Meccanica Quantistica

Meccanica Quantistica

di

Riccardo Javier Valencia Tortora

March 3, 2017

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Contents

1 Introduzione al formalismo 3

1.1 Formalismo della meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Condizioni quantiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Operatore di traslazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 Traslazione di una variabile dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.2 Traslazione infinitesima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.3 Considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.4 Traslazione di uno spazio finito ∆x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Dinamica - equazione di Schrodinger 7

2.1 Teorema di Erenferst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Il formalismo di Heisengerg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Stati stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Evoluzione temporale di uno stato generico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Momento Angolare 9

3.1 Momento angolare come operatore di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Calcolo autovalori e autostati del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3 Normalizzazione autostati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.4 Misura del modulo del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.5 Momento angolare intero e semintero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.5.1 Stato combinazione di due stati con N pari e dispari . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.6 Operatori momento angolare in sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.7 Funzioni d’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.7.1 Piccolo approfondimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Composizione di momenti angolari 16

4.1 Considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Particelle identiche 18

5.1 Bosoni e Fermioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.2 Particelle identiche - Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6 Perturbazioni dipendenti dal tempo 22

6.1 Considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7 Rappresentazione di interazione 26

8 Probabilità di transizione allo stato j a partire da qualsiasi altro 27

9 Dimostrazioni 28

9.1 Operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2

1 Introduzione al formalismo

1.1 Formalismo della meccanica quantistica

La meccanica quantistica nasce in particolare per poter rispondere ai fenomeni di interferenza che si

verificano a causa della dualità onda-particella. |Ψi

Possiamo definire l’ampiezza di probabilità di un dato evento come la proiezione del nostro stato

su di un altro. Per esempio, se applichiamo tale formalismo al caso delle fenditure: siamo interessati

hx|F i

(indicando con x un dato punto dello schermo) a calcolare l’ampiezza di probabilità che la

particella ci arrivi. Data la presenza di due fenditure questa sarà pari alla somma di due contributi

hx|F i hx|F i hx|F i

= +

1 2

il cui modulo quadro ci dà la probabilità. |Ψi

Lo stato fisico di un sistema è racchiudo nel vettore di stato, chiamato ket, appartenente allo spazio

complesso. La scelta di adottare come spazio dei ket uno spazio di Hilbert è conseguenza soprattutto

del fatto che l’uso dei numeri complessi semplifica grandemente la trattazione dei fenomeni ondulatori.

Oltretutto uno spazio di Hilbert è uno spazio metrico completo.

|Ψi |Ψ i

Dato che il generico appartiene ad uno spazio vettoriale, allora anche la combinazione di stati i

apparterrà a tale spazio. Z

X

|Ψi |Ψ i

= c + c(x)|xidx

i i

i

dove si sta considerando la possibilità di una combinazione discreta e continua di stati.

Tra le combinazioni di stati possibili sono di particolare interesse quelle date da una base completa,

che consiste nell’insieme degli autostati di un dato operatore.

Un operatore non è altri che il corrispettivo quantistico di una qualsiasi quantità che si desidera

misurare, e un suo autostato non è altri che uno stato tale che

Ô|λi = λ|λi

dove λ è l’autovalore corrispondente. Supporremo sempre che l’insieme degli autostati di un operatore

|Ψi

sia un sistema completo, tale che qualsiasi stato possa essere decomposto in essa

X

|Ψi hλ |Ψi|λ i

= i i

i

hλ | |λ i.

dove è il bra (appartenente allo spazio duale degli stati) corrispondente allo stato

i i

Qual è l’utilità della decomposizione di uno stato negli autostati di un dato operatore? L’utilità risiede

nel fatto che in questo modo possiamo conoscere i risultati e le probabilità di una possibile misura

|Ψi.

dell’operatore Ô sullo stato

I risultati possibili sono gli autovalori λ mentre invece le probabilità, se lo stato è ben normalizzato,

i |λ i.

sono il modulo quadro dei coefficienti associati a i

Questo significa anche che in generale dato uno stato non possiamo dire con certezza quale sarà il

risultato di una misura sullo stesso. |Ψi |λ i,

Ma a seguito della misurazione lo stato collassa in uno degli autostati implicando che una

i

successiva misurazione non potrà far altro che dare lo stesso risultato precedentemente ottenuto.

