m dx dx

a a

Dove si è introdotta la quantità J(x):

d d

d d

~ ~

∗ ∗ ∗

∗

J(x) = i (3.5)

ψ − ψ ψ = −i ψ − ψ ψ

ψ ψ

2m dx dx 2m dx dx

da cui: Z

Z b

b d

d 2 J(x) (3.6)

dx

dx |ψ(x, t)| = −

dt dx

a a

J(x) è chiamato o semplicemente . In tre

vettore densità di corrente densità di corrente

dimensioni infatti J è un vettore:

~

~ ∗ ∗

J = i ψ grad ψ − ψ grad ψ Densità di corrente (3.7)

2m

La (3.6) estesa in un certo volume diventa: I

Z

Z

d ~

~

2 dΣ J · n̂ (3.8)

dV div J = −

dV |ψ| = −

dt ∂V

V

V

dove si è applicato il noto teorema della divergenza (∂V rappresenta la superficie chiusa

che delimita il volume V ). Questa espressione ci suggerisce il significato fisico della densità

di corrente: il suo integrale su una superficie rappresenta la probabilità che la particella

attraversi tale superficie nell’unità di tempo. Se invece consideriamo i primi due membri

della (3.8) ed estendiamo l’integrale a tutto lo spazio è evidente che:

Z

Z

d ~

2

dV |ψ| = − dV div J = 0

dt | {z }

1

D’altronde se la funzione d’onda è normalizzata l’integrale del suo modulo quadro su

tutto lo spazio deve essere pari ad 1. Si vede quindi che deve essere rispettata la seguente

equazione: 2

d|ψ| ~

+ div J = 0 Equazione di continuità (3.9)

dt

Questa equazione prende il nome di ed è analoga a quella che si

equazione di continuità

trova nell’elettromagnetismo. In una dimensione l’equazione di continuità diventa:

2

d|ψ(x, t)| d

+ J(x) = 0 (3.10)

dt dx

Dall’equazione di continuità si derivano delle importanti osservazioni per quanto riguarda

i sistemi unidimensionali:

38 CAPITOLO 3. POTENZIALI UNIDIMENSIONALI

Se lo stato del sistema ψ corrisponde ad uno stato stazionario, cioè ψ = ψ , allora

• E

~ 2

J è costante in tutto lo spazio. Ciò è dovuto al fatto che in questo caso |ψ(x, t)| è

indipendente dal tempo. Infatti l’evoluzione temporale del sistema è data da:

i Et

− ψ (x)

ψ(x, t) = e ~ E

e dunque il modulo quadrato diventa:

i i

2 ∗ + Et ∗ − Et 2

|ψ(x, t)| = ψ ψ = e ψ (x) e ψ (x) = |ψ (x)|

~ ~ E E

E

pertanto dalla (3.10) si ottiene:

d J(x) = 0 ⇒ J(x) = cost ∀ x

dx

Se lo stato del sistema ψ corrisponde ad uno stato legato allora J = 0. Ricordiamo

• che uno stato legato è uno stato stazionario associato ad uno spettro discreto e in

quanto tale è normalizzabile: Z 2

dx |ψ (x)| = 1

E

Per quanto detto nel punto precedente deve essere J(x) = cost. Ma con riferimento

alla (3.5) ciò significa che:

d d

~ ∗ ∗

ψ = cost ∀x (3.11)

ψ − ψ ψ

J= i E E

E E

2m dx dx

Abbiamo discusso il fatto che uno stato legato è caratterizzato dall’avere orbite chiu-

se e ciò è dovuto essenzialmente al fatto che la funzione d’onda si annulla abbastanza

velocemente per x → ±∞. Dato che J è ovunque costante ci basta conoscerla in un

punto perché sia definita in tutto l’intervallo. A tal proposito possiamo calcolare J

per x = ∞ e dato che ψ deve quı̀ essere zero allora dalla (3.11) si evince che J = 0.

E

se J = 0 allora la funzione d’onda è reale a meno di una fase moltiplicativa. Ab-

• biamo già detto che in generale le autofunzioni possono essere prese reali ed ora

stiamo fornendo una condizione affinché sia reale tutta quanta la funzione d’onda

(cioè la combinazione lineare di autofunzioni che descrive lo stato di un sistema).

Chiaramente vale anche il viceversa, cioè se la funzione d’onda è reale allora J = 0.

Se J = 0 dalla (3.5) si ha: ∗′ ∗ ′

ψψ − ψ ψ = 0

da cui si ottiene:

′ ∗′ d

ψ d

ψ

∗

∗

⇒ ⇒ ψ = C ψ

= ln ψ = ln ψ

∗

ψ ψ dx dx

dove C è una generica fase complessa. È chiaro che se una generica funzione è

proporzionale alla sua complessa coniugata allora non può che essere reale.

il valore medio dell’impulso in uno stato legato è nullo. Senza passare per il vettore

• densità di corrente questo risultato si può spiegare facilmente osservando che in uno

stato legato il moto è finito e le orbite sono chiuse. Se si considera il piano delle fasi,

cioè il piano v(x)−x, le orbite chiuse corrispondono a delle curve chiuse simmetriche

rispetto l’asse x ed è quindi immediato constatare che il valore medio della velocità,

e quindi dell’impulso, è nullo. La dimostrazione a partire da J è riportata alla fine

del capitolo. 39

3.3. PROPRIETÀ QUALITATIVE DELLE AUTOFUNZIONI

3.3 Proprietà qualitative delle autofunzioni

In questo paragrafo discutiamo delle proprietà qualitative delle autofunzioni che sono

soluzioni dell’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo.

3.3.1 Continuità e spettro delle autofunzioni

Consideriamo l’equazione di Schrödinger:

2 h i

~

− ∂ ψ(x) = E − Û (x) ψ(x) (3.12)

xx

2m

La soluzione ψ(x) deve essere monodroma e continua in tutto lo spazio. La continuità

di ψ(x) è garantita anche nel caso in cui il potenziale Û (x) abbia discontinuità di tipo

salto a patto però che la derivata prima di ψ(x) sia continua. Per vedere che la continuità

di ψ(x) implica la continuità della sua derivata supponiamo che x sia una discontinuità

0

di tipo salto per Û (x) ed integriamo entrambi i membri della (3.31) in un introno di x :

0

Z

Z x +ε

x +ε

2 h i

~ 0

0

− E − Û (x) ψ(x) dx

∂ ψ(x) dx =

xx

2m x −ε

x −ε 0

0 Z

Z x +ε

x +ε

2

~ 0

0

∂ ψ(x) − ∂ ψ(x) Eψ(x) dx −

=

− Û (x)ψ(x) dx

x x

x +ε x −ε

2m 0 0 x −ε

x −ε 0

0

Se ora supponiamo che ψ(x) sia continua il primo integrale del secondo membro si an-

nulla per ε → 0; nel secondo integrale invece possiamo assumere che ψ(x) sia costante

dell’intervallo [x − ε, x + ε] quando ε → 0 e quindi:

0 0

Z Z

x +ε x +ε

0 0 ε→0

Û (x)ψ(x) dx ≃ ψ(x ) Û (x) dx → 0

0

x −ε x −ε

0 0

poiché, essendo x una discontinuità di tipo salto, Û (x) assume valori finiti nell’intervallo

0

[x − ∞, x + ∞]. Se il secondo membro si annulla deve annullarsi anche il primo membro

0 0

ma ciò si verifica soltanto se ∂ ψ(x + ε) = ∂ ψ(x − ε) cioè se i limiti destro e sinistro

x 0 x 0

della derivata coincidono in x e questa coincide con la definizione di continuità.

0

Consideriamo il caso in cui in una certa regione di spazio c’è un potenziale infinito.

