Riassunto Esame Matematica generale, prof Mastroleo, libro consigliato Manuale di matematica, Scovenna

LE DERIVATE

Si dice derivata di una funzione (continua) f(x) nel punto il limite, se esiste ed è finito, del

0

rapporto incrementale, al tendere a 0 dell’incremento h della variabile indipendente, cioè

( + ℎ) − ( )

0 0

lim ℎ

ℎ→0

Inoltre.. →

0 0

invece non è detto che si verifichi la relazione inversa. Per spiegare tale affermazione utilizziamo

un esempio, che è la funzione signum. La funzione sarà uguale ad x per x>0, sarà

| |

() =

uguale a -x se x<0, mentre sarà uguale a 0 se x=0. Ci chiediamo se la funzione sia derivabile in

= 0.

0 ∆

Costruiamo il rapporto incrementale in , cioè con e Quindi..

= 0 + ℎ = ℎ.

0 0 0

∆

|ℎ| |ℎ|

∆ ( + ℎ) − ( ) − 0

0 0

= = = ( )

∆ ℎ ℎ ℎ

|ℎ|

Bisogna ora vedere se esiste il seguente limite e dobbiamo analizzarlo sia da destra che

ℎ

→0

da sinistra, cioè per h>0 e per h<0. |ℎ| ℎ

= = 1

ℎ ℎ

+ +

→0 →0

|ℎ| −ℎ

= = −1

ℎ ℎ

− −

→0 →0

Dati i risultati diversi dei due limiti è possibile affermare che, sebbene la funzione sia continua in

questa non è derivabile nel medesimo punto.

= 0,

0

Dimostrazione:

Per chiarire in maniera teorica quanto spiegato con l’esempio, procediamo con la dimostrazione

partendo da un’identità.

Dimostriamo che ( + ℎ) = ( )

0 0

ℎ→0

Scriviamo l’identità, utilizzando il rapporto incrementale.

( + ℎ) − ( ) ( + ℎ) − ( )

0 0 0 0

= ℎ

ℎ ℎ

( + ℎ) − ( )

0 0

( + ℎ) − ( ) = × ℎ ( )

0 0 0

ℎ

( + ℎ) − ( )

0 0

( + ℎ) = ( ) + × ℎ

0 0 ℎ ( + ℎ) − ( )

0 0

( + ℎ) = ( ) + × ℎ

0 0 ℎ

ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0

Semplificando, otteniamo l’affermazione di partenza: ( + ℎ) = ( )

0 0

ℎ→0

Di seguito si allegano le derivate delle funzioni elementari e le regole di derivazione.

1. Derivata della funzione composta

Sia : →

: →

e sia ∈ ; ∈ , ; ∈

Definiamo la funzione composta h(x) come segue con

ℎ() = [()]=y ℎ: → .

Se valgono le seguenti ipotesi:

• Se g è DERIVABILE in ∈

0

• Se f è DERIVABILE in = ( ) → ℎ′( ) = ′( ) × ′ ( )

0 0 0 0 0

Allora h è DERIVABILE in .

0 CALCOLO DIFFERENZIALE

1. Teorema di Rolle

Sia f(x) definita in [, ]

Ipotesi:

• f continua nell’intervallo chiuso e limitato a,b

• f derivabile nell’intervallo aperto e limitato a,b

• eguaglianza delle immagini estreme dell’intervallo f(a)=f(b)

allora [,

∃ ] ′ = 0

Dimostrazione

Per il teorema di Weierstrass sappiamo che esiste almeno un minimo ed un massimo. Se la

funzione è costante allora il min =max. Se la funzione non è costante, avrà almeno un minimo. Se

la funzione non è costante, avrà almeno un minimo e un massimo e almeno uno di questi punti è

all’interno dell’intervallo compreso tra il minimo e il massimo. Se consideriamo il punto c, interno

all’intervallo ed il punto in cui f(c) è derivabile, è possibile calcolare il rapporto incrementale. Così

avremo: ′ = ′ () = ′

− +

( + ℎ) − ()

()

′ =

− ℎ

−

ℎ→0 ( + ℎ) − ()

()

′ =

+ ℎ

+

ℎ→0

Se assumiamo f(c) come il massimo, qualsiasi valore noi consideriamo sarà inferiore a f(c), anche

f(c+h). Quindi ( + ℎ) − () < 0.

Se h è un valore minore di 0, la derivata sinistra sarà un rapporto incrementale in cui il

numeratore è negativo e il denominatore è negativo, quindi la derivata sinistra sarà positiva;

diversamente accade per la derivata destra che è negativa. L’unico punto in cui le due derivate si

eguagliano è proprio 0.