1.2 Operatori

Un operatore, come precedentemente detto, non è altri che una variabile dinamica del sistema.

Quest’ultimo può essere rappresentato in forma matriciale, costruendola facendo agire l’operatore

sull’insieme di stati che si desiderano come base, oppure in forma differenziale (aritmetica) che sarebbe

la rappresentazione di Schrodinger.

Gli autovalori di un operatore rappresentano i possibili risultati di una misura su di uno stato. Dato che

i risultati ottenibili sperimentalmente sono reali allora un operatore per rappresentare un osservabile

deve essere hermitiano, cioè ∗

+ T

Ô = Ô = (

Ô )

3

dove l’ultima uguaglianza è valida se abbiamo la forma matriciale di Ô.

Il fatto che i suoi autovalori siano necessariamente reali lo si può dimsotrare molto semplicemente

|ai

assumendo di avere un autostato di Ô, tale che

Ô|ai = a|ai

consideriamo adesso di far agire l’operatore prima a destra e poi a sinistra:

ha|

Ô|ai = aha|ai

∗

+

ha| |ai ha|ai

Ô = a

dato che i due risultati devono essere i medesimi si ha

∗ ∗

− →

(a a )ha|ai = 0 a = a |ai 6

dove l’ultima condizione è legata al fatto che la norma è definita positiva e = 0.

Ricordando che un operatore hermitiano se rappresentato in forma matriciale è tale che

∗

Ô = Ô

ij ji

allora questo implica che l’operatore è simmetrico. Per tale classe di operatori è valido il teorema

spettrale, che assicura che gli autovalori sono tutti reali (come sopra dimostrato) e che oltretutto tali

autovettori sono tutti ortogonali. |ai |bi

Nel caso non degenere la dimostrazione è banale. Assumiamo due autoket e e calcoliamo

+ ∗

) da cui

l’elemento di matrice Ô , che per simmetria è pari anche a (

Ô

ab ba

ha| Ô|bi = bha|bi

∗

+ +

|ai) ha| |bi

(hb|

Ô = Ô = aha|bi

che uguagliata ci dà − → ha|bi

(a b)ha|bi = 0 = 0

nel caso degenere, si ha un autovalore a cui sono associati più autostati, che però possiamo ortogonal-

izzare tra loro mediante una delle procedure note (Gram-Schimdt).

L’applicazione di un operatore ad uno stato è la rappresentazione dell’atto della misura dell’osservabile

corrispondente su quest’ultimo. Siamo interessati ad osservare i possibili risultati di una operazione

di misura di osservabili diversi. Questo è rappresentato dall’applicazione successiva dei corrispondenti

operatori.

In generale si ha che la misura di A può inficiare con la successiva misura di B, cioè i due operatori

non commutano − 6

[A, B] = AB BA = 0

se invece i due operatori commutano allora questi ammettono stessi autostati, e la misura dell’uno

non inficia quella dell’altro.

Nel seguito si assume sempre implicitamente che la base degli autoket di un operatore sia completa,

cioè qualsiasi ket di stato possa essere scritto come una combinazione di tali autoket:

Z X

|Ψi hx|Ψi|xhdx hλ |Ψi|λ i

= + i i

i

in cui si ha il caso più generale possibile della presenza sia di uno spettro discreto che continuo.

4

1.3 Condizioni quantiche

Una delle caratteristiche proprie del formalismo è che le osservabili, e le variabili dinamiche in generale,

compaiono come quantità che non obbediscono alla proprietà commutativa della moltiplicazione. In

generale infatti dati due operatori Ô e Ô :

1 2 6

[

Ô , Ô ] = 0

1 2

con [, ] il commutatore (operatore antihermitiano) che se nullo implica che i due operatori commutano

e quindi hanno i medesimi autostati.

Vogliamo quindi ottenere delle equazioni che rimpiazzino la proprietà commutativa della moltipli-

cazione classica (in cui moltiplicazione è da intendere: prima misuro uno cosa e poi un’altra).

Queste nuove equazioni sono chiamate condizioni quantiche o relazioni di commutazione.