La particella non può penetrare barriere di potenziale infinito e dunque non è possibile

trovare la particella in tale regione. Ciò significa che in tale regione si deve avere ψ(x) = 0

e la continuità della soluzione impone che ψ(x) sia nulla nel punto in cui comincia la bar-

riera. La derivata di ψ(x) invece subirà una discontinuità di tipo salto.

Supponiamo ora che il potenziale abbia un minimo Û , allora il valore medio dell’e-

min

nergia del sistema soddisfa l’uguaglianza:

Ē > Û min

Ciò è piuttosto ovvio poiché: 1

1 2 2

hψ, p̂ ψi + hψ, Û ψi |p̂ψ| + Û ⇒ Ē > Û

>

Ē = hψ, Ĥψi = min min

2m 2m

| |

{z } {z }

≥0

> Û min

40 CAPITOLO 3. POTENZIALI UNIDIMENSIONALI

dove per il valore medio dell’impulso quadro si è sottinteso il passaggio hψ, p̂p̂ψi =

2

hp̂ψ, p̂ψi = |p̂ψ| . Poiché la disuguaglianza ottenuta deve valere per qualunque stato

allora ovviamente vale anche per gli stati con energia fissata (gli autostati ψ (x)) e quindi

n

ovviamente deve essere soddisfatta dai livelli energetici dello spettro:

E > Û (3.13)

n min

Dunque in un sistema con un certo potenziale unidimensionale esistono soltanto le

soluzioni ψ corrispondenti a livelli energetici E > Û . In maniera del tutto analoga a

n n min

come si fa in meccanica analitica, fissata l’energia E del sistema si definiscono zone clas-

dove E > Û e zono dove E < Û . Nella

sicamente permesse classicamente proibite

min min

meccanica classica la soluzione del moto è limitata ad esistere nella regione classicamente

permessa. In meccanica quantistica questa ipotesi è in contraddizione l’ipotesi di conti-

nuità di ψ(x) in tutto lo spazio; ciò significa che quando la particella raggiunge il limite

tra zona permessa e zona proibita non torna indietro come succederebbe in meccanica

classica. D’alta parte se il potenziale è comunque finito la ψ(x) non può nemmeno essere

nulla nel punto di passaggio tra le due zone. Si potrebbe ragionevolmente pensare che la

particella possa trovarsi effettivamente anche nella regione proibita. Ciò non è ovviamen-

te possibile per la seguente ragione. Supponiamo che la particella si trovi nell’intervallo

a < x < b nel quale E < Û (x), ovviamente in tale intervallo il valore medio dell’energia

totale è minore del valore medio del potenziale. Se proviamo a determinare il valore medio

2

p̂

dell’energia cinetica T = in questa regione ci rendiamo immediatamente conto che:

2m 2

|p̂ψ|

T̄ = = Ē − hψ, Û ψi < 0

2m 2

Ma ciò è ovviamente assurdo poiché |p̂ψ| > 0. La particella non può quindi trovarsi in-

definitamente lontana dalla regione permessa. L’unica possibilità infine è che la funzione

d’onda ψ(x), dopo essere passata con continuità dalla zona permessa a quella proibita,

2

decresca velocemente a 0. Nonostante quindi la densità di probabilità |ψ(x)| decresca

velocemente a 0 sembra comunque che la particella si possa trovare nella regione proibi-

ta almeno in un piccolo tratto dopo essere uscita dalla regione permessa. Questo fatto

tuttavia è un compromesso accettabile poiché se localizziamo la particella in un certo

punto, in virtù del principio di indeterminazione, la sua energia cinetica sarà completa-

mente indeterminata e non ha più senso stabilire se il suo valore medio sia positivo o meno.

Questa discussione ha una conseguenza molto importante per quanto riguarda lo

spettro energetico. Infatti si deducono immediatamente le seguenti osservazioni:

Se esiste una zona classicamente permessa con estensione finita, per quanto detto

• 2

fino ad ora, la densità di probabilità |ψ (x)| ha valore finito in tale regione e si an-

n R +∞ 2

nulla rapidamente al di fuori di essa. Come conseguenza l’integrale |ψ (x)| dx

n

−∞

è convergente e con un’opportuna costante moltiplicativa può essere normalizzato

ad 1. Abbiamo in precedenza detto che ad essere normalizzabili sono le autofunzioni

dello spettro discreto. Deduciamo quindi che i livelli energetici che definiscono delle

regioni permesse con estensione finita sono discretizzati.

Consideriamo ora una zona permessa con estensione infinita. La particella si può

• trovare in qualunque punto di questa regione e quindi la densità di probabilità

41

3.3. PROPRIETÀ QUALITATIVE DELLE AUTOFUNZIONI

2

|ψ (x)| è diversa da zero anche a distanza infinita. Come conseguenza l’integra-

n

R +∞ 2

le |ψ (x)| dx diverge e quindi le autofunzioni non sono normalizzabili. Pre-

n

−∞

cedentemente abbiamo detto che le funzioni non normalizzabili sono quelle dello

spettro continuo. Pertanto concludiamo che l’energia può assumere con continuità

qualunque valore che definisce una regione classicamente permessa con estensione

infinita.

3.3.2 Degenerazione dello spettro

Vediamo ora cosa si può dedurre sullo sulla degenerazione dello spettro a partire dal

potenziale. Dimostriamo che tutti i livelli energetici dello spettro discreto non possono

essere degeneri. Per dimostrarlo procediamo per assurdo e supponiamo che esistano due

autofunzioni, ψ (x) ed ψ (x) (essendo autofunzioni di un operatore autoaggiunto devono

1 2

essere ortogonali tra loro), per lo stesso livello energetico E. Scriviamo l’equazione di

Schrödinger come segue: ′′

2 ψ 2m

~ n

′′ [E − Û (x)]

ψ + [E − Û (x)]ψ = 0 ⇒ = −

n

n 2

2m ψ ~

n

Se le due autofunzioni soddisfano questa equazione con lo stesso valore di E allora deve

valere l’identità:

′′ ′′

ψ ψ d

1 2 ′ ′

′′ ′′ = 0

ψ ψ − ψ ψ

= ⇒ ψ ψ − ψ ψ = 2 1

2 1 1 2

1 2

ψ ψ dx

1 2 ′ ′

da quest’ultima si evince che ψ ψ − ψ ψ = cost in tutto lo spazio. Poiché siamo nell’i-

2 1

1 2

potesi di spettro discreto, e quindi di moto finito, all’infinito si deve avere ψ = ψ = 0 e

1 2

quindi cost = 0 da cui segue:

Z Z

′ ′

′

′ ψ ψ

ψ

ψ 1 2

2

1 = =⇒ dx = dx =⇒ log(ψ ) = log(k · ψ ) =⇒ ψ = k · ψ

1 2 1 2

ψ ψ ψ ψ

1 2 1 2

Abbiamo cosı̀ dimostrato che le due autofunzioni devono essere linearmente dipendenti,

ma se cosı̀ fosse allora non possono essere ortogonali (come dovrebbero essere per ipotesi)

e questo conduce all’assurdo, pertanto i livelli energetici non possono avere degenera-

zione. Da questa dimostrazione discende immediatamente un’altra osservazione; in una

zona permessa infinitamente estesa da un certo punto in poi (ad esempio definita da un

intervallo del tipo [x , +∞] o [−∞, x ], quindi c’è anche una zona proibita infinitamente

0 0

estesa) lo spettro energetico (continuo) non può essere degenere. La dimostrazione è del

tutto identica a quella appena fatta con la sola osservazione che a seconda di come è fatto

il potenziale le due autofunzioni si annulleranno entrambe o solo per x = +∞ o solo per

x = −∞. Si osservi che questa trattazione resta valida anche se le due autofunzioni si an-

nullano nello stesso punto. Come esempio consideriamo un potenziale fatto nel seguente

modo: E 2 E 1

E 0

x 0

In base alle trattazioni fatte possiamo effettuare la seguente analisi qualitativa:

42 CAPITOLO 3. POTENZIALI UNIDIMENSIONALI

Visto che deve essere E > U esisteranno solo soluzioni per le quali E > E . Per

• min 0

E < E non esistono soluzioni all’equazione di Schrödinger;

0

Per E < E < E la soluzione vive in una zona permessa con estensione finita e

• 0 1

quindi lo spettro è discreto e non degenere;

Per E < E < E la zona permessa è infinitamente estesa, tuttavia per x < x

• 1 2 0

comincia una zona proibita infinitamente estesa e quindi lo spettro sarà continuo

ma non degenere;

Per E > E la zona permetta ha estensione infinita sia per x = −∞ che per

• 2

x = +∞, lo spettro sarà quindi continuo e degenere (con grado di degenerazione 2

come vedremo in seguito);

L’analisi qualitativa di sistemi unidimensionali è quindi piuttosto semplice.

