Appunti di Meccanica quantistica 1

Meccanica Classica ed Elettromagnetismo

Meccanica Classica: studio del moto dei corpi sotto l'effetto delle forze applicate

r(t) (vettore): _r(t) = x(t)_i + y(t)_j + z(t)_k

velocità: _v(t) = d_r(t) / dt = ( dx(t) / dt )_i + ( dy(t) / dt )_j + ( dz(t) / dt )_k

accelerazioni: _a(t) = d²_r(t) / dt² = ( d²x(t) / dt² )_i + ( d²y(t) / dt² )_j + ( d²z(t) / dt² )_k

Eq. fonda. ponderale della Dinamica:

F = m_a permette di determinare x(t), y(t), z(t)

Deducimo che il F=ma dal principio della minima

Siano L=T-V (lagrangiana) di un sistema che per H=T+V (Hamiltoniana) rappresenti un'autosetore S=^t1 ∫ ^t2 _Ldt di un solo grado di libertà

Principio della minima azione: una petriesta deve ieuqqspzere cualquier L=L(q,q,d,t), Lxx-t, con ie = actitici posse e comparlos quqla preciea

∫^t1 ∫^t2 δ( ∂q / ∂q δq l) dt separatamente, iutgraando per parti, si fra ∫^t1 ∫^t2 δ( ∂q / ∂q δq l) dt separatamente, integrando per parti, si fa

Iutgra?ìndo = ^t2 ( δq l ) _t1 ^t2 ( δ ( dc)/ d )_t2 ( d ∂l / ∂q dt ) _t1

Moto delle testigati deve valere per qualunque intarvallo di tempo e per qualunque configurazionale amaino_brur orveto e Leeco-louange

Meccanica Classica: studio del moto dei corpi sotto l'effetto delle forze applicate

Elettromagnetismo => leg di Maxwell -∇ ⋅ E = ρ / ε_o< / p> ∇ x ε= -d_B/dt V ⋅ E = ρ/ε₀ ∇ ⋅B = 0 x t ∇ x B = μ₀

- 1 d_E / dt e sono cosro eccpcelto che la loreatt ∇ ⋅E

delta leg di Maxwell + ridovimo da d_E = 0 = ∇ ⋅ _Bo

che Ltorrano eos subiseioni e due eque

Odei are pseci proporzoint nella femara E_iE_o e (k_x ⋅ ω ⋅ t = 0) con Ik_i ≠ 0

Relinoos tvo parametri:

K_z= 2π ⋅ λ = K = 2π / λ numero doi d'uda

ω = 2π / λ

posizione/frequanzae x It = 2πω c = λt c λ = c T lunghezza d'unda o prosuto dldnk di punti o tose socate

Spettro Corpo Nero

Un corpo cavo in alluminio o uno scatolo con pareti metalliche, ricoperte uniformamente ad una temperatura T_0 si osserva per esperienza che un contù obblò la radiazione che incide sullabolò a riflette sulle pareti senza mai essere assorbita: quest'indica equlibrio all'interno, la radiazione è alla temperatura T.

E lo traess[...]

E' intersati a ricavare una legge che descritta da densità alla energia elettromagnetico che si ha all'interno dell'unità.

_{∫⍴(v,T) dv} è l'energia specie della radiazione del corpo cavo, contenuto in un’unità di volume in un intervallo di frequanoa speci di v e v+dv

energia corrispondente [---] emmana in tempo

ma volume

de potenzialena tale densità a suppore di contare il numeroro oscillatori presenti all'interno della cavità con energia per l'energia media dipavon doessl.

De considerazioni a di mentīn geomettica s aderisce ⍴(,T)=8vU 3

Dal t erona di egulupilazione dell'energia si ricava

^β=Kt con K costante di Bolktoruan

ë ^{β kT}, tale previsione teorca todavio pare granda,

ed in moto totalucosso con le evindizi sperimentidi

De necessirt di calcolre per P(acije per p 1KT

_⍴E^βe

[...] _{lᵤ² >dP}[...]