Trovare tali equazioni generali non è però possibile. Ogni problema deve essere infatti trattato sin-

golarmente. Fortunatamente però una vasta gamma di problemi possono essere risolti attraverso il

metodo dell’analogia classica. Tale metodo però si basa sulla concezione classica che l’osservazione

non perturba il sistema considerato (dato che classicamente l’osservazione, intesa come interferenza

data dagli apparati di misura, è ininfluente ai fini del fenomeno stesso).

Quindi il metodo dell’analogia classica è valido nel caso in cui si considerano sistemi abbastanza grandi

da poter considerare l’atto dell’osservazione trascurabile.

Attraverso diversi calcoli, che sono illustrati a pag 117-118 del testo, si giunge a:

[u, v] = i~{u, v}

dove le prime parentesi è il commutatore, mentre le secondo sono le parentesi di Poisson.

La presenza dell’unità immaginaria è dovuta al fatto che il commutatore essendo antihermitiano è

puramente immaginario, mentre invece le parentesi di poisson sono puramente reali.

1.4 Operatore di traslazione

La traslazione di uno stato o di un’osservabile (operatore) è ben definita dal punto di vista fisico: si

tratta di traslare l’apparato sperimentale di un tratto δx in una data direzione.

Uno stato o una variabile dinamica (intimamente correlata agli osservabili) traslati sono univocamente

determinati dallo stato o dalla variabile dinamica prima della traslazione e dalla direzione e modulo

di quest’ultima.

Per quanto riguarda un ket invece ciò non è vero, dato che la traslazione determina la sola direzione

di esso. Possiamo però fissare il modulo in modo tale che la traslazione sia isometrica (mantenga le

distanze), ma anche in questo caso si può sempre moltiplicare per un fattore arbitrario di modulo 1

iθ

e il quale però è uguale per tutti i ket traslati.

Possiamo definire un operatore lineare di traslazione D dato che:

|Ri |Ai |Bi → |R i |A i |B i

= c + c = c + c

1 2 1 2

d d d

Risulta ragionevole supporre che l’ampiezza di probabilità sia invariante per traslazione, altrimenti

essa perderebbe di significato fisico dato che sarebbe suscettibile alla scelta del sistema di riferimento:

+

hQd|P hQ|D i hQ|P i

di = D|P = c =

ˆ

+

il che implica D D = I Nota: un operatore tale che la sua composizione con il suo aggiunto è l’identità

è detto unitario.

1.4.1 Traslazione di una variabile dinamica

Consideriamo l’operatore generico v tale che i |Ri

v|P =

5

considerando adesso la variabile dinamica traslata v vogliamo avere soddisfatta la seguente relazione:

d

−1 −1 −1

|P |Rdi → i → i i → →

v di = v D|P = D|Ri D v D|P = v|P D v D = v v = DvD

d d d d d

il che può essere visto come un cambiamento di base.

1.4.2 Traslazione infinitesima →

Consideriamo adesso una traslazione infinitesima δx. Per continuità fisica ci si aspetta che per δx 0

lo stato traslato coincida con quello originario, inoltre, possiamo aspettarci che esista il limite del

rapporto incrementale |P − |P i −

di D 1 |P i

lim = lim

δx δx

δx→0 δx→0

−

il che implica l’esistenza del limite d = lim (D 1)/δx La quantità qui definita, che non è altri

x δx→0

che la derivata parziale dell’operatore D rispetto allo spostamento x consente di poter esplicitamente

sviluppare in serie di Taylor D attorno a δx = 0. Il termine di ordine 0 è necessariamente l’identità,

|P i |P

dato che se lo spostamento è nullo allora il = di:

D = 1 + δxd

x +

per determinare la natura dell’operatore d sfruttiamo il datto che DD = 1:

x

+ +

→ −d

(1 + δxd )(1 + δxd ) = 1 d =

x x

x x

il che implica che d sia un operatore antihermitiano.

x

Ricaviamo la traslazione della variabile dinamica per una traslazione inifitesima δx:

− −

v = (1 + δxd )v(1 δxd ) = v + δx(d v vd )

x x x x

d

la quale mostra che − − −[v,

lim (v v)/δx = d v vd = d ]

x x x

d

δx→0

abbiamo in questo modo definito la traslazione di un tratto δx delle variabili dinamiche del sistema

(operatori).

