Appunti di lezione di Matematica generale (libro consigliato "Manuale di Matematica")

GLI INSIEMI

Si tratta di un gruppo di oggetti, detti ELEMENTI dell'insieme. Viene definito quando viene dato un criterio non ambiguo che permette di stabilire se un oggetto è o no dell'insieme. Viene indicato da lettere maiuscole (A, B, X, Y, ∧, 8, …) mentre i suoi elementi con lettere minuscole.

1) COME SI RAPPRESENTA

• con un ELENCO → A = {a, b, c, d}
• indicato la proprietà caratteristica → A = {x | x e' lettera mauajus}
• con i DIAGRAMMI DI EULERO-VENN (o grafici)

2) CONFRONTO TRA INSIEMI

• SOTTOINSIEMI: B ⊆ A oppure A ⊇ B se ∀b ∈ B b ∈ A (ogni elemento di B è elemento di A).
• INSIEME VUOTO: ∅ insieme privo di elementi.
• SOTTOINSIEME PROPRIO: B ⊂ A oppure A ⊃ B se ∀b ∈ B b ∈ A e ∃a ∈ A tale che a ∉ B.
• UGUALI: A = B ↔ (A ⊆ B e B ⊆ A)
• DIVERSI: A ≠ B

3) PROPRIETÀ DELLA RELAZIONE DI INCLUSIONE

Siano A, B, C insiemi qualsiasi, si ha:

• PROPRIETÀ RIFLESSIVA → A ⊆ A
• PROPRIETÀ ANTISIMMETRICA se A ⊆ B e B ⊆ A allora A = B
• PROPRIETÀ TRANSITIVA se A ⊆ B e B ⊆ C allora A ⊆ C

4) INSIEME DELLE PARTI

L'insieme di tutti i sottoinsiemi di A si dice insieme delle parti di A oppure POTENZA DI A e si indica P(A)

Esempio: A = {1, 2, 3}

P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}}

Quindi se A contiene n elementi, P contiene 2ⁿ elementi.

UNIONE TRA INSIEMI

Si tratta dell'insieme degli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B:

A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}

Se A = B → A ∪ B = A (o B)

Se A ⊂ B → A ∪ B = B

Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}

A ∪ B = {0, 1, 2, 3}

INTERSEZIONE DI INSIEMI

Si tratta dell'insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B:

A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

Se A = B → A ∩ B = A (=B)

Se A ⊂ B → A ∩ B = A

Se A ∩ B = ∅ → A e B sono DISGIUNTI

NB

Vi sono delle proprietà di unione ed intersezione:

• Proprietà commutativa: A ∪ B = B ∪ A / A ∩ B = B ∩ A
• Proprietà associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) / (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
• Proprietà distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) / A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Esempi:

1. A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {2, 4}

   A ∪ B = {1, 2, 3}

   B ∪ C = {2, 3, 4}

   (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

   → {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}

2. A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3}, C = {2, 1, 4}

   • A ∩ B ∩ C = {2}
   • (A ∩ B) = {2, 3}
   • A ∪ C = {1, 2, 3, 4}
   • A ∪ C = {1, 2, 3, 4}
   • A ∪ (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4}
   • (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = {1, 2}

INSIEMI SULLA RETTA

Certi insiemi sulla retta possono essere rappresentati attraverso PUNTI INTERVALLI o PUNTI E INTERVALLI

Un intervallo (I) racchiude un insieme di numeri e ha diverse caratteristiche:

1. [a,b]
   • a, b ∈ ℝ
   • a < x < b, a e b sono gli ESTREMI dell'intervallo
   • I CHIUSO E LIMITATO
2. ]a,b[
   • a, b ∈ ℝ
   • a < x < b, x ∈ I
   • I APERTO E LIMITATO
3. [a, +∞[
   • ∀ x ∈ ℝ: x > a
   • a ∈ ℝ
   • I ILLIMITATO (e chiuso a sinistra)
4. ]−∞, b]
   • ∀ x ∈ ℝ: x ≤ b
   • b ∈ ℝ
   • I ILLIMITATO (e chiuso a destra)

I = I_c − {c} _c ∊ ℝ ⟹ I =: I ∪ {∊ I = I}

ES.

ESEMPIO: I destro [_c → _{x > 0}

FUNZIONI IN R

Siano A e B (sotto insiemi di) R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge (RELAZIONE) che fa corrispondere a ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.

Si tratta di una funzione reale di variabili reali:

• L'insieme A è il DOMINIO, cioè l'insieme di tutti gli elementi di A (a₁, x) che hanno un corrispondente in B (b₁).
• L'insieme f(A)⊆B, CODOMINIO, costituito da tutte le immagini degli elementi di A, ha la proprietà di qualunque dato un elemento di B, c'è un sottinsieme del dominio a cui è verso e viceversa.

x è la VARIABILE INDIPENDENTE ed è CONTROIMMAGINE di y,

mentre y è la VARIABILE DIPENDENTE ed è IMMAGINE di x.

Esistono diversi tipi di funzioni, a seconda dei loro grafici:

• COSTANTE (+,-)
• IDENTICA (+,-)
• INFINITA (+,-)
• CRESCENTE/DECRESCENTE (+,-)
• PERIODICA (+,-)
• UNIVOCA, ad ogni valore di x corrisponde uno e un solo elemento di y;
• mentre saranno PLURIVOCA se a valore di x corrispondono più immagini uguali se date due funzioni f: A→B e g: D→D.
• PARI/DISPARI;
• SURIETTIVE/INIETTIVE/BIUNIVOCA;
• COMPOSTE;
• INVERSE.

Suriettive, Iniettive, Biunivoche

1. x→y⇔∃f(x)⇔f(x)
2. Quando esaurisci si scegliano due elementi distinti in A e le immagini di B sono diverse
3. Se e solo se iniettiva che suribetta

Funzione Esponenziale

Si chiama funzione esponenziale in base a, a ∈ R⁺ {1}, la funzione f: R → R₊

f(x) = a^x

Ci viene escluso perché per a = 1 avremmo il caso banale f(x) = 1^x (casi grafico di retta costante , x = 1 e y = 1).

La funzione si comporta in modo diverso a seconda della base (a > 1 o 0 < a < 1).

CASO a > 1

• D = R
• Cod = ]0; +∞[ = R₊
• Passa per (0,1) A
• Monotonia crescente
• Man mano che la base aumenta, la funzione è più ripida.

Non tocca mai lo 0, tutt'al più si avvicina, poi si apre verso l'alto infinito.

CASO 0 < a < 1

• D = R
• Cod = R₊
• Passa per (0,1) A
• Monotonia decrescente
• Se la base aumenta, è meno ripida: all'aumentare di x diminuisce la y.

NB Se a = 0, f(x) è indeterminata quindi a > 0.

1 Cotangente

A differenza di sen, cos e tan, cotan e una funzione reciproca.

cot (α) = cos (α) / sen (α)

Si definisce ascissa nel punto T di un punto di intersezione tra il prolungamento del raggio OH e la tangente perpendicolare nel punto B_(0,1).

f (x) = cot (x)

2 Relazione tra sen, cos e tan

L'unicità vi è una relazione tra sen e cos dove sen_(α) = Ha e cos_(α) = OH basato che vale a formare un triangolo rettangolo

cos²(x) + sen²(x) = OH = 1

Percio, possiamo ricavare sen e cos:

• cos_(x) = ±√1 - sen²(x)
• sen_(x) = ±√1 - cos²(x)

Da cio, ricaviamo una relazione tra altre funzioni:

• sen²(x) = 1 - cos²(x)
• tan²(x) = 1 - cos²(x) / cos²(x)

tan²(x) = 1 - sen²(x) / sen²(x)

sen_(x) = ± √tan²(x) / 1 + tan²(x)

NB

sen_(x) = tan_(x)cos_(x) purché se ¹cos_(x) = 1