Appunti di lezione di Matematica generale (libro consigliato "Manuale di Matematica")

Gli insiemi

Si tratta di un gruppo di oggetti, detti elementi dell'insieme. Viene definito un insieme dato un criterio non ambiguo che permetta di stabilire se l'oggetto è o no dell'insieme. Viene indicato da lettere maiuscole (A, B, X, Y, A, B…), mentre i suoi elementi con lettere minuscole.

Come si rappresenta

Con un elenco - A = {a, b, c, d}

Con un diagramma di Eulero-Venn (dei grafici)

e ∉ A

a ∉ B

Confronto tra insiemi

Sottoinsiemi: B ⊂ A oppure A ⊃ B se ∀ x ∈ B, x ∈ A (ogni elemento di B è elemento di A).

Insieme vuoto: Ø insieme privo di elementi.

Sottoinsieme proprio: B ⊆ A oppure A ⊇ B se ∃ a ∈ A : a ∉ B.

Uguali: A = B ⇔ (A ⊂ B e B ⊂ A)

Diversi: A ≠ B

Proprietà della relazione di inclusione

Siano A, B, C insiemi qualsiasi, si ha:

Proprietà riflessiva: A ⊂ A

Proprietà antisimmetrica: se A ⊂ B e B ⊂ A allora A = B

Proprietà transitiva: se A ⊂ B e B ⊂ C allora A ⊂ C

Insieme delle parti

L'insieme di tutti i sottoinsiemi di A si dice insieme delle parti di A oppure potenza di A e si indica P(A)

Esempio: A = {1, 2, 3}

P(A) = { {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {1, 2, 3} }

Quindi se A contiene n elementi P contiene 2ⁿ elementi.

Gli insiemi

Si tratta di: un gruppo di oggetti, detti elementi dell'insieme. Viene definito univoco quando viene dato un criterio non ambiguo che permette di stabilire se l'oggetto O è o no all'insieme. Viene indicato da lettere maiuscole {A, B, X, Y, Λ, B...}, mentre i suoi elementi con lettere minuscole.

Come si rappresenta

Con un elenco → A = {a, b, c, d}

Indicando la proprietà caratteristica → A = {x: x è lettera romana}

Coi diagrammi di Eulero-Venn (dei grafici)

Confronto tra insiemi

Sottoinsiemi: B C A oppure A ≥ B se ∀ b ∈ B, b ∈ A • ogni elemento di B ∈ elemento di A.

Insieme vuoto: ∅ insieme privo di elementi.

Sottoinsieme proprio: B C A oppure A ⊃ B se ∃ a ∈ A : a ∉ B.

Uguali: A = B ⇔ (A ∩ B = B ∩ A)

Diversi: A ≠ B

Proprietà della relazione di inclusione

Siano A, B, C insiemi qualsiasi, si ha:

Proprietà riflessiva: A ⊆ A

Proprietà antisimmterica: se A ⊆ B e B ⊆ A allora A = B

Proprietà transitiva: se A ⊆ B e B ⊆ C allora A ⊆ C

Insieme delle parti

L'insieme di tutti sottoinsiemi di A si dice insieme delle parti di A oppure potenza di A e si indica P(A)

Esempio: A = {1, 2, 3}

P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {1, 2, 3}}

Quindi se A contiene n elementi P contiene 2ⁿ elementi.

Unione tra insiemi

Si tratta dell'insieme di elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B:

A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}

Se A = B → A ∪ B = A = B

Se A ⊂ B → A ∪ B = B

Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}

A ∪ B = {0, 1, 2, 3}

Intersezione di insiemi

Si tratta dell'insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B:

A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

Se A = B → A ∩ B = A = B

Se A ⊂ B → A ∩ B = A

Se A ∩ B = ∅ → A e B sono disgiunti

Proprietà di unione ed intersezione

Proprietà commutativa: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A

Proprietà associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Proprietà distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Esempi

1. A = {1, 2, 3}, B = {2, 3}, C = {2, 4}
2. A ∪ B = {1, 2, 3}
3. B ∪ C = {2, 3, 4}
4. (A ∩ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
5. A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {2, 4}
6. A ∩ C = {2}
7. A ∩ B = {2}
8. A ∪ (B ∩ C) = A ∪ {1}
9. (A ∪ B) ∪ C = {1, 2}

Differenza tra insiemi

Si tratta dell'insieme di quei elementi che appartengono ad A ma non appartengono a B:

A\B = {x : x ∈ A e x ∉ B}

Se A = B ->