Consideriamo adesso la variabile dinamica x e supponiamo di traslare il dispositivo che la misura di

un tratto δx. Questo implica che lo strumento misurerà

−

x = x δx

d

il quale deve però essere uguale all’equazione trovata precedentemente

− − →

x δx = x + δx(d v vd ) [x, d ] = 1

x x x

dato che [x, p ] = i~ si ha per confronto

x p x

−i

d =

x ~

la cui definizione è concorde con il fatto che sia un operatore antihermitiano (un operatore hermitiano

moltiplicato per l’unità immaginaria dà un operatore antihermitiano).

Si ha quindi che l’operatore di traslazione infinitesima può essere scritto come

i 2

−

D = 1 p

ˆ δx + o(δx )

x

~

e posso definire anche la sua derivatata parziale rispetto a x

|P − |P i

∂ δi i

p

ˆ ∂

x

|P i − |P i → |P i |P i

= = i~ = p

ˆ

x

∂x δx ∂x

~

Questo permette di concludere che gli operatori di traslazione sono intimamente correlati tra loro e

non solo, dato che [p , p ] = 0

i j

allora le traslazioni lungo le diverse direzioni commutano anch’esse tra loro.

6

1.4.3 Considerazioni

Si noti che quanto si sta facendo è la traslazione del sistema di riferimento e non dello stato. Da questo

deriva la definizione di p in termini differenziali con segno discorde rispetto all’usuale. Se traslassimo

x

direttamente lo stato otterremmo ip ∂

x

|Ψi |Ψi |Ψiδx |Ψi |Ψiδx

= + = +

d ∂x

~

→ −δx −i~∂/∂x.

ottenuta sostituendo δ (dato che sto spostando lo stato direttamente) e ponendo p =

x

1.4.4 Traslazione di uno spazio finito ∆x

Abbiamo ottenuto l’espressione esplicita dell’operatore di traslazione per spostamenti infinitesimi δx,

ma come possiamo da questo ottenere la traslazione discreta? Definendo ∆x = N δx e applicando

quindi N volte l’operatore di traslazione infinitesima:

i i ∆x i p

ˆ ∆x

x

Y N

|P − i − |P i → i

(∆x)i = (1 p

ˆ δx)|P = lim (1 p

ˆ ) exp(− )|P

x x N

→∞

N

~ ~ ~

7

2 Dinamica - equazione di Schrodinger

Vogliamo descrivere l’evoluzione temporale di uno stato indisturbato.

Possiamo sfruttare l’analogia tra la traslazione spaziale e quella temporale. Analogalmente alla

traslazione spaziale anche quella temporale deve lasciare invariata l’ampiezza di probabilità, il che

implica che anche in questo caso l’operatore di traslazione temporale, che chiamo T , deve essere

unitario: +

T T = 1

possiamo ripetere tutti i ragionamenti precedenti per poter affermare che l’equazione differnziale che

regola l’evoluzione temporale dello stato è ∂ |P i i

i~ = Ĥ|P

∂t

dove Ĥ è l’operatore Hamiltoniano. Perchè deve essere l’operatore Hamiltoniano? Possiamo dirlo sia

per analogia che poi dimostrarlo sfruttando l’equazione equivalente di Heisenberg.

Analogia: nella teoria della relatività la relazione che si ha tra spazio e impulso è la stessa che tra

energia e tempo.

2.1 Teorema di Erenferst

Dimostriamo che l’operatore di evoluzione temporale sia effettivamente l’operatore Hamiltoniano.

|Ψi

A tal fine consideriamo uno stato la cui evoluzione temporale è data da

i

− Ôt

|Ψ(t)i |Ψ(0)i

= e ~

e consideriamo adesso un osservabile fisico f (q, p, t) di cui vogliamo conoscere il valore medio sull’evoluto

|Ψ(t)i

di ¯ hΨ(t)|f

f = (q, p, t)|Ψ(t)i

|Ψ(t)i

considerando lo stato ben normalizzato.

Ricaviamone la variazione nel tempo

¯

d

f d hΨ(0)|

= e