Lezioni: Appunti di Meccanica quantistica 1

Formulazione matriciale - Heisenberg

Capitolo 10, pag 477

Appendice A, pag 664

Introduzione: ripasso su spazi vettoriali imparati

Siano |a>, |b>, |c> una delle onde ad ordine appartenenti allo spazio vettoriale. In tale spazio sono definite una serie di operazioni:

• Operazione somma che gode delle seguenti proprietà:

|a> + |b> = |b> + |a> = |c> con |a>, |b>, |c> ∈ S (Commutativa)

|a> + (|b> + |c>) = (|a> + |b>) + |c> = (|b> + (|c>)) = |a> + (|b> + |c>) (Associativa)

3 |0> | |a> + |0> = |a> (Esistenza elemento neutro)

3 | -a> | |a> + |-a> = |0>, |-a> = |a> - |a> = |a> - |a> = |a> (Esistenza dell'opposto)

• Prodotto per un numero complesso:

Dato il vettore |a> ∈ E ∈ C - α |a> = |b> con |b> ∈ S (α + β) |a> = α(|a> + β |b>)

Prodotto interno e ortogonalità

2.1 Prodotto interno (Scalare) definito come ⟨a|b⟩ = ⟨b|a⟩^*

Linee di ortonorma reale N² = ⟨a|b⟩ produce il coseno del preparato quadro

Sia |c> = d|d> + β |e> si osserva che:

⟨a|b⟩ = ⟨a|b⟩^*

⟨a|b⟩ = β^*⟨a|a⟩

Avviene se esiste ⟨c| = α^*⟨d| + β^*⟨e| dove ⟨c| indica il vettore duale di |c>

Al' spazio vettoriale S- 0 osserva quindi i gruppi duale S^* dei vettorei dati (base) ⟨a1|a2|a3|...

Ortogonalità

Due vettori |a>, |b> sono ortogonali se ⟨a|b⟩ = ⟨b|a> = 0

Da ⟨a|a⟩ = N² definisco anorma e il vettore |a> fa quarto N = √⟨a|a⟩

Formulazione matriciale - Heisenberg

Introduzione

Siano |a>, |b>, |c> come delle colonne ad n vettori appartenenti allo spazio vettoriale S. In tale spazio sono definite una serie di operazioni:

Operazione somma

1) Operazione somma che gode delle seguenti proprietà:

|a> + |b> = |b> + |a> con |a>, |b> ∈ S (Commutativa)

|a> + (|b> + |c>) = (|a> + |b>) + |c> = |a> + (|b> + |c>) (Associativa)

|0> / |a> + |0> = |a> (Esistenza elemento neutro)

-|a> / |a> + (-|a>) = |a> - |a> = |0> (Esistenza del posto)

Prodotto per un numero complesso

2) Prodotto per un numero complesso:

Dato il reale α ∈ ℂ, α|a> ∈ |b> e 0|a> = |0> con |b> ∈ S ∀α,β ∈ ℂ e ∀|a> ∈ S (α + β)|a> = α|a> + β|a>

Prodotto interno

3) Prodotto interno (Scalare) definito come ⟨a|b⟩ = ⟨b|a⟩^*

N² = ⟨a|b⟩ prodotto il coseno del quadrato quadro

Sia |c> = α|a> + β|b> e si osserva che

⟨a|c⟩ = α⟨a|a> + β⟨b|a>

⟨c| = α^*⟨a| + β^*⟨e| dove ⟨C| indica il vettore duale di |c>

Ortogonalità: Due vettori |a>, |b> sono ortogonali se ⟨a|b⟩ = 0

Norma: il vettore |a> ha la quantità N = √⟨a|a⟩

Base ortonormale

Insieme di vettori {im} tale che il vettore |a ⟩ ∈ S può essere scritto come combinazione lineare dei vettori della base e |a ⟩ = ∑m am |im⟩

Poiché ⟨im | im⟩ = 1, segue che ⟨ m |a ⟩ = ∑m am ⟨ m |m ⟩ = am

Operatori lineari

A |a ⟩ = |a' ⟩ con |a' ⟩ ∈ S

Proprietà:

• Linearità: A λ|a ⟩ + β|b ⟩ = λ A|a ⟩ + β A|b ⟩
• Op. Identico: I|a ⟩ = |a ⟩ ∀ |a ⟩ ∈ S
• Op. Agg.: ⟨ α | A | δ ⟩ = ⟨ δ | A+ | α ⟩^* (Hermitian Conjugate)

Cominciata dal vettore duale:

Se ⟨ α | A | δ ⟩ = ⟨ δ | A+ | α ⟩ ^*

⟨ α | A | δ ⟩^* = ⟨ δ | A+ |α ⟩^* = ⟨ α(A+)* | δ ⟩ + A

• Op. Hermitiano: H = H+
• Op. Unitario: U+ = U^-1

Capace di eseguire cambi con l’operatore equivalente inverso U U+ = U+ U = I

Conserv. prodotto scalare allora ⟨U |a ⟩ |u ⟩ = |o' ⟩ |b ⟩ ⟨U | ξ ⟩ ⟨ξ | ⟩ ε Quindi ⟨o | i | ξ ⟩ = ⟨α U+ |w ⟩ |a ⟩ = ⟨α |d ⟩ ⟩

Osserv. di se quantita' |a ⟩ ⟨ ξ | che agisce con per i |i b ⟩| α⟩ è un produttore

Allora |ca x ξ| ξ|α |f ⟩c | ⟩ |α | ⟩⟨| (c | ⟩α | f | ⟩|bb| elemento

Rappresentazione di vettori e operatori

Fissata la base _{m} ℘ l a > = Σ a _m | m >

Vi è quindi una corrispondenza biunivoca tra i vettori |a> e l’insieme {a_m} dei coefficienti:

| a > <–> {a_m} (teorema di Fischer-Riesz)

In questo contesto si può identificare il vettore col vettore colonna (matrice): a_i = ( a₁ a₂ ! )

Segue immediatamente che il duale <l_b| a_i è (a₁*, a₂* ,...) vettore riga e in modo tale che <a| a> = a_i a_i* = (a₁* a₂* a_i) (a₁ | a₂ | a_i) numero!!

D’