Un altro importantissimo risultato, che va sotto il nome di e

teorema delle oscillazioni

che non dimostreremo, afferma che: l’autofunzione ψ (x) dello spettro discreto (dove per

n

n = 0 si ha lo stato fondamentale) si annulla n volte per valori finiti di x. Chiaramente

gli zeri si trovano al finito poiché tali autofunzioni esistono solo in zone permesse con

estensione finita. Questo teorema permette di dimostrare che lo stato fondamentale non è

mai degenere, la dimostrazione è riportata alla fine del capitolo. Questo teorema è inoltre

molto importante poiché ci permette di prevedere il numero di nodi delle autofunzioni

dello spettro discreto e in particolare ci dice che lo stato fondamentale, ψ , non ha zeri

0

e perciò non cambia mai segno. Questo risultato, cosı̀ come altri risultati, si dimostra

sfruttando il calcolo delle variazioni sul sistema quantistico.

3.3.3 Parità delle autofunzioni

L’ultimo aspetto che intendiamo esaminare è quello della parità delle autofunzioni. A tal

proposito introduciamo P̂ . Quando l’operatore P̂ agisce su una

l’operatore di inversione

funzione esso cambia segno a tutte le coordinate che compaiono nella funzione. Se si ha

f (x, y, z) dunque: P̂ f (x, y, z) = f (−x, −y, −z) (3.14)

L’operatore di inversione generalizza quindi l’inversione di tutti gli assi coordinati del siste-

ma di riferimento. Determiniamo autovalori ed autofunzioni dell’operatore di inversione.

Se consideriamo l’equazione agli autovalori:

P̂ ψ(r) = P ψ(r)

Applichiamo l’operatore P̂ su entrambi i membri:

2

P̂ ψ(r) = P P̂ ψ(r)

2 2

ψ(r) = P ψ(r) ⇒ P = 1

da cui P = ±1. Chiaramente la doppia applicazione dell’operatore di inversione sullo

2

stesso stato restituisce lo stato inalterato, dunque P̂ = e in tal caso si dice che P̂ è un

1

operatore idempotente. Determinati gli autovalori dunque si ha:

P̂ ψ(r) = ±ψ(r)

ψ(−r) = ±ψ(r)

1

− 43

3.4. POTENZIALE S

X

Pertanto le autofunzioni dell’operatore di inversione o sono funzioni pari o dispari. Que-

sto risultato è molto importante poiché se l’hamiltoniana di un sistema è invariante sotto

l’azione di P̂ , ossia commuta con esso [ Ĥ, P̂ ] = 0, allora i due operatori devono avere au-

tostati in comune e pertanto gli stati stazionari risultano essere o funzioni pari o funzioni

dispari. Inoltre la parità degli stati si conserva nel tempo.

Tornando al caso dei potenziali unidimensionali, è evidente che l’invarianza sotto inver-

sione dell’asse x dell’hamiltoniana dipende solo dal potenziale. Infatti il termine cinetico

coinvolge una doppia derivata rispetto ad x e quindi il segno resta inalterato. Se il po-

tenziale è simmetrico, Û (x) = Û (−x), allora l’hamiltoniana commuta con l’operatore di

inversione e pertanto gli autostati devono essere o funzioni pari o funzioni dispari. Que-

sto risultato è molto importante poiché in alcune occasioni si può sfruttare la simmetria

del potenziale per separare le soluzioni pari dalle soluzioni dispari e semplificare cosı̀ il

problema. In questi casi lo stato fondamentale, non avendo nodi, deve essere sempre una

funzione simmetrica. 1

−

3.4 Potenziale s

x α con α costante

Come primo esempio consideriamo un potenziale del tipo Û (x) = s

|x|

positiva. Tale potenziale diverge a −∞ nell’origine e tende a 0 per |x| molto grandi.

Chiaramente per valori negativi dell’energia lo spettro è discreto e non degenere mentre

per valori positivi è continuo e non degenere. In meccanica classica, una particella sot-

toposta a questo tipo di potenziale può possedere un’energia E = −∞ e quindi essere

localizzata nell’origine. In meccanica quantistica questo caso non sempre si può verificare

e occorre discuterlo. Il problema essenziale è legato al fatto che tanto più l’energia del

sistema si abbassa e tanto più la particella è localizzata vicino all’origine. Di conseguen-

za aumenta molto l’indeterminazione dell’impulso (cioè dell’energia cinetica) e non è più

detto che tutti i livelli energetici siano ammissibili per il sistema.

Supponiamo che l’autofunzione ψ(x) si trovi molto vicino all’origine in modo che

l’indeterminazione della posizione sia dell’ordine di x: ∆x̂ ≃ x. L’indeterminazione del-

~

l’impulso sarà dell’ordine ∆p̂ ≃ . I valori medi di energia cinetica ed energia potenziale

x

saranno: 2 α

1

~

T̄ ≃ hÛi ≃ −

· 2 s

2m x x

allora l’energia media del sistema può essere scritta come:

2 α

1

~

Ē = −

· 2 s

2m x x

Distinguiamo quindi due casi:

s > 2, in tal caso per x → 0 vince l’energia potenziale e possiamo prendere valori

• dell’energia negativi arbitrariamente grandi in modulo, cioè E = −∞. Questi livelli

energetici sono possibili perché anche se l’energia cinetica fluttua tantissimo (a causa

dell’indeterminazione) è comunque sottodominante rispetto all’energia potenziale e

l’energia totale complessivamente sarà sempre negativa e molto grande in modulo.

Essendo ammessi tutti quanti i livelli energetici lo stato fondamentale si ha per

E = −∞ e coincide con la particella ferma nell’origine, in tal caso si dice che la

0

particella cade nella buca;

44 CAPITOLO 3. POTENZIALI UNIDIMENSIONALI

s < 2, il tal caso il termine cinetico vince su quello potenziale e non possiamo più

• prendere livelli energetici arbitrariamente piccoli poiché appunto l’energia totale

tende a +∞ per x → 0. Ciò significa che livello energetico fondamentale è negativo

ma di valore finito E > −∞ e pertanto non sono possibili livelli energetici negativi

0

grandi a piacere in modulo. In questi casi la particella non può cadere nella buca.

Un esempio lampante è quello del potenziale coulombiano in cui s = 1, la trattazione

effettuata spiega come mai ad esempio l’elettrone non cade sul nucleo rendendo la

materia stabile.

