Lezioni: Appunti di Meccanica quantistica 1

Formulazione Matriciale - Heisenberg

Introduzione - Ripasso su Spazi Vettoriali Lineari

Siano |α>, |β>, |γ> uno stato appartenenti allo spazio Vettoriale S

Si definisce una serie di operazioni:

1. 1° Operazione: SOMMA che gode delle seguenti proprietà:
• |α>+|β> = |β> + |α> con |α>, |β>, |γ> ∈ S (Commutativa)
• (|α>+|β>)+|γ> = |α>+(|β>+|γ>) (Associativa)
• ∃ |0> / |α> + |0> = |α> (Esistenza Elemento Neutro)
• ∃ -|α> / |α> + -|α> = |α>-|α> =|0> (Esistenza Dell'opposto)
2. 2° Prodotto per un numero complesso

Dato il valore |α>∈S ed α∈ℂ , α|α> ∈|α> con α|α>∈S

infatti ∀ α,β∈ℂ e ∀ |α>∈S (α + β)|α> = α|α> + β|α> (add β

3. 3° Prodotto Interno (Scalare) definito come ⟨α|β⟩=⟨β|α>⁺

dove (il numero reale N² = ⟨α|α⟩ prende il nome di normas quadro

Sia |α> = α|α> + β |α> si osserva che

• ⟨α|⟩α⟩= ⟨ α|+ β|α⟩

ossia che

• ⟨α|α⟩** + ⟨α|β**⟩[/li>

dove ⟨|⟩ indica il vettore duale di |⟩

Allo spazio Vettoriale S si associano quindi J coppia duale S* dei vettori duali ⟨α₁|, ⟨|⟩,⊟

Ortonormalità

Due vettori |α>, |β> sono ortogonai se |α>⟨β|= ⟨α|β⟩= 0

dove ⟨|⟩ indica il vettore di |α> e |β> definisce ortoname, ed il vettore |α>== la quatiorem N= √⟨α|α⟩

Base Ortonormale

Insieme di vettori { |m> } tale che V. vettore |α>∈ S puó essere scritto come combinazione lineare di vettori della base: |α> = Σ a_m|m>

Propriet… minimalni su: < Σ |m|α> = Σ α_m |m> = α_m

Operatori Lineari

A|α> = |α'> con |α'>∈ S

Proprietà:

• Linearità: A (α|φ> + β|ζ>) = α A|φ> + β A|ζ>
• Op Identico: 1|α> = |α> ∀|α>∈ S
• Op Aggiunto: ⟨α| A |δ> = ⟨δ| A⁺ |α> (Hermiziano Conjugato)
• Operatore identico duale ed iterativa: A|δ> = ⟨δ|δA⁺
• Relazione prodotto: ⟨α| A |δ> = ⟨δ| A⁺ dα |δ>, spera che (A⁺): A
• Op Hermitiano: H = H⁺ (operatore coincido con il proprio opposto)
• Op Unitario: U = U^-1 (operatore che possesso coincido con l'opPOSTO)
• Equivalente matrica: U U⁺ = U⁺ U = 1
• Composito prodotto scalarito major ⟨φ| U |α> = ⟨φ| U b |g> = ⟨U φ|U φ |α< equival
• Equivalente comprato prodotto altro comica major ⟨α| U |δ> = ⟨op |U oα | δ> = L c<L e riconcomi
• Op prodotto: P = AB
• Si conmunchio ⟨α| AB |δ> = ⟨δ| (AB)⁺|α>
• Si conmunchio ⟨α| AB |δ> = <B |A⁺ |d ei>

Osserva che la quantità |α>〈α| che opposto per esempio sul vettore (4) è un operatore. Equivale che 〈α>x FO tigo |> | << = ⟨6|α|7| ⟨ < <(≤|foezd⟩ cla < s|al>cb |6|i momienzo ancmeto

Op Proiezione

Giudico la base on {m>} (priborde vettore |α> attraverso P_m|α> = m > mod a_m|α>

Si admise tango che P_n~ P_m + P γe al cè = 0

Relazione di Completezza

Data uno foo on {m>} per V. α x Sosta tha |α> α = Σ a_m |m>

Importa poichè αm = < m| o . = sđ

Eqm Σ 10 y 9 o = Σ_m (m) x |m>

In quart fo. quatitio:_{m| α} m un anyo in destimino Σ_m m² cm = 1

Si considera l'operatore

Hermitiano A rappresentato nella base {|n>} in quale delle autovalutazioni ∑ |a_nm|²} non passaggio che menerà all'altro, e dato dalla matrice unitaria:

U:

con A^D: UAU^t e U_mn=< m1 | n>

• Si fa quindi
U = ⟨1 1⟩ ⟨21 ⟩ ⟨11⟩

onozioni autovalutatore a comportanti a

• Dalla scomponizzione di U si determinano secondo pall^osaprati% provi autovalutare soluzioni dell'aposizione agli autovalori.

Operatore Unitario e Trasformazioni di Coordinate

Sia U l'operatore unitario tale che U^†U = 1

Si considera la trasformazione attiva U|S⟩ = |S'⟩ (1)

Se f è un generico operatore (con azione su vettori e definito dall'equazione f |S⟩ = |S⟩ )

si può scrivere e risolvere come si trasformano tale equazione sotto l'azione della

trasformazione unitaria (1)

Applicando l'operatore U da due membri dell'equazione U(F |S⟩ = |S⟩ ) = U F |S⟩ = U|(S⟩ = 1|S'⟩ sfruttando l'unitarietà di U si ha UFOU^† |S'⟩ = |S'⟩ e quindi F'|S'⟩ = |S'⟩ dove F'= UOU^†

Un operatore unitario può sempre essere scritto come U = e^-iαI con α reale tale per cui U = e^⁑iαI I = I^† Hermitiano

Sviluppando in serie di Taylor, pone dα = 0 si ha U = e^{-i ἁ d i} ≈ 1-iαI - O((α)² ) e U^† ≈ 1