Appunti di lezione per il primo parziale di Matematica (matematica generale)

SCRITTA CHIUSA

FORMULA

2 PER

SCRITTA RICORRENZA

1

an

1 elencazione

bn 9,16

0 1,4

bn formulachiusa

ha

3 2 formulachiusa

3 ricorrenza

n

Che elencazione cn

3,6 48

12,24

Successioni geometriche:

ETR An

Sia , la successione è detta successione o progressione geometrica di ragione q.

Ao q

q 3

An di

12

an

2

esempio 3,6 2

ragione

DO

An

La successione geometrica può sempre essere scritta in forma ricorsiva nel modo

9

a

seguente: a Qn

An 1 9

NB: se ao=1 la successione geometrica non è altro che la successione delle potenze di q.

Successioni monotone: En

EN

An

Ante

Una successione si dice monotona strettamente crescente se IN

An

An

Ant E

Una successione si dice monotona strettamente decrescente se 1C

la è

an

esempio ao

successione con q

geometrica

stretti cresente

1 1

se a

stretti

decrescente 1

a se o

o

monotona 1

3 NON no

se 9

Le proprietà di una successione: an

Si chiamano proprietà asintotiche di una successione le proprietà possedute dalla successione

NEIN an

almeno da un certo in poi. In tal caso diremo che la successione possiede tale proprietà

definitivamente. LI

la termini Infatti

definitivamentepositivi

successione an

esempio e a

E

E tra

3 N

An 0

1 an 4

o

Successioni convergenti e limiti: E

an 0

Una successione si dice convergente al numero reale l se per ogni la distanza di an da l è

L definitivamente

E

definitivamente minore di E se an

ovvero E 3 1

I an

la an 0

1 ovvero verso

esempio successione converge

an

Se una successione converge verso l (numero reale) diremo che il limite per n —> della

o

l

An L

successione è l e scriveremo che oppure che limen

anzi cioè

L l

dice

An

• quando definitivamente che

si an a

eccesso

e per

converge

si

an piagne

El cioè

L an perdifetto

An dice l

• quando definitivamente che

si an a

e converge

si

an piagne

1) INFINITESIMO: una successione che converge a zero si chiama infinitesimo o si dice che è

infinitesima. IL

E È

sonoinfinitesimi

esempio E ftp.EEO

Controllo, come esempio, che è un infinitesimo cioè

ciò la

affinche E

o

avvenga n

I 1 E

an ha na

1 dunque

direche

ciò E

vuol e

E na 11h2

è lo E

11 è

E anche na

positivo e SEMPRE

dunque

è VIE

1

1 na

E n

na E la

ME N

Ne direche

intero vale

e

o

1 N Z

prendendo per

positivo possiamo n

linfa

cioèvale verificato

definitivamente Pertanto è

o

Successioni divergenti:

an

Una successione si dice divergente a se per ogni numero reale M > 0 si ha, definitivamente,

a

an > M. an

Una successione si dice divergente a se per ogni M > 0 si ha, definitivamente, an < -M.

a

An to

In questi casi si scrive: an o

s a

o

Eagan neiman

n'è

la successione an infatti

0 an

a 0,1

esempio divergente 8,27

M

An

1

Come esempio dimostriamo che 0

linea FM

M

43

2 cioe n FM

si il

se primointero

3 M

considera positivo

definitivamente

allora vale

o

linea

2) INFINITI: Quando una successione è divergente si dice che è un infinito.

an

an ns

na

esempio In

NB: il reciproco di un infinito è un infinitesimo e viceversa: QU INFINITESIMO

INFINITO In

QN INFINITO

INFINITESIMO

Le successioni irregolari:

Una successione si dice irregolare se non converge né diverge. In tal caso diciamo che non

an

Etan

esiste sembra

h divergere

e irregolareperche

1

An 1

esempio i valori

i 1

positivi per

e quelli

a

per 1

I a

negativi

Ricavare il carattere di una successione significa stabilire se tale successione é convergente,

divergente o irregolare.

Carattere di un successone geometrica:

An IR

Qo

Sia E Allora

con

successione

una 0

9 geometrica

0 lo

è 1

1 An se

a

CONVERGENTE ÈFFINI

An è Qo

2 CONVERGENTE a se a

An è

3 1

o se

a g

DIVERGENTE

An 1

4 se 0

IRREGOLARE

e il

Determinare delle

esempio carattere successioni

seguenti cnn.sen.cn

3

II

emateth

1

2 I a

o

Empi o

diverge

n

sin sin

è valori

i

3 verso

leggi n positivi

verso o o per

va per

irregolare e

NONESISTE

negativi

quelli

26110

appunti

recupero IL TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE:

EIRE

Se esiste il limite di una funzione per x -> c, con c finito o infinito , allora tale limite è unico.

Dimostrazione per assurdo:

• suppongo, per assurdo, che esistano due valori del limite per x -> c:

IR

l

L

L l E il

l l

ftp.f e

è

x con

x

e a

se

e analogo

lemcf ragionamento

• in tal caso esistono due successioni , entrambe convergenti a c, tale che la

e n

n

fixnl f

e

successione è convergente a e è convergente a

xi e

• tuttavia questa affermazione entra in contraddizione con la definizione di limite per cui per ogni

f Xml

successione convergente a c converga allo stesso valore limite.

n

• così è dimostrata l’unicità del limite. i

1

IL CALCOLO DEL LIMITE:

Funzioni elementari: DEI

• FUNZIONI POTENZA: con

y È

X

pari fa

O o

1 a

a e POSITIVO Emy eneja

retta lei

è

21 1 1

se 0

so a

e una

a

adimari a

a

a X

o

3 y

disporli mi

X.to

Xo fino_ 0

con

Egypt s

a Xo

pari X

a a 0 xoxo

4 legato_0

con no

leggi figo

• FUNZIONE ESPONENZIALE: a

1

1 a