Per s = 2 non si possono fare considerazioni, lo spettro dipende dagli altri parametri del

sistema. Considerando sempre lo stesso potenziale è interessante vedere cosa accade allo

spettro lontano dall’origine. Supponiamo che la funzione d’onda ψ(x) si trovi a distanza

x dall’origine, x >> 0, e l’indeterminazione della posizione sia ∆x << x. Supponiamo

inoltre che ∆x aumenti all’aumentare della distanza dall’origine, cioè ∆x è proporzionale

ad x. Analogamente a prima l’energia media ha il seguente ordine di grandezza:

2 α

1

~

Ē = −

· 2 s

2m (∆x) x

Distinguiamo due casi:

s < 2, il termine cinetico è sopradominante rispetto a quello potenziale e quindi per

• x molto grandi il valore di Ē è finito ma negativo. Si possono quindi prendere livelli

energetici negativi piccoli a piacere in modulo e scegliere comunque un ∆x per cui Ē

resti negativo. Concludiamo quindi che se s < 2 lo spettro discreto possiede infiniti

livelli energetici che si addensano verso E = 0;

s > 2, per ragioni analoghe a quelle discusse prima non si possono scegliere infiniti

• livelli energetici piccoli a piacere. Lo spettro discreto possiede quindi un estremo

superiore e pertanto il numero di livelli energetici è finito.

3.5 Potenziale costante a tratti

Cominciamo con un caso semplice ma particolarmente istruttivo per i casi più interessan-

ti che affronteremo in seguito. Consideriamo un potenziale costante a tratti, ad esempio

quello rappresentato di seguito: Û (x) V 2

V 1 x

a

0

I II III 45

3.5. POTENZIALE COSTANTE A TRATTI

Il nostro obiettivo è quello di scrivere la forma delle autofunzioni per i diversi livelli

energetici. A tal proposito è conveniente suddividere l’asse x in tre zone distinte e risolvere

separatamente l’equazione di Schrödinger per ciascuna zona per poi unire le soluzioni

sfruttando le varie condizioni. Innanzitutto effettuiamo un’analisi qualitativa:

I livelli energetici per cui esistono soluzioni devono essere positivi. Per E < V la

• 1

zona classicamente permessa è la zona II con estensione finita, pertanto lo spet-

tro è discreto e non degenere. Le autofunzioni corrispondenti devono decrescere

velocemente a 0 nella I e nella III zona;

Per V < E < V la zona permessa è l’unione di I e II e dunque ha estensione infinita,

• 1 2

la zona III è proibita ma anch’essa ha estensione infinita, pertanto lo spettro è

continuo ma non degenere. Le autofunzioni saranno diverse da 0 per x < a e

devono decrescere a 0 nella III zona;

Per E > V le soluzioni hanno dominio in tutto l’asse reale, lo spettro sarà quindi

• 2

continuo e degenere.

Passiamo ora alle autofunzioni, risolviamo l’equazione di Schrödinger:

2 2

d ψ(x)

~

− = [E − Û (x)]ψ(x) (3.15)

2

2m dx

Poiché Û (x) è costante nelle varie zone, le soluzioni di questa equazione differenziale

saranno delle combinazioni di termini della forma: !

r 2m (E − U ) x (3.16)

ψ(x) = cost · exp ± i 2

~

Esaminiamo zona per zona:

Zona I:

• • E < V , in questo caso E − V < 0 e quindi le soluzioni saranno della forma:

1 1 !

r 2m

ψ(x) = cost · exp ± (V − E) x

1

2

~

Tuttavia per questo valore dell’energia le autofunzioni devono tendere a 0 per x →

−∞ e quindi è ammissibile solamente la soluzione con il segno positivo;

• E > V , in questo caso E − V > 0 e quindi le soluzioni saranno della forma:

1 1 !

r 2m (E − V ) x

ψ(x) = cost · exp ± i 1

2

~

Lo spettro è degenere e non ci sono prescrizioni sull’andamento della ψ(x), sono

quindi ammissibili entrambi le soluzioni e anzi, in generale la soluzione sarà una

combinazione di entrambe. Sottolineiamo il fatto che la soluzione con il segno +

rappresenta una particella che si muove verso destra mentre la soluzione con il segno

- rappresenta una particella che si muove verso sinistra. La degenerazione è quindi

dovuta ai due versi di percorrenza che può avere la particella;

46 CAPITOLO 3. POTENZIALI UNIDIMENSIONALI

Zona II:

• U = 0, quindi per E > 0 le soluzioni sono della forma:

!

r 2m

ψ(x) exp ± i Ex

2

~

Queste soluzioni coincidono con le autofunzioni trovate per il caso della particella

libera, d’altra parte per U = 0 si ritrova proprio il sistema della particella libera.

Anche in questo caso la soluzione con segno positivo rappresenta un moto verso

destra mentre la soluzione con segno negativo rappresenta un moto verso sinistra.

Non ci sono prescrizioni sulle soluzioni per cui le soluzioni dovrebbero essere com-

binazioni di entrambe. In realtà al variare di E lo spettro può essere o non essere

degenere, chiariremo quindi questa apparente contraddizione a breve;

Zona III:

• • E < V , analogo discorso fatto per la prima zona, dunque le soluzioni sono

2

della forma: !

r 2m (V − E) x

ψ(x) = cost · exp ± 2

2

~

Le autofunzioni devono decrescere per x → +∞ è quindi è ammissibile solamente

la soluzione con segno negativo;

• E > V , analogamente a prima le soluzioni saranno della forma:

2 !

r 2m

ψ(x) = cost · exp ± i (E − V ) x

2

2

~

Lo spettro è degenere e perciò l’autofunzione sarà una combinazione di entrambe

le soluzioni. Valgono ancora le considerazioni fatte sul verso di percorrenza della

particella;

In base alle considerazioni fatte fino ad ora possiamo riassumere tutto in tabella utiliz-

zando le seguenti variabili per alleggerire la notazione:

r r r

2m 2m 2m

|E − V | q = E r = |E − V |

p = 1 2

2 2 2

~ ~ ~

0 < E < V V < E < V E > V

1 1 2 2

Zona (discreto non degenere) (continuo non degenere) (continuo degenere)

px ipx −ipx ipx −ipx

I Ae Ae + Be Ae + Be

iqx −iqx iqx −iqx iqx −iqx

II Be + Ce Ce + De Ce + De

−rx −rx irx −irx

III De Ee Ee + F e

Nei prossimi paragrafi studieremo altri tipi di potenziale e nella maggior parte dei casi

affronteremo la discussione scrivendo immediatamente una tabella simile a questa. I

coefficienti A, B, C, D, E ed F sono i coefficienti che vanno determinati per comporre

l’autofunzione finale che deve essere continua in tutto lo spazio. Per determinare questi

47

3.6. BUCA DI POTENZIALE INFINITA

coefficienti dobbiamo risolvere il sistema dato dalle 4 condizioni che provengono dalla

continuità di ψ(x) e della sua derivata in x = 0 e in x = a:

ψ (0) = ψ (0) ψ (a) = ψ (a)

I II II III

′ ′ ′ ′

ψ (0) = ψ (0) ψ (a) = ψ (a)

I II II III

Un’ulteriore condizione deriva dalla normalizzazione delle autofunzioni nel caso dello

spettro discreto: Z +∞ 2

|ψ(x)| dx = 1

−∞

Non risolveremo esplicitamente il sistema, tuttavia è importante effettuare alcune osser-

vazioni:

Consideriamo il caso 0 < E < V . Dobbiamo determinare quattro coefficienti ma

• 1

disponiamo di cinque condizioni, quattro per la continuità e una per la normalizza-

zione. Una delle condizioni è quindi combinazione lineare delle altre e quindi appa-

rentemente superflua. In realtà lo spettro deve essere discreto, la quinta relazione

fornisce quindi una condizione sulla quantizzazione dei livelli energetici;

Consideriamo ora il caso V < E < V . In questo caso lo spettro è continuo e quindi

• 1 2

le autofunzioni non sono normalizzabili, disponiamo di sole quattro equazioni per

determinare cinque coefficienti. Apparentemente quindi avrei infinite soluzioni al

variare di un parametro, questo risultato è in contraddizione col fatto che lo spettro

non deve essere degenere. Ci viene in aiuto proprio il fatto che le autofunzioni non

sono normalizzabili, ciò ci consente di fissare uno dei coefficienti ad 1 e ripropor-

tutti gli altri in funzione di questa scelta. In definitiva quindi dobbiamo

zionare

risolvere un sistema di quattro equazioni in quattro incognite che darà una soluzio-

ne unica. In questo caso non si ha alcuna condizione di quantizzazione sull’energia

in accordo col fatto che lo spettro è continuo;

Consideriamo infine il caso E > V . Disponiamo di quattro equazioni a fronte di

• 2

sei coefficienti da determinare. Analogamente al punto precedente possiamo fissare

uno dei coefficienti ad 1 e ridurre a cinque il numero di variabili. Non possiamo fare

altro e quindi effettivamente otteniamo infinite soluzioni al variare di E, tuttavia

questo risultato è accettabile poiché lo spettro difatti è degenere.

