Lezioni: Appunti di Meccanica quantistica 1

FORMULAZIONE MATRICIALE - Heisenberg

Capitolo 10, pag 477

Appendice A, pag 664

Introduzione: Ripasso su Spazi Vettoriali Imparati

Siano |a>, |b>, |c> una delle onde ad ordine appartenenti allo spazio Vettoriale

In tale spazio sono definite una serie di operazioni:

1. Operazione SOMMA che gode delle seguenti proprietà:

|a> + |b> = |b> + |a> = |c> con |a>, |b>, |c> ∈ S (Commutativa)

|a> + (|b> + |c>) = (|a> + |b>) + |c> = (|b> + (|c>)) = |a> + (|b> + |c>) (Associativa)

3 |0> | |a> + |0> = |a> (Esistenza Elemento Neutro)

3 | -a> | |a> + |-a> = |0>, |-a> = |a> - |a> = |a> - |a> = |a> (Esistenza dell'Oposto)

1. Prodotto per un numero complesso:

Dato il vettore |a> ∈ E ∈ C - α |a> = |b> con |b> ∈ S (α + β) |a> = α(|a> + β |b>)

2.1 Prodotto INTERNO (Scalare) definito come ⟨a|b⟩ = ⟨b|a⟩^* Linee di ortonorma reale

N² = ⟨a|b⟩ produce il coseno del preparato quadro

Sia |c> = d|d> + β |e> si osserva che:

⟨a|b⟩ = ⟨a|b⟩^*⟨a|b⟩ = β^*⟨a|a⟩

Avviene se esiste ⟨c| = α^*⟨d| + β^*⟨e|

dove ⟨c| indica il vettore duale di |c>

Al' spazio Vettoriale S- 0 osserva quindi i gruppi duale S^* dei vettorei dati (base) ⟨a1|a2|a3|...

ORTOGONALITÀ

Due vettori |a>, |b> sono ortogonali se ⟨a|b⟩ = ⟨b|a> = 0

Da ⟨a|a⟩ = N² definisco anorma e il vettore |a> fa quarto N = √⟨a|a⟩

FORMULAZIONE MATRICIALE - Heisenberg

Introduzione:

Siano |a>,|b>,|c> come delle colonne ad n vettori appartenenti allo spazio vettoriale S.

In tale spazio sono definite una serie di operazioni:

1) operazione SOMMA che gode delle seguenti proprietà:

|a>+|b>=|b>+|a> con |a>,|b>∈S (COMMUTATIVA)

|a>+(|b>+|c>)= (|a>+|b>)+|c>=|a>+ (|b>+|c>) (ASSOCIATIVA)

|0> / |a>+|0>=|a> (ESISTENZA ELEMENTO NEUTRO)

-|a>/|a>+(-|a>)=|a>-|a>=|0> (ESISTENZA DEL POSTO)

2) Prodotto per un numero complesso:

Dato il reale α∈ℂ, α|a>∈|b> e 0|a>=|0> con |b>∈S

∀α,β∈ℂ e ∀|a>∈S (α+β)|a>=α|a>+β|a>

3) PRODOTTO INTERNO (Scalare) definito come ⟨a|b⟩=⟨b|a⟩^*

N²=⟨a|b⟩ prodotto il coseno del quadrato quadro

Sia |c>=α|a>+β|b> e si osserva che

⟨a|c⟩=α⟨a|a>+β⟨b|a>

⟨c|=α^*⟨a|+β^*⟨e|

dove ⟨C| indica il vettore duale di |c>

Ortogonalità: Due vettori |a>, |b> sono ortogonali se ⟨a|b⟩=0

Norma: il vettore |a> ha la quantità N=√⟨a|a⟩

Base Ortonormale

Insieme di vettori {im} tale che il vettore |a ⟩ ∈ S può essere scritto come combinazione lineare dei vettori della base e |a ⟩= ∑m am |im⟩

Poisichè ⟨im | im⟩ = 1, segue che ⟨ m |a ⟩ = ∑m am ⟨ m |m ⟩ = am

Operatori Lineari

A |a ⟩ = |a' ⟩ con |a' ⟩ ∈ S

Proprietà:

1. Linearità : A λ|a ⟩ + β|b ⟩ = λ A|a ⟩ + β A|b ⟩
2. Op. Identico : I|a ⟩ = |a ⟩ ∀ |a ⟩ ∈ S
3. Op. Agg. : ⟨ α | A | δ ⟩ = ⟨ δ | A+ | α ⟩_* (Hermitian Conjugate)

Cominciata dal vettore duale:

Se ⟨ α | A | δ ⟩ = ⟨ δ | A+ | α ⟩ _*

⟨ α | A | δ ⟩_* = ⟨ δ | A+ |α ⟩_* = ⟨ α(A+)* | δ ⟩ + A

4. Op. Hermitiano : H = H+
5. Op. Unitario : U+ = U^-1 Capace di eseguire cambi con l’operatore equivalente inverso U U+ = U+ U = IConserv. prodotto scalare allora ⟨U |a ⟩ |u ⟩ = |o' ⟩ |b ⟩ ⟨U | ξ ⟩ ⟨ξ | ⟩ ε Quindi ⟨o | i | ξ ⟩ = ⟨α U+ |w ⟩ |a ⟩ = ⟨α |d ⟩ ⟩

Osserv. di se quantita' |a ⟩ ⟨ ξ | che agisce con per i |i b ⟩| α⟩ è un produttore

Allora |ca x ξ| ξ|α |f ⟩<

c | ⟩ |α | ⟩⟨| (c | ⟩α | f | ⟩|bb| elemento

Rappresentazione di Vettori e Operatori

Fissata la base _{m} ℘ l a > = Σ a _m | m >

Vi è quindi una corrispondenza biunivoca tra i vettori |a> e l’insieme {a_m} dei coefficienti:

| a > <–> {a_m} (teorema di Fischer-Riesz)

In questo contesto si può identificare il vettore col vettore colonna (matrice): a_i = ( a₁ a₂ ! )

Segue immediatamente che il duale <l_b| a_i è (a₁*, a₂* ,...) vettore riga e in modo tale che <a| a> = a_i a_i* = (a₁* a₂* a_i) (a₁ | a₂ | a_i) numero!!

D’