Appunti completi Matematica generale

Scomposizione, semplificazione e risoluzione di limiti

Metodo di risoluzione di "infinito/infinito": Trovare il termine con l'esponente maggiore sia al numeratore che al denominatore e raccoglierlo.

Metodo di risoluzione di "zero * infinito": Riscrivere il termine che genera l'infinitesimo come un reciproco (per esempio il reciproco di n è 1/n, si può anche esprimere mediante le potenze con n che è uguale a n, quindi n = 1/n) in modo da condursi alla forma di indecisione "zero/zero" o "infinito/infinito".

Metodo di risoluzione "+infinito -infinito": Raccogliere il termine con l'esponente maggiore, nel caso in cui gli esponenti dovessero essere "uguali" si procede con la razionalizzazione (ossia quando si moltiplica la funzione per una stessa quantità sia al numeratore che al denominatore però cambiata di segno, per...

f(x) + ^-f(x)/_-f(x) )LE DERIVATEla derivata di una funzione reale di variabile reale f(x) nel punto x è definita come il limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento h, sotto l'ipotesi che tale limite esista e sia finito.Il rapporto incrementale di una funzione reale di variabile reale f(x) è un numero che, intuitivamente, misura "quanto velocemente" una funzione cresce o decresce al variare della coordinata indipendente attorno a un dato punto.Sia E appartenente a R un intervallo non vuoto e f:E in R una funzione reale nella variabile reale x; si definisce incremento della funzione (o della variabile dipendente) attorno al punto di ascissa x in E la quantità Δf(x):=f(x +h)-f(x), per una fissata quantità h diversa da zero (e tale che x +h in E); si definisce incremento della variabile indipendente la corrispettiva quantità Δx:=x +h-x =h. Si definisce quindi rapporto incrementale.

Il teorema di Rolle afferma che se una funzione f(x):

• ● è continua nell'intervallo chiuso [a, b]
• ● è derivabile nell'intervallo aperto (a, b)
• ● se f(a) = f(b)

Allora esiste almeno un punto x appartenente all'intervallo aperto (a, b) in cui la derivata prima f'(x) si annulla.

Il teorema di Lagrange afferma che se una funzione f(x):

• ● è continua in [a, b]
• ● è derivabile in (a, b)

Allora esiste almeno un punto x appartenente a (a, b) per cui:

f'(x) = 0

Il teorema afferma che esiste almeno un punto del grafico della funzione (x, f(x)) in cui la retta tangente ha coefficiente angolare uguale alla retta secante passante per i punti (a, f(a)) e (b, f(b)).

Questo teorema è una generalizzazione del precedente in quanto analizza il caso in cui f(a) è diverso da f(b). Se invece f(a) = f(b), si ricade nel teorema di Rolle.

Il teorema di Cauchy afferma che se le funzioni f(x) e g(x):

• ● sono continue in [a, b]
• ● sono derivabili in (a, b)
• ● g'(x) non si annulla per ogni x in (a, b)

Esistono infinite primitive poiché differiscono per la costante c. Graficamente associa alla funzione l'area sottesa entro un dato intervallo [a,b] nel dominio. Se la funzione assume anche valori negativi, allora l'integrale può essere interpretato geometricamente come l'area orientata sottesa dal grafico della funzione. L'integrazione per sostituzione è un metodo di risoluzione degli integrali, indefiniti o definiti, quando non sono risolvibili in modo immediato. Tramite il metodo per sostituzione si definisce una variabile t per riscrivere l'integrale in una forma più semplice e risolvibile.

Si pone t=g(x)

Si pone dt=g'(x) dx oppure dx=g'(t) dt

Si calcola l'integrale rispetto alla variabile t

Si riscrive la primitiva in funzione di x

Integrazione per parti, date due funzioni f(x) e g(x) con derivata continua in un intervallo [a,b], l'integrale è risolvibile con la formula dell'integrazione

perparti.

● Somma di due funzioni:

● Prodotto di due funzioni:

● Rapporto tra due funzioni:

● Funzione composta:

● Rapporto tra due funzioni con derivata del denominatore al numeratore:

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE(TORRICELLI-BARROW)

Prima parte:

Sia f(x):

● una funzione continua ed integrabile in un intervallo [a,b]

● sia F(x) l'integrale di f(x), tale che F'(x)=f(x)

abF(x) = Integrale f(x)= f(b)-f(a)

Dal teorema fondamentale del calcolo integrale segue che l'integrale da "a" a "b" di f è una primitiva di F.

TEOREMA DELLA MEDIA INTEGRALE

Il concetto di media integrale è una generalizzazione dell'idea di media aritmetica. L'idea è quella di calcolare il valore medio assunto da una funzione f su un intervallo [a,b].