Tutte le considerazioni che abbiamo fatto in questo paragrafo verranno riproposte nei

seguenti esempi senza però essere ogni volta ripetute.

3.6 Buca di potenziale infinita ˆ

2

p

La buca di potenziale infinita è un sistema fisico descritto dall’hamiltoniana Ĥ = + Û (x)

2m

con potenziale: ( 0 x ∈ [0, a]

Û (x) = +∞ altrimenti

Il potenziale è rappresentato come segue:

48 CAPITOLO 3. POTENZIALI UNIDIMENSIONALI

Û (x)

E> 0 x

a

0

In un potenziale di questo tipo la particella è vincolata a restare nella buca o come

spesso si dice è vincolata a stare nel segmento [0, a]. Innanzitutto esistono soluzioni per

livelli energetici positivi, inoltre lo spettro è discreto e non degenere. Determiniamo i

livelli energetici e le autofunzioni. Poiché la particella non si può trovare al di fuori del

segmento [0, a] dobbiamo imporre come condizioni al contorno ψ(0) = ψ(a) = 0 mentre

la derivata non sarà continua per via del salto infinito che compie il potenziale. Come

visto in precedenza la soluzione dell’equazione differenziale che deriva dall’equazione di

Schrödinger ha la forma: r 2m

ikx −ikx E (3.17)

ψ(x) = A e + B e k = 2

~

Imponendo ψ(0) = 0 si ha immediatamente A = −B e quindi sfruttando le formule di

Eulero le soluzione può essere scritta come:

ψ(x) = A sin(kx) (3.18)

Imponendo ψ(a) = 0 si ha invece ka = πn con n ∈ Da questa identità si deduce la

N.

condizione di quantizzazione dei livelli energetici:

r 2 2 2

π n

2m ~

ka = πn ⇒ k = E ⇒ E =

2 2

2ma

~

Dunque gli autovalori della buca di potenziale sono discreti e dati da:

2 2 2 2 2

π n π

~ ~

E = E = (3.19)

n 0

2 2

2ma 2ma

Il livello energetico fondamentale non è nullo e ciò era prevedibile; infatti se fosse stato

nullo la quantità di moto della particella anche sarebbe nulla, ma ciò è proibito dal

principio di indeterminazione poiché la posizione è limitata in un intervallo finito. Se si

scegliesse un a molto grande si avrebbe E → 0 ma in questo caso la contraddizione non

0

c’è poiché, aumentando appunto la dimensione della buca, aumenta l’indeterminazione

sulla posizione della particella. Tornando alle autofunzioni, si possono scrivere come:

πnx

ψ(x) = A sin a 49

3.6. BUCA DI POTENZIALE INFINITA

Il coefficiente A si determina richiedendo che l’autofunzione sia normalizzata:

r

Z +∞ πnx 2

2

2 dx = 1 ⇒ A =

sin

|A| a a

−∞

Le autofunzioni della buca di potenziale infinita sono dunque:

r

πnx

2

ψ (x) = (3.20)

sin

n a a

Come si può ben osservare, lo stato fondamentale (n = 1) non ha nodi nell’intervallo [0, a]

mentre gli autostati successivi hanno esattamente n − 1 nodi. Grafichiamo la densità di

2

probabilità |ψ (x)| per le prime autofunzioni:

n Û (x) n=1

n=2

n=3 a x

0

a a

,

Se la buca è simmetrica rispetto l’origine, la particella è vincolata nel segmento − 2 2

a

a = ψ = 0, chiaramente gli autovalori sono gli stessi (l’energia non deve di-

con ψ − 2 2

pendere dal sistema di riferimento, perciò deve restare invariata sotto traslazioni spaziali)

mentre è facile vedere che le autofunzioni si dividono in due tipi:

q

2 πnx

ψ (x) = n = 2, 4, 6, ...

sin

n a a (3.21)

q

πnx

2 n = 1, 3, 5, ...

cos

ψ (x) =

n a a

Le autofunzioni si dividono in soluzioni pari e dispari e ciò era prevedibile per via del

fatto che il potenziale è simmetrico e perciò commuta con l’operatore di inversione, le

autofunzioni devono quindi essere o pari o dispari. Le autofunzioni sono una base per

lo spazio di Hilbert e quindi qualunque funzione d’onda si deve scrivere come una loro

combinazione: r r

∞ ∞

2 2

π2kx π(2k + 1)x

X X

ψ(x) = +

sin cos

a b

k k

a a a a

k=1 k=0

È molto interessante notare che, a meno di coefficienti moltiplicativi, una tale espressione

coincide con lo sviluppo in serie di Fourier di ψ(x).

50 CAPITOLO 3. POTENZIALI UNIDIMENSIONALI

Per concludere estendiamo questa trattazione al caso di una buca tridimensionale:

 0 x ∈ [0, a ]

 x





 0 y ∈ [0, a ]

y (3.22)

Û (x, y, z) = 0 z ∈ [0, a ]

z





 +∞ altrimenti



Con condizioni al contorno:

ψ(0, y, z) = ψ(x, 0, z) = ψ(x, y, 0) = 0

In questo caso il potenziale è diviso nelle sue componente e quindi l’hamiltoniana del

sistema è separabile:

2 2 2

~ ~ ~

Ĥ = − ∂ + Û (x) + − ∂ + Û (y) + − ∂ + Û (z) = Ĥ(x) + Ĥ(y) + Ĥ(z)

xx yy zz

2m 2m 2m

Ciascuna hamiltoniana ha autovalori e autofunzioni uguali a quelle determinate per il caso

unidimensionale. L’energia totale del sistema è quindi data dalla somma delle energie delle

singole hamiltoniane: !

2 2

2

2 2 n n

n

π ~ y z

x + + (3.23)

E =

n ,n ,n

x y z 2 2 2

2m a a a

x y z

mentre le autofunzioni sono date dal prodotto delle singole autofunzioni:

ψ (x, y, z) = ψ (x)ψ (y)ψ (z) (3.24)

n ,n ,n n n n

x y z x y z

Occorre osservare che uno stesso livello energetico E potrebbe essere ottenuto tramite

diverse combinazioni dei coefficienti n ,n e n e ciò significa che i livelli energetici (3.23)

x y z

in genere sono degeneri. Se consideriamo una buca cubica, a = a = a = a, già il primo

x y z

stato eccitato risulta avere grado di degenerazione 3:

 ψ (x)ψ (y)ψ (z)

 2 1 1

 ψ (x)ψ (y)ψ (z)

ψ(x, y, z) = 1 2 1

 ψ (x)ψ (y)ψ (z)

 1 1 2

3.7 Potenziale a gradino

Consideriamo un potenziale cosı̀ fatto: Û (x) V 0 x

I II

( 0 x< 0

Û (x) = V x> 0

0 51

3.7. POTENZIALE A GRADINO

Cominciamo con l’osservare che i livelli energetici per cui esistono soluzione dell’equazione

di Schrödinger devono essere positivi. Per E > V lo spettro è continuo e degenere mentre

0

per 0 < E < V lo spettro è continuo e non degenere. Studiamo separatamente i due casi

