Meccanica Quantistica

28/09/2020

Effetto termionico

Esperimento di Thompson

Il fosforo diventa fluorescente al contatto di cariche negative. In effetti, il filo per effetto termionico emette particelle negative poiché il fosforo diventa fluorescente. Tramite la presenza di un campo magnetico scoprì che questa particella aveva una massa piccolissima. La particella venne detta elettrone.

=> Modello a panettone

Rutherford dimostrò l'inesattezza di tale modello ad inizio del ‘900.

Con un modello a panettone ci si aspettava che ogni particella a deviasse di poco rispetto alle direzioni di partenza. Così non fu. Alcune non venivano assolutamente deflesse mentre altre tornavano indietro.

C'è un nucleo centrale molto denso di carica positiva.

=> Modello Planetario

1. GLI ELETTRONI HANNO TUTTI LA STESSA DISTANZA DAL NUCLEO?

L'elettrone d’idrogeno per esempio, può stare a distanze diverse da un atomo ad un altro?

2. UNA PARTICELLA ACCELERATA EMETTE ONDE ELETTROMAGNETICHE - GLI ELETTRONI IN ORBITA INTORNO AL NUCLEO DOVREBBERO COLLASSARE SUL NUCLEO POCHE PERDENDO ENERGIA PER ACCELERAZIONE CENTRIFUGA

1) H energia ionizzazione - estrazione

eV

{eV} _{{4,6 · 10⁻¹⁹}} J

{9 · 1,6 · 10⁻¹⁰ eC}

E = 13,6 eV

F = k^e2/R²

mv²/R = k^e2/R²

E = 1/2 mv² − k^e2/R

= k^e2/2R − k^e2/2R

= k^e2/2R − k^e2/2R

= −k^e2/2R

=> R = k^e2/2E

= 0,5 Å

Il raggio è fisso!

Anche se non ne so il valore

2) Effetto fotoelettrico

Si pensava prima che il metallo si comportasse come buco di potenziale → energia termica

W ≈ 3eV

Il fenomeno si studia in seguito tramite energia di radiazione

• ν > ν₀, per avere l'effetto (FREQUENZA DI SOGLIA)
• E_cin,max = h(ν − ν₀)
• h indipendente dal materiale

I → Nel ∝ I

E/T = 1W 4πR_o²/R_f², 1/4 (1/2) 10² = 2/10 ← 10 ⁻²⁰ ≈ 10⁻²eV

→ un paio di W muti?

Ne segue il modello di Bohr come tentativo di spiegare tale fenomeno (risulterà corretto 30 anni dopo)

Prendiamo l'atomo di idrogeno:

\[E = \frac{1}{2}mv^2 + U(r)\]

\[-d < E < σ\]

E < 0 per avere stato legato con l'elettrone

L'ipotesi di Bohr è che per gli stati legati ci sono solo livelli di energia quantizzati:

\[\bar{E_0} < E_1 < E_2 < 0 \quad \text{+ tutti gli } E \geq 0\]

stato fondamentale

Tutti gli atomi a bassa temperatura hanno energia E₀ ➔ hanno lo stesso raggio

Ma noi abbiamo E₀ poiché è l'energia di estrazione dell'elettrone E = 13,6 eV

Avendo ipotizzato un'energia minima E₀, si è detto che non si può irradiare, ovvero la materia è stabile.

Se aumentiamo la temperatura (non nulla) si ha una distribuzione sulle diverse energie possibili

\[E_1\]

\[\nu_{1} = \frac{E_1 - E_0}{h}\]

\[E_2\]

\[\nu_{2} = \frac{E_2 - E_0}{h}\]

\[\nu_{12} = \frac{E_2 - E_1}{h}\]

\[\nu_{nm} = \frac{|E_m - E_n|}{h}\]

Questo per quanto riguarda l'emissione.

Per l'assorbimento è evidente che per fare un salto energetico devo riempire tutto il gradino

I fotomoltiplicatori si attivano in maniera scorrellata coi pochi fotoni

Aumentiamo allora i fotoni

... e in accordo con la teoria atomica dell'interferenza se si media su un tempo abbastanza lungo

Stiamo assumendo che l'unica risposta plausibile è che il fotone (particella) ha dell'esistenza di entrambi i fori, ovvero del fenomeno dell'interferenza.