Il teorema afferma che se f:[a,b] in R è continua (quindi integrabile) allora esiste "c" in [a,b], ed esiste sempre un rettangolo che abbia l'area equivalente tale che:

+∞, allora la serie è convergente e si indica con ∑an. In caso contrario, la serie è divergente. Una serie ∑an è detta assolutamente convergente se la serie ∑|an| è convergente. Una serie ∑an è detta condizionalmente convergente se la serie ∑an è convergente, ma la serie ∑|an| è divergente. Una serie ∑an è detta alternante se i termini si alternano tra positivi e negativi. Una serie ∑an è detta convergente a zero se il limite di an per n che va a +∞ è zero. Una serie ∑an è detta armonica se i suoi termini sono della forma 1/n. Una serie ∑an è detta geometrica se i suoi termini sono della forma ar^n, dove a e r sono costanti reali. Una serie ∑an è detta telescopica se la somma dei termini si semplifica e si riduce a un numero finito di termini. Una serie ∑an è detta serie di potenze se i suoi termini sono della forma cn(x-a)^n, dove c e a sono costanti reali e x è una variabile. Una serie ∑an è detta serie di Taylor se i suoi termini sono della forma cn(x-a)^n/n!. Una serie ∑an è detta serie di Fourier se i suoi termini sono della forma cn*sin(nx) o cn*cos(nx), dove cn sono coefficienti reali e x è una variabile. Una serie ∑an è detta serie di Laurent se i suoi termini sono della forma cn/(x-a)^n, dove cn sono coefficienti reali e x è una variabile.

+infinito allora:

SERIE DI TAYLOR

La serie di Taylor di una funzione in un punto è la rappresentazione della funzione come serie di termini calcolati a partire dalle derivate della funzione stessa nel punto.

"O piccolo" ("o(x)") è l'errore che si commette approssimando f(x) con Pn(x) + o((x-x)^n) (Polinomio): f(x) = Pn(x-x) + o((x-x)^n)

La serie di Taylor di una funzione f(x) definita in un intervallo aperto (x0 - r, x0 + r) a valori reali o complessi e infinite volte derivabile è la serie di potenze:

FUNZIONE DIFFERENZIABILE

Una funzione differenziabile in un punto è una funzione che può essere approssimata a meno di un resto infinitesimo da una trasformazione lineare in un intorno abbastanza piccolo di quel punto. Affinché ciò si verifichi è necessario che tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistano, cioè se è differenziabile allora è derivabile nel punto poiché esistono e sono

Finiti i limiti dei rapporti incrementali direzionali.

TEOREMA DI TAYLOR

Il teorema di Taylor, in analisi matematica, è un teorema che fornisce una sequenza di approssimazioni di una funzione differenziabile attorno ad un dato punto mediante i polinomi di Taylor, i cui coefficienti dipendono solo dalle derivate della funzione nel punto.

Ad una funzione differenziabile in un intervallo (a,x) in R, e prolungabile con continuità agli estremi, si può applicare il teorema di Lagrange:

dove "E" in (a,x).

Da questa si ottiene:

che è un caso particolare della formula di Taylor con il resto di Lagrange.

Il resto di Lagrange è:

(Nella seconda formula non è "R" ma è "h")

FUNZIONI A 2 VARIABILI

Una funzione reale di n variabili reali è una relazione che ad ogni n-pla ordinata di numeri reali (x , x , . . . , x ) associa uno ed un solo numero reale.

Una funzione f : A ∈ R → R si rappresenta con un grafico 3D.

Il cui dominio è un sottoinsieme del piano coordinato xy e il codominio è un sottoinsieme dell'asse z. x e y sono le variabili indipendenti, z la variabile dipendente e scriveremo la funzione nella forma z = f(x, y).

DOMINIO F. 2 VAR.

Il dominio della funzione è l'insieme delle n-ple ordinate (x , x , . . . , x ) che hanno come corrispondente un solo numero reale z; l'insieme delle immagini delle n-ple ordinate (x , x , . . . , x ) definisce il codominio della funzione.

LIMITI F. 2 VAR.

Data una funzione f : A ⊆ R → R ed un punto P2 = (x , y ) che sia di accumulazione per A, si dice che la funzione f ha per limite l per P = (x, y) che tende a P e si scrive:

DERIVATE PARZIALI

La derivata parziale è una prima generalizzazione del concetto di derivata di una funzione reale alle funzioni di più variabili. Se per le funzioni reali la derivata in un punto rappresenta la pendenza del grafico della funzione (una curva contenuta nel piano

La derivata parziale in un punto rispetto alla prima variabile di una funzione f(x,y) rappresenta la pendenza della retta tangente alla curva ottenuta intersecando il grafico di f (una superficie contenuta nello spazio R) con un piano passante per il punto parallelo al piano y=0.

Sia f : A ∈ R → R e siano x tale che ||n 0 nun punto interno di A, v un vettore di Rv||=1, (v prende allora il nome di versore) e h ∈ R − {0} un numero reale tale che x + hv ∈ A.