0

e scriviamo la forma generale delle soluzioni per le due zone:

zona 0 < E < V E > V

0 0

ikx −ikx ikx −ikx

I Ae + Be Ae + Be

−qx iqx −iqx

II Ce Ce + De

con 2m(E − V )

2mE 0

2

2 q =

k = 2 2

~ ~

Consideriamo il caso E > V . La doppia degenerazione è data dal fatto che la particella

0

può provenire da −∞ e procedere verso destra o provenire da +∞ e procedere verso sin-

sitra. I due casi possono essere studiati separatamente e le considerazioni sono analoghe,

perciò studiamo solo il primo caso. Possiamo scegliere i coefficienti come segue:

ikx −ikx iqx

1 · e + Re x< 0 T e x> 0

ikx ikx

Il coefficiente 1 davanti e (ricordiamo che esponenziali del tipo e stanno ad indicare

un moto della particella vero destra) sta ad indicare che la particella proviene da −∞ con

un tale flusso di intensità. Quando la particella incontra la discontinuità del potenziale

si genera un’onda riflessa che procede verso sinistra e l’intensità del suo flusso è espressa

−ikx −ikx

per mezzo del coefficiente R davanti e (esponenziali del tipo e stanno ad indicare

un moto della particella vero sinistra). Quando la particella attraversa la discontinuità si

genera un’onda trasmessa che procede verso destra e la sua intensità è data dal coefficiente

T . I coefficienti R e T prendono quindi il nome di coefficienti di riflessione e trasmissione.

Il ragionamento analogo si fa nel caso in cui la particella proviene da +∞. Per determinare

i coefficienti R e T sfruttiamo le due condizioni di continuità della funzione d’onda e della

sua derivata in x = 0. La continuità della funzione d’onda porta alla condizione:

1+ R = T

mentre la continuità della sua derivata porta alla condizione:

ik(1 − R) = iqT

Risolvendo per R e T : 2k

k − q

R = T = (3.25)

k + q k + q

Da cui si possono determinare l’intensità del flusso riflesso e del flusso trasmesso:

2 2

4k

k − q 2

2 (3.26)

|T | =

|R| = 2

k + q (k + q)

Occorre osservare che questo fenomeno è puramente quantistico ed è dovuto all’inter-

pretazione ondulatoria della funzione d’onda, in meccanica classica non ci sarebbe al-

2

cuna riflessione. In particolare quando E >> V si ha q → k e dunque |R| → 0 e

0

2

|T | → 1; se l’energia è molto alta la particella percepisce meno la discontinuità del

potenziale e si ritorna al caso classico. È interessante calcolare l’intensità di corrente

52 CAPITOLO 3. POTENZIALI UNIDIMENSIONALI

i~ ∗ ∗

ψ∂ ψ − ψ ∂ ψ nelle due zone. È abbastanza semplice effettuare il calcolo

J(x) = − x x

2m

per le due zone: ~q

~k 2 2

(1 − |R| ) x < 0 |T | x > 0

m m

Poiché stiamo studiando stati stazionari la densità di corrente deve essere costante in

tutto lo spazio e quindi deve essere:

~k ~q

2 2

(1 − |R| ) = |T |

m m

È facile vedere che le (3.26) soddisfano questa condizione.

Passiamo ora al caso E < V . La trattazione è simile con la differenza che nella seconda

0 −i|q|x

zona la soluzione deve essere della forma T e in modo da tendere a 0 per x → +∞. La

soluzione quindi può essere ottenuta dalla discussione precedente tramite la sostituzione

q → iq e dunque: 2k

k − iq T =

R = k + iq k + iq

A questo punto però dobbiamo fare delle osservazioni differenti rispetto a prima. I flussi

sono dati dai moduli quadri e risulta:

2 2

|R| = 1 |T | 6 = 0

Analogamente alla meccanica classica, c’è riflessione totale dell’onda. Tuttavia il coeffi-

ciente di trasmissione non è nullo e quindi apparentemente sembra che la particella possa

2

trovarsi con una certa probabilità anche nella zona proibita. In realtà se si sostituisce |R|

nell’espressione di J(x) della prima zona si vede che J(x) = 0 e quindi effettivamente non

c’è flusso che attraversa la barriera di potenziale e la possibilità di trovare effettivamente

la particella in x > 0 è esclusa. Il motivo per cui T 6 = 0 è dovuto al fatto che la funzione

d’onda deve essere continua.

3.8 Buca di potenziale finita e simmetrica

Consideriamo ora un potenziale cosı̀ definito:

Û (x)

−a a x

I II III

−V 0

( 0 |x| > a

Û (x) = −V |x| < a

0 53

3.8. BUCA DI POTENZIALE FINITA E SIMMETRICA

Studiamo il sistema distinguendo il caso di livelli energetici positivi e negativi. Co-

minciamo con E > 0, chiaramente lo spettro è continuo e degenere. La degenerazione è

dovuta al fatto che la particella può provenire da −∞ e procedere verso destra (incidendo

sulla discontinuità del potenziale con un flusso pari ad 1) o viceversa provenire da +∞

e procedere verso sinistra. Poiché il potenziale è simmetrico chiaramente i due casi sono

speculari e perciò studiamo soltanto il primo. Scriviamo le soluzioni generiche per le tre

zone: zona ψ(x) (E > 0)

ikx −ikx

I e + Re

iqx −iqx

II Ae + Be

ikx

III T e

dove 2m(E + V )

2mE 0

2

2

k = q =

2 2

~ ~

Analogamente a quanto discusso nel caso precedente R e T rappresentano i coefficienti

di riflessione e trasmissione. Trattandosi di stati stazionari la densità di corrente si deve

d d

∗ ∗

~ ψ ψ − ψ ψ deve essere uguale

conservare in tutto lo spazio e dunque J(x) = i 2m dx dx

nelle tre zone e dunque devono essere verificate le identità:

~k ~q ~k

2 2 2 2

(1 − |R| ) = (|A| − |B| ) = |T |

m m m

Dobbiamo risolvere un sistema in quattro incognite e possiamo sfruttare le quattro con-

dizioni date dalla continuità di ψ(x) e della sua derivata in ±a (visto che il potenziale ha

discontinuità finite). La soluzione del sistema porta ai risultati:

2 2

(q − k ) sin(2qa)

−2ika

R = ie 2 2

2kq cos(2qa) − i(q + k ) sin(2qa) (3.27)

2kq

−2ika

T = e 2 2

2kq cos(2qa) − i(q + k ) sin(2qa)

2 2

Come si può osservare, se E >> V si ha q − k << 2kq da cui R ∼ 0 e T ∼ 1, si

0

ritrova quindi il caso classico. Se invece E → 0 si ha T ∼ 0 in accordo col fatto che la

discontinuità che incontra la particella è molto più evidente e quindi c’è poca trasmissione.

Un risultato interessante si osserva per i valori in cui sin(2qa) = 0 cioè per 2qa = nπ da

cui: 2 2 2

n π ~

E = −V +

n 0 2

8ma

Per tali valori discreti di energia non c’è riflessione e tale fenomeno può essere interpretato

come una Essenzialmente è dovuto all’interferenza distruttiva

risonanza di trasmissione.

tra l’onda riflessa in x = −a e le riflessioni multiple che si hanno in x = a.