Si decide di mettere fotomoltiplicatori sui fori. Si osserva che ogni fotone attraversa un solo foro alla volta. Non conosce l'altro.

Si decide di tappare uno dei due fori. Facendo ciò otteniamo due fenomeni simmetrici spiegabili da un comportamento corpuscolare.

... Aperdoli entrambi ma si ottiene la somma dei due andamenti come mi aspetto da una natura corpuscolare.

Si ottiene invece una natura ondulatoria se mediato il fenomeno su un tempo abbastanza lungo.

Vogliamo fare allora il procedimento opposto

A n u⁽ⁱ⁾ = λ⁽ⁱ⁾ u⁽ⁱ⁾

U = (u₁⁽¹⁾ u₂⁽²⁾ ... u_n⁽ⁿ⁾)

U_ij = ν_j⁽ⁱ⁾

(U^† A U)_ij = ∑_kh (U^†)_ik A_hk U_kj = ∑_h (U^†)_ih (∑_k A_hk ν_k⁽ⁱ⁾)_{(Aν⁽ⁱ⁾)h}

= ∑_h (U_†)_ih λ⁽ⁱ⁾ ν_h⁽ⁱ⁾ =

= ∑_h ν_hi* λ⁽ⁱ⁾ ν_hi⁽ⁱ⁾ = λ⁽ⁱ⁾ (ν_i⁽ⁱ⁾ ν_hi) = λ⁽ⁱ⁾ δ_ij

Abbiamo diagonalizzato la matrice A

U^† A U = (λ₁ λ₂ ... λ_n)

U è detta matrice unitaria

U^† U = U U^† = 1

Vogliamo un'ultima proprietà: decomposizione identità

A U = λ NU

ν_j⁽ⁱ⁾ ⇒ λ⁽ⁱ⁾

U_{j i} = ν_j⁽ⁱ⁾

U^† U = U U^† = 1

∑_i ν_ai⁽ⁱ⁾ ν_bi⁽ⁱ⁾* = ∑_i U_ai U_bi* = ∑_i U_ai (U^†)_ib =

= (U U^†)_ab = δ_ab

∑_i |υ⁽ⁱ⁾⟩⟨ υ⁽ⁱ⁾| = 1

B |ω⟩ = ∑_i |υ⁽ⁱ⁾⟩ x ⟨υ⁽ⁱ⁾|ω⟩ = |1 ω⟩

|ω⟩ = ∑_i a_i |υ⁽ⁱ⁾⟩ → ⟨υ⁽ⁱ⁾|ω⟩ = ∑_i a_{i⟩⟨υ⁽ⁱ⁾|υ⁽ⁱ⁾⟩ = δij}

B̃Ŭ₂ =

(

√2 0

0 0

)

(

0

1

)

=

(

√2

0

)

= √2 Ŭ₂

B̃N₁ = √2 Ŭ₂

⇔

B̃Ŭ₁ = √2 Ŭ₂

det(

√2 0

-1 - λ

) =

-λ + λ² - 2 = (λ-2)(λ+1)

λ = 2

λ = -1

λ = 2 ⇒

(

√2 0

1 0

)

(

a

b

) = 2(

a

b

)

(

√2 b

√2a + b

) = (

2a

2b

)

⇒ b = √2 a

u(2) = (a, √2a, 0)

|a|² + 2 |a|² = 1

|a|² = 1

|a| = 1/√3

u(2) = (1/√3, √2/3, 0)

λ = -1

λ = -1 ⇒ a = -√2 b

u(-1) = ( -√2 b, b, 0)

= (-√2/3, 1/√3, 0)

V = (

1/√3 -√2/3 0

√2/√3 1/√3 0

0 0 1

V^✝︎B̃ V =

(

2 0 0

0 -1 0

0 0 -1

)

V^✝︎(

1 0 0

0 1 0

0 0 -1

)V = A_d

B̃ = U^✝︎ B U

A_d = U^✝︎ A U

V^✝︎B̃V = B_diag

V^✝︎U^✝︎BUV = B_diag

(UV)^✝︎B(UV) = B_diag

⇒ W = UV

V^✝︎AdV = Ad

V^✝︎U^✝︎AUV = Ad

(UV)^✝︎A(UV) = Ad

W^✝︎AW = A_diag

W^✝︎BW = B_diag