• predizione Teoceca
• evldenze sperimentali

Dualismo Onda - Corpuscolo e Ipotesi di De Broglie

Alcune ardentre sperimentali portarono alla conclusione che la radiazione elettromagnetica debba avere una doppia matrice, ondulatoria e corpuscolare.

natura ondulatoria (modellazione)

• onda piana, che si proponga eil termin ψ(x,t)
• si può imporre una serie di quantità caratteristiche delle onde
• λ → T = k_z 2π / T ω = k_z 2π / T

natura corpuscolare (particella)

• Energia
• E = PC = ℏω
• Impulso
• p = h / λ = ℏk

Ipotesi di De Broglie: anche la particella presentano curva doppia matrice natura corpesoceca: Energia e impulso ma E ≠ pc natura ondulatoria: onde E ≠c / ρ (ρ2 ≠ εL)

Relazione di De Broglie:

λ = h / p

→ una particella dotrazza di impulso p è equivalente ad un'indora di lunghezza d'onda λ

Motivato dalla comporto parte dei casi, in cui pρ e quindi λ → 0, con doppia matrice dei corpi non è observavole

Nel momento in cui pρ sono confrontabili (a livelo stand o quando sono in piena elevata energia) è necessario una trattazione aundulatoria anche per la materia

Equazione di Schrodinger

Lo presente tracciato consiste nell'ottenimento dell'equazione di

dalla definizione che la echie che sono tutte riposte su ψ(x,t)

e si può ad oppen atesso l'eq. di d'Alembert

E=p²/2m, ω₀

a

• p= h

E=λh

E' Intersecto in qusto punto c elotta in tale pe cui a) , b), c e d, quindi

equazione delle onde , allore epoi in questo casi

ω₀ =

• ₁ λ=2
• _p

ψ riposo da K=ψ(kx-ω₀ t), -->^1/

∴ cos monta dite. k ^id

Il tedy neostine del seguente Voltando. per contrado sono tutte le radetie soddisfo in quosto ceo

• 2A
• =gh
• k₂

iede tutte le richiete

1. in quanto de pote k

àsso elude quidine con estendere sotto del questi pose de.

dalla soluzione dell'eq. di

si deduce che la probabilitá di trovare

particella é costante in qualunque istante di tempo

posto

invece di essere l

la particella nelle due el.,dati due volumi di spazio

probabilitá particella in un dato istante di tempo

si ha:

_{2 1}

₁

PACCETTO D'OUDA

in 1-dimensionale

siano

con un'onda anche dipendente da una particulare numero d'onda k

la corrispondente soluzione periodica piú essere espresso come

si proponiamo che k sia compresso tra

il pacchetto d' onda assume la forma

nell'ipotesi in cui

si rapporta

si ottiene:

• e

approssimiamo termini contati

ponendo k

1. li vettore di seno

2. e coseno non essend
3. funzione

dispon quindi

rimane

modulazione

completare riportiamo il caso tridimensionale:

la somma delle soluzioni della d'Alembert, come risulta

ψ_k(x,t) = (1 / (2π)^3/2) e^{i k⋅x-iωt}

tale insieme è O.N.C infatti ψ*_k1(x,t)ψ_k2(x,t) = δ(k_x1-k_x2n δ(k_y1-k_y2) δ(k_z1-k_z2)

dimostrare per quanto riguarda la completezza sia che

∫ d³ k¯ψ*_k(x',t)ψ_k(x,t) = δ³(x-x̅')

la trasfotta di Fourier:

ψ (x,t) = (1/(2π)^3/2) ∫ A(k)eⁱ i^k⋅x d³x

l'antitrasforme di Fourier:

A(k) = 1/(2π)^3/2 ∫ ψ (x',t)e^i−ik⋅× d³ x

e infine il Teorema di Parseval:  ∫ |ψ (x,t)| d³x  =  ∫ |A(k)| d³k = (ψ, ψ) = (A, A)

seguito il rapporto dello spazio delle configurazioni e quello nelle fori

si consideri una particella con impulso p,_ka

ka con cui funzione ondsa risutera  ∫ ψ(x,t)e=i/(2π)^3/2 e^i,bκ⋅−uto

che fa quindi A_kn (k t) = i/(2π)³  ∫ d³x e ^{i (k0x)ψ}d³