Studiamo ora il caso −V < E < 0. I livelli energetici in questo range sono discreti

0

e non degeneri. In questo caso è di notevole aiuto approfittare del fatto che, essen-

do il potenziale simmetrico, le soluzioni si possono dividere in funzioni simmetriche e

54 CAPITOLO 3. POTENZIALI UNIDIMENSIONALI

antisimmetriche. Scriviamo dunque i due insiemi di soluzioni generiche per le tre zone:

(E < 0)

zona simmetrica antisimmetrica

kx kx

I C e −C e

1 1

II A cos(qx) B sin(qx)

−kx

−kx

III C e C

2 2

dove 2m

2mE 2

2

k = − q = (V − |E|) > 0

0

2 2

~ ~

A questo punto le soluzioni si possono trovare facilmente sfruttando le condizioni sulla

continuità dell’autofunzione e della sua derivata in ±a. Più complicato e interessante è il

calcolo dei livelli energetici. Studiamo separatamente i due casi:

Soluzioni simmetriche: le condizioni di continuità portano all’identità:

• k = q tan(qa)

Poiché q e k dipendono da E si può dedurre da questa relazione la quantizzazione

dei livelli energetici. Per determinarli effettuiamo il cambiamento di variabili:

p

2 2

λ − y

2mV a

0

λ = y = qa ⇒ = tan(y)

2 y

~

Per risolvere quest’equazione possiamo sfruttare il metodo grafico e determinare

√ 2

λ−y e tan(y). La prima

le soluzioni come i punti di intersezione dei grafici di y

√ λ e diverge a +∞ per y → 0, tracciamo il suo grafico

funzione è definita per y < √

(in blue) per diversi valori di λ: y

π

0 5π

3π

2 2 2

Come si può osservare, per qualunque valore di λ esiste almeno un punto di inter-

sezione (e quindi un corrispondente livello energetico). Anche se la buca fosse poco

profonda, V → 0, o molto stretta, a → 0, esiste almeno un livello energetico nello

0

spettro discreto. Individuando le coordinate dei punti di intersezione ed invertendole

si determinano gli E corrispondenti, in particolare per λ molto grandi gli autovalori

55

3.9. EFFETTO TUNNEL E APPROSSIMAZIONE WKB

tendono ad essere e equispaziati e i punti di intersezione sono approssimativamente

dati da:

1

y ≃ n + π

2

Soluzioni antisimmetriche: in questo caso le condizioni di continuità portano all’i-

• dentità: k = −q cot(qa)

Con il medesimo cambio di variabili la si riscrive come:

p 2

λ − y = − cot(y)

y

Analogamente tramite il metodo grafico: y

π

0 2π

√ π

Come si può osservare, per λ < non ci sono soluzioni e dunque la presenza

2

di livelli energetici associati a soluzioni antisimmetriche dipende dalla forma della

buca. In questo caso, per λ grande vale l’approssimazione:

y ≃ nπ

.

3.9 Effetto Tunnel e approssimazione WKB

Consideriamo ora un caso molto simile alla buca di potenziale finita ma con potenziale

positivo: ( 0 |x| > a

Û (x) = +V |x| < a

0

Il caso E > 0 è del tutto analogo a quello già trattato e quindi non lo discutiamo. Molto

interessante invece è il caso 0 < E < V ; in meccanica classica per un tale valore dell’e-

0

nergia il potenziale costituirebbe una barriera impenetrabile, in meccanica quantistica ciò

non è vero e si verifica un fenomeno molto interessante e importante. Per quanto riguarda

56 CAPITOLO 3. POTENZIALI UNIDIMENSIONALI

i livelli energetici, la zona permessa è infinitamente estesa e la funzione d’onda non si an-

nulla mai perciò lo spettro è continuo e degenere. Analogamente a prima la degenerazione

è dovuta alla due direzioni da cui può provenire la particella, possiamo quindi considerare

uno solo dei due casi. La forma generale delle soluzioni nelle tre zone è data da:

zona ψ(x) (E < V )

0

ikx −ikx

I e + Re

qx −qx

II Ae + Be

ikx

III T e

con 2m(V − E)

2mE 0

2

2 q =

k = 2 2

~ ~

Per ottenere la soluzione del sistema non è necessario ripetere tutti i conti. Può essere

ottenuta dalle (3.27) tramite la sostituzione q → iq̃, da cui:

2k q̃

−2ika

T = e 2 2

2k q̃ cosh(2q̃a) − i(k − q̃ ) sinh(2q̃a)

da cui: 2

(2k q̃)

2

|T | = 2

2 2 2 2

(k + q̃ ) sinh (2q̃a) + (2k q̃)

Il modulo quadro del coefficiente di trasmissione, nonostante la particella stia attraver-

sando una zona proibita, non è nullo e ciò significa che effettivamente la trasmissione

attraverso la barriera di potenziale è possibile. Questo fenomeno è detto ed

effetto tunnel

è puramente quantistico visto che in meccanica classica ciò non è possibile. Quando q̃a è

molto grande il rapporto tra flusso trasmesso e incidente è dato da:

2

2 4k q̃

|T | −4q̃a

≃ e (3.28)

2 2

1 k + q̃

A differenza del potenziale a gradino, in cui la densità di corrente era nulla in qualunque

punto, la densità di corrente in questo caso non è nulla e può essere facilmente calcolata.

In generale nei casi reali le barriere di potenziale non sono mai quadrate ma hanno for-

me piuttosto irregolari. Vogliamo ora determinare un’espressione approssimativa per il

2

coefficiente di trasmissione |T | . Il metodo che stiamo per accennare è chiamato appros-

(Wentzel-Kramers-Brillouin). Se calcoliamo il logaritmo di entrambi i

simazione WKB

membri della (3.28) si ottiene: 4(ka)(q̃a)

2

log |T | ≃ −2q̃(2a) + 2 log 2 2

(ka) + (q̃a)

Sotto certe ipotesi il primo termine è dominante rispetto al secondo per grandi valori di

q̃a. Se il potenziale che vogliamo esaminare è descritto da una curva regolare possiamo

pensare di dividerla in tante barriere di potenziale rettangolari in maniera analoga a come

si fa per elaborare l’integrazione secondo Riemann. In questa ipotesi possiamo assumere

che i coefficienti di trasmissione delle varie barriere siano moltiplicativi tra loro e quindi

possiamo scrivere l’approssimazione: r

Z 2m

X X

2 2 [V (x) − E] dx

log |T | ≃ log |T | ≃ −2 ∆x hq̃ i ≃ −2

n n n 2

~

barriera

n n

δ 57

3.10. POTENZIALE CON

con n si intende l’n-esima barriera rettangolare. Il passaggio all’integrale è lecito nel limite

in cui la larghezza di ciascuna barriera ∆x → 0 e l’integrazione è estesa su tutta la lar-

n

ghezza della barriera. Questa approssimazione è valida solamente se V (x) è una funzione

piuttosto liscia in x poiché l’approssimazione (3.28), su cui si basano i risultati ottenuti,

vale se per ciascuna barriera il prodotto (q̃a) è sufficientemente grande. Viceversa se il

n

potenziale non fosse regolare, si potrebbero prendere un maggior numero di barriere di

larghezza inferiore ma in questo modo l’approssimazione fatta non è molto buona. In

definitiva quindi l’approssimazione WBK in questo caso semplificato porta ad:

!

r

Z 2m

2 [V (x) − E] dx

|T | ≃ exp −2 2

~

δ

3.10 Potenziale con

Consideriamo ora un caso particolare in cui il potenziale è definito mediante una distri-

buzione: Û (x) = ±aV δ(x − x ) (3.29)

0 0

dove δ(x − x ) è la delta di Dirac già vista e tale che:

0 Z +∞ f (x)δ(x − x ) dx = f (x ) (3.30)

0 0

−∞ −1

Si osservi che le dimensioni della δ corrispondono a [lunghezza] e di conseguenza il

coefficiente a deve avere le dimensioni di una lunghezza. È evidente che quando la funzione

δ è presa con segno negativo, si avrà uno spettro continuo e degenere per E > 0 mentre

sarà discreto e non degenere per E < 0. Quando è presa con segno positivo, lo spettro

sarà continuo e degenere per E > 0 mentre non esistono livelli energetici negativi. Per

trattare il potenziale in (3.29) osserviamo innanzitutto che essenzialmente si tratta di un

potenziale nullo tranne nel singolo punto x = x in cui è divergente. Possiamo studiare