Teorema di Lagrange

Se f(x) è continua in e derivabile nell’intervallo aperto e limitato, allora esiste almeno un

[, ]

punto c interno all’intervallo chiuso e limitato, tale che risulti

() − ()

′ () = −

Dimostrazione () − ()

Se poniamo e consideriamo la funzione ausiliaria

= () = () − () − ( − )

−

vediamo che g(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato e derivabile nell’intervallo aperto e

limitato. Inoltre… () = () − () − ( − ) = 0

() − () (

() = () − () − − ) = 0

−

Applicando il teorema di Rolle, è possibile dunque affermare che nell’intervallo considerato

g(a)=g(b) e, pertanto, esiste un punto c, interno all’intervallo considerato per cui ′() = 0.

′

Calcolando la derivata prima di g(x) si ha ′ () ()

= −

′

Da cui ′ () ()

= − = 0

′

Cioè ()

=

Quindi () − ()

′ () = = −

Dal teorema di Lagrange scaturiscono 5 corollari

1. se la derivata prima di una funzione è nulla in tutti i punti dell’intervallo, la funzione è costante

2. una funzione f(x) è costante in un intervallo se, e soltanto se, ha una derivata nulla in

quell’intervallo.

3. due funzioni f(x) e g(x), derivabili nello stesso intervallo, differiscono per una costante

Dimostrazione:

Posto la derivata prima di h(x) è

ℎ() = () − () ℎ′() = ′() − ′()

Essendo allora e per il primo corollario avremo che la funzione h(x9 è

′() = ′() ℎ′() = 0

una costante. Quindi g(x) e f(x) differiscono per una costante rappresentata da h(x)

4. CRITERIO DI DERIVABILITA’. Se

• f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato

• f(x) è derivabile nell’intervallo aperto e limitato

• lim ′ () = lim ′ () =

nel punto si ha che

0 0− +

→ → 0

allora la funzione f(x) è derivabile in e risulta che

′ ( ) =

0 0

5. Se in un intervallo aperto a,b la derivata prima f ‘(x) è sempre positiva, allora la funzione è

crescente nell’intervallo chiuso a,b. Se f ‘(x) è sempre negativa, la funzione è decrescente

nell’intervallo chiuso a,b. Gli intervalli in cui la funzione cresce e decresce si chiamano intervalli

di monotonia.

Teorema di de l’Hospital

Siano f(x) e g(x) due funzioni definite nell’intervallo I di un punto a, tranne al più il punto stesso.

Se valgono le seguenti ipotesi:

• f(x) e g(x) sono continue in ed

= () = () = 0

• f(x) e g(x) sono derivabili in {}

= −

0

• ’() ≠ 0

0 ′()

• Esiste (finito o infinito) lim ′()

→

() () ′()

• Allora esiste anche il e risulta che

lim lim = lim

() () ′()

→ → →

Si allega tabella di derivazione STUDIO DI FUNZIONE

1. Teorema di Fermat

Se una funzione f(x) è derivabile in che appartiene all’intervallo aperto a,b e il punto è un

0 0

punto di minimo e massimo relativo per f(x), risulta che ′() = 0.

Dimostrazione: ( +ℎ)−( )

abbiamo definito la derivata come 0 0

ℎ

ℎ→0

Se intendiamo si ha che

= + ℎ − = ℎ

0 0

Se allora anche . Allora possiamo trasformare il limite come una funzione in x nel

ℎ → 0 →

0

modo seguente. () − ( )

0

′() = −

→ 0 0

Il nostro obiettivo è far vedere che, tenend3o ferme le ipotesi del teorema di Fermat, f ‘( )=0

0

Impostata la derivata, possiamo fare un’altra considerazione. In base al teorema della

permanenza del segno, il limite concernente la funzione della derivata avrà, in un opportuno

intorno, stesso segno della funzione. () − ( )

Se supponiamo la derivata sia maggiore di 0, cioè allora 0

′() > 0 > 0.

− 0

Per essere maggiore di zero il rapporto deve avere numeratore e denominatore concordi. Allora

si verifica che:

• )

() − ( > 0 >

0 0

• () − ( ) < 0 <

0 0

L’unica situazione in cui può essere un punto di minimo o di massimo è quella in cui la

0

derivata prima sia nulla.

2. Condizioni sufficienti per l’esistenza degli estremi relativi

Gli estremi relativi vanno ricercati nei cosiddetti punti stazionari, cioè quelli per cui ′( ) = 0.

0

Per vedere se è un punto di minimo o massimo dobbiamo prendere in considerazione l’intorno

del punto critico.

< 0 <

0

Se allora è un punto di minimo relativo

′( ) = {

0 0