Appunti di Meccanica quantistica 1

Meccanica classica ed elettromagnetismo

Meccanica classica

Meccanica classica: studio del moto dei corpi sotto l'effetto delle forze applicate.

Luogo di vettori: r(t) = x(t)^î + y(t)^ĵ + z(t)^k̂

Velocità: ^dr(t)/^dt; ā(t) = ^d²r(t)/^dt²

Accelerazione: ^dv(t)/^dt

Eq. Fondamentale della Dinamica: F̅ = m^ā

L = T-V Lagrangiana

H = T+V Hamiltoniana

S = ∫L(t)dt Azione

Relazioni tra parametri

k = 2π/λ numero d'onda

ω = 2πν pulsazione/frequenza

ω = kc ⇒ λ = cT lunghezza d'onda

Onde piano

E^→ e B^→ che formano una sollecinio

Meccanica Classica ed Elettromagnetismo

Meccanica classica studia moto dei corpi sotto l'effetto delle forze applicate.

Posizione: _r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

Velocità: _v(t) = d/dt _r(t) = x'(t)i + y'(t)j + z'(t)k

Accelerazione: _a(t) = d/dt _v(t) = x''(t)i + y''(t)j + z''(t)k

Equ. fondamentale della dinamica: _F = m_a

Deduzione del Fermat dal principio alla minima azione

L = T-V _Lagrangiana di un astronomo.

H = T+V _Hamiltoniana rappresenta in esclusiva.

S = ∫_t₁^t₂ L dt _azione ad un solo grado di libertà.

Con le tre azioni rappresentanti, integrando per parti, si ha:

Sso δ L/δ q̇ᵢ - d/dt (δ L/δ q̇ᵢ) + δ L/δ qᵢ dt = 0

Cioè tale soluzione debe valere per qualunque intervallo di tempo e per qualunque configurazione.

Δ/Δ q = - Δ/Δ q

Δ/Δ q = − Δ/Δ q

Relazioni tra parametri

k = 2∏/λ numero d'onda

w²/c² = k²

w = 2∏/T pulsazione/frequenza

λ = w/c lunghezza d'onda

Spettro Corpo Nero

Fine 800 / Inizio 900: con meccanica classica e matematica necessaria: quantistico: a seguito di una serie di scoperte ed evidenze sperimentali per le quali non si riusciva a trovare una spiegazione.

Si considera innanzitutto un contenitore con pareti metalliche ricoperte uniformemente ad una temperatura T, si osserva per esperienza che la cavità debba la radiazione di un corpo allo stato α.

La radiazione elettromagnetica si riflette sulle pareti senza mai ... a meno che le cavità si siano quindi un equilibrio all’interno in funzione della temperatura T.

In questo punto interessato a ricavare una legge che descriva la densità di energia elettromagnetica che ha all'interno della cavità:

ρ(ν,T) dν L'energia emessa dalla radiazione dal corpo nero, contenuto in un'unità di volume, in un intervallo di frequenze comprese tra ν e ν.

Energia = corpo_{Volume, V} = ^{Energia x tempo}/_Volume

Per determinare tale densità si suppone di contare il numero di oscillatori presenti all'interno della cavità e moltiplicando C(ν) per energia media di ognuno di essi.

Da considerazioni euristiche e di natura geometrica si deduce:

ρ(ν,T) = ^8πν²/_c³ Ē

Dall'teorema di equipartizione dell'energia si ricava: Ē = kT, con K costante di Boltzmann fatto si ottiche: ^8πν²/_c³ kT. Tale predizione teorica tuttavia, per ν "grandi," subirà in netto disaccordo con le evidenze sperimentali in tentando calcolare Ē, partendo dalla la distribuzione di energia (probabilistico) del oscillatore sia P(ε) e^-βε con β = ¹/_kT In seguito quindi il valore medio: si può...

Ē = kT ρ(ν,T) prediczione teoreca evidenze sperimentali

Ipotesi di Planck

Suppone che e non voci eu continuità mae ueui nuu multiplo cli uu quanto fondamentale cll energia Ad E si satituire E_m = m ℏν

Allue Eue cli ciò si repete il eanãello precclente satituenda ell'integrale uuo famntaria

< _{E m} e^-Rn   ᵒ/uw    ᵒ/uw   ᵒ/uw     -d   ᵒ/ < eE_m        e^-Rn*ln(1 -1/(e^-Rn))

pertenato  <^{e-&bsol;ePnuw}/e^-1n

En definitiva  <^e-1/_kT