0

il sistema dividendo l’asse reale in due zone, x < x ed x > x , e sfruttare la continuità

0 0

dell’autofunzione in x . Poiché il potenziale è divergente, la derivata non è continua in

0

x ma subisce una discontinuità di tipo salto che può essere determinata ed utilizzata ad

0

esempio per ottenere una condizione sulla quantizzazione dell’energia. Per determinare

la discontinuità della derivata consideriamo l’equazione di Schrödinger con il potenziale

(3.29): 2 2

d ψ(x)

~

− = [E ∓ aV δ(x − x )]ψ(x)

0 0

2

2m dx

Integriamo entrambi i membri in un intorno del punto x :

0

Z Z

Z x +ε x +ε

x +ε 2

2 d ψ(x)

~ 0 0

0

− ψ(x) dx ∓ aV

dx = E ψ(x)δ(x − x ) dx

0 0

2

2m dx x −ε x −ε

x −ε

0 0 0

Il primo integrale del secondo membro è nullo per via della continuità dell’autofunzione,

nel secondo integrale sfruttiamo la proprietà (3.30):

2

~ ′ ′

[ψ (x ) − ψ (x )] = ∓aV ψ(x )

− 0 0 0 0

II I

2m 2m

′ ′

ψ (x ) = ψ (x) ± aV ψ(x )

0 0 0

II I 2

~

Questo risultato riguardo la discontinuità della derivata in x può essere sfruttato come

0

condizione per determinare le autofunzioni.

58 CAPITOLO 3. POTENZIALI UNIDIMENSIONALI

3.11 Oscillatore armonico

Consideriamo infine una particella sottoposta ad un potenziale armonico. Nel caso uni-

dimensionale l’hamiltoniana che descrive il sistema è la seguente:

2 1

~ 2

Ĥ = − ∂ + kx (3.31)

xx

2m 2

Il potenziale corrisponde ad una parabola passante per l’origine e dunque è simmetrico.

Non ci sono livelli di energia per E < 0 mentre per E > 0 lo spettro dell’energia è discreto

e non degenere. Come già fatto nei casi precedenti risolviamo l’equazione agli autovalori

per Ĥ che in questo caso porta all’equazione:

2 1

~ 2

− ∂ ψ(x) + kx ψ(x) = E ψ(x) (3.32)

xx

2m 2

Per semplificare l’espressione introduciamo le seguenti variabili:

r r

2E

k mω

ε = y = x

ω = m ~ω ~

La (3.32) diventa: 2

d ψ(y) 2

+ (ε − y )ψ(y) = 0 (3.33)

2

dy

Con le condizioni iniziali ψ(y) → 0 quando y → ±∞. Per determinare la soluzione di

questa equazione differenziale si può innanzitutto vedere cosa accade nei casi limite. Per

y → ±∞ il coefficiente ε diventa trascurabile e la (3.33) si scrive come:

2

2

d dψ (y)

d ψ(y) 2

dψ(y)

2 2

− y ψ(y) = 0 ⇒ =0

− y

dy

2

dy dy dy

da cui ancora:

d 2

dψ(y) 2 2 2

− y ψ (y) = −2yψ (y)

dy

dy

Poiché ψ(y) deve decrescere esponenzialmente per y → ±∞ possiamo assumere che in

questo limite il membro di destra sia trascurabile:

dψ(y)

2 p

dψ(y) 2 2 2 2

= cost + y ψ (y)

− y ψ (y) = cost ⇒

dy dy

y→±∞ y→±∞

′

Da ψ(y) → 0 segue che ψ (y) → 0 e quindi necessariamente deve essere cost = 0.

La soluzione dell’equazione differenziale dunque è: !

2

dψ(y) y

= ±yψ(y) ⇒ ψ(y) = cost · exp ±

dy 2

Tra le due soluzioni scegliamo quella con il segno negativo per ovvi motivi di convergenza.

Concludiamo che per grandi valori di y l’autofunzione deve comportarsi come:

!

2

y

ψ(y) = cost · exp − y → ±∞ (3.34)

2 59

3.11. OSCILLATORE ARMONICO

A questo punto studiamo il comportamento di ψ(y) al finito. Viste le considerazioni fatte

fino ad ora possiamo cercare una soluzione della forma:

!

2

y (3.35)

ψ(y) = ψ̃(y) exp − 2

Dove ψ̃(y) è una funzione da determinare e tale che per y → ±∞ non cresca più

2

y . Sostituendo la (3.35) nella (3.33) si ottiene:

velocemente di exp − 2 2

d ψ̃(y) d ψ̃(y)

− 2y + (ε − 1) ψ̃(y) = 0 (3.36)

2

dy dy

Per risolvere questa equazione differenziale possiamo pensare che la soluzione sia svilup-

pabile in serie di potenze e quindi ammette una rappresentazione del tipo:

+∞

X n

ψ̃(y) = a y (3.37)

n

n=0

A questo punto sostituiamo questa serie nella (3.36):

+∞ +∞ +∞

X X X

n−2 n−1 n

a n(n − 1)y − 2y a n y + (ε − 1) a y = 0

n n n

n=2 n=0 n=0

Nella prima sommatoria effettuiamo il cambio di indice n − 2 → n:

+∞ +∞ +∞

X X X

n n n

a (n + 2)(n + 1)y − 2 a n y + (ε − 1) a y = 0

n+2 n n

n=0 n=0 n=0

+∞

X n

=⇒ a (n + 2)(n + 1) + a (−2n + ε − 1) y = 0

n+2 n

n=0 n

Abbiamo ottenuto una combinazione lineare di potenze di y , affinché sia nulla ∀n e ∀y

devono essere nulli i coefficienti della combinazione, si ottiene quindi la formula ricorsiva:

2n + 1 − ε a (3.38)

a = n

n+2 (n + 2)(n + 1)

Come si può osservare, se il primo termine è pari allora questa relazione dà solamente i

termini successivi pari mentre se il primo termine è dispari allora dà solamente i termini

successivi dispari. Ciò è dovuto al fatto che il potenziale è simmetrico e dunque l’hamilto-

niana commuta con l’operatore parità. Di conseguenza le autofunzioni dell’hamiltoniana

saranno anche autofunzioni dell’operatore parità e pertanto o sono funzioni pari o fun-

zioni dispari. La parità delle autofunzioni è pertanto definita. La soluzione tuttavia non

è questa poiché occorre ancora sfruttare l’ipotesi sul comportamento asintotico di ψ̃(y).

2

Osserviamo che per n molto grande si ha a ≃ a e quindi ricorsivamente:

n+2 n

n

2 a

a = n

n+2 n 2 2

2 a = · a

a = n+2 n

n+4 n +2 n +2 n

2 2 2 2

a = a = · · a

n+6 n+4 n

n +4 n +4 n +2 n

: :

Queste note sono state scritte sulla base degli appunti presi durante le ore di lezione (frequenza 100%); non sono sufficienti al superamento dell'esame e devono essere accompagnate dalle lezioni (ottime per giunta) e dal libro di testo. Qualunque errore all'interno degli appunti è solo ed esclusivamente di mia responsabilità. A grandi linee gli argomenti trattati sono i seguenti:
Introduzione: assiomi della meccanica quantistica, struttura algebrica, osservabili fisiche;
Operatori: operatori della meccanica quantistica, equazione di Schrödinger, spettro, operatori poszione e impulso;
Potenziali unidimensionali: proprietà qualititative delle autofunzioni, numerosi esempi di potenziali unidimensionali fra cui oscillatore armonico, particella libera e buca di potenziale;
Momento angolare: momento angolare orbitale, spin, particelle identiche, composizione dei momenti angolari e atomo di idrogeno;
Teoria delle perturbazioni: teoria delle perturbazioni dipendenti e indipendenti dal tempo, esempi e applicazioni;