Riassunto Esame Matematica generale, prof Mastroleo, libro consigliato Manuale di matematica, Scovenna

Riassunti di Matematica Generale

Prof: Giovanni Mastroleo

Testi Consigliati:

1. Bianchi M., Scaglianti L., Precorso di Matematica, ed. Cedam;

2. Torriero A., Scovenna M., Scaglianti L., Manuale di Matematica, ed. Cedam;

3. Scovenna M., Grassi R., Esercizi di Matematica, ed. Cedam.

I LIMITI

Limite finito di una funzione in un punto

Sia f(x) definita in un intervallo chiuso e limitato, escluso al massimo il punto c interno ad esso. Si

dice che: lim () =

→

Quando in corrispondenza di un numero positivo e arbitrario è possibile determinare un

intorno completo del punto c, tale che, per ogni x che appartiene all’intorno, escluso al

massimo il punto c, risulti soddisfatta la seguente disequazione:

|() |

− <

Cioè che: − < () < +

Limite infinto di una funzione in un punto

Sia f(x) definita in un intervallo chiuso e limitato, escluso al massimo il punto c interno ad esso. Si

dice che: lim () = +∞

→

Quando in corrispondenza di un numero positivo e arbitrario è possibile determinare un

intorno completo del punto c, tale che, per ogni x che appartiene all’intorno intersecato col

dominio, risulti soddisfatta la seguente disequazione:

() >

Sia f(x) definita in un intervallo chiuso e limitato, escluso al massimo il punto c’interno ad esso. Si

dice che: lim () = −∞

→

Quando in corrispondenza di un numero positivo e arbitrario è possibile determinare un

intorno completo del punto c, tale che, per ogni x che appartiene all’intorno intersecato col

dominio, risulti soddisfatta la seguente disequazione:

() < −

Limiti destro

Sia f(x) definita in un intervallo chiuso e limitato, escluso al massimo il punto c interno ad esso. Si

dice che: lim () =

+

→

Quando in corrispondenza di un numero positivo e arbitrario è possibile determinare un

intorno destro del punto c, tale che, per ogni x che appartiene all’intorno, escluso al massimo il

punto c, risulti soddisfatta la seguente disequazione:

|() |

− <

Limite sinistro

Sia f(x) definita in un intervallo chiuso e limitato, escluso al massimo il punto c interno ad esso. Si

dice che: lim () =

−

→

Quando in corrispondenza di un numero positivo e arbitrario è possibile determinare un

intorno sinistro del punto c, tale che, per ogni x che appartiene all’intorno, escluso al massimo il

punto c, risulti soddisfatta la seguente disequazione:

|() |

− <

Limiti all’infinito

Sia f(x) definita in un intervallo illimitato. Si dice che:

lim () =

→+∞

Quando in corrispondenza di un numero positivo e arbitrario è possibile determinare un

numero N positivo tale che risulti soddisfatto dai valori x>N.

|() |

− <

Sia f(x) definita in un intervallo illimitato. Si dice che:

lim () =

→−∞

Quando in corrispondenza di un numero positivo e arbitrario è possibile determinare un

numero N positivo tale che risulti soddisfatto dai valori x<-N.

|() |

− <

Per x che tende a +∞ i limiti all’infinito sono:

Si dice che il quando Si dice che il quando

() = +∞ () = −∞

→+∞ →+∞

la disequazione f(x)>M è soddisfatta la disequazione f(x)<-M è soddisfatta

dai valori dai valori

>

Per x che tende a -∞ i limiti all’infinito sono:

Si dice che il quando Si dice che il quando

() = +∞ () = −∞

→−∞ →−∞

la disequazione f(x)>M è soddisfatta la disequazione f(x)<-M è soddisfatta

dai valori dai valori

< −

Definizione unitaria di limite

Sia e c un punto di accumulazione.

: →

Si dice che lim () =

→

Quando, preso comunque un intorno k di L, esiste sempre un intorno I di c, tale che per ogni x

appartenente al dominio intersecato con l’intorno, escluso al massimo il punto c, si abbia che

() ∈

Teoremi dei limiti

1. Unicità del limite

Se esiste il allora tale limite è unico.

lim ()

→

Dimostrazione:

Ragioniamo per assurdo e supponiamo che per la funzione ammetta due limiti distinti l ed

→

m, cioè risulti che:

e

() = () =

→ →

Supponiamo che l>m.

−

Indichiamo = 2

Allora, per definizione, in corrispondenza di epsilon devono esistere due intorni tali per cui:

− < () < + ∀ ∈

1

− < () < + ∀ ∈

2

Nell’intorno I dato dall’intersezione dei due intorni, le due condizioni devono valere

simultaneamente, quindi si dovrebbe avere che:

da cui

− < () < + ∀ ∈ − < +

−

Per cui che è in contraddizione con quanto affermato in precedenza

> 2

2. Teorema della permanenza del segno

Se il esiste un intorno di c, per ogni x del quale, escluso al massimo il punto c, la

lim () = ≠ 0

→

funzione ha lo stesso segno del limite.

Dimostrazione:

supponiamo > 0

Fissato un epsilon arbitrario, è possibile determinare un intorno di c, tale che per ogni che

appartiene all’intorno, escluso al massimo il punto c, si ha che:

− < () < +

Dato che epsilon è arbitrario lo fissiamo in modo tale che Da ciò:

.

− > 0

0 < () < +

Ciò dimostra che la funzione ha lo stesso segno del limite.

3. Teorema del confronto

Siano f(x), g(x) e h(x) tre funzioni definite nello stesso intervallo, escluso al massimo il punto c,

tali che:

• per ogni

() ≤ ℎ() ≤ () ≠

• il lim () = il lim () =

→ →

allora il lim ℎ() =

→

Dimostrazione:

Dato che il segue che, fissato un epsilon arbitrario, si può determinare

() = () =

→ →

− < () < + ∀ ∈

1

− < () < + ∀ ∈

2

Nell’intorno I dato dall’intersezione dei due intorni, le due condizioni devono valere

simultaneamente e dato che h(x) è compreso tra le due funzione allora:

− < ℎ() < + ∀ ∈

Ciò dimostra che ℎ() =

→

Infinitesimi

Si dice che è un infinitesimo quando il

() () = 0

→

Teoremi

1. Scrittura di f(x) fuori dal segno di limite

Se una funzione è tale che: () =

→

Allora, in un opportuno intorno di c si ha che

() = + ()

Dimostrazione

Se vale il limite per cui () =

→

Allora in corrispondenza di epsilon esiste un intorno del punto c, tale per cui per ogni punto

dell’intorno escluso al massimo il punto c risulta che

|() |

− <

E dunque, posto si può scrivere

() = () − |()| <

Questo prova che () = 0

→

2. teorema

Se ed esiste un intorno di c tale per cui, per ogni x che appartiene all’intorno, risulta

() = 0

→ 1

che allora

() ≠ 0 =∞

()

→

Dimostrazione

Se vale il limite per cui allora in corrispondenza di un numero epsilon arbitrario e

() = 0

→

positivo, esiste un intorno di c tale per cui, per ogni x che appartiene all’intorno, escluso al

massimo il punto c, risulta che: |()| <

E si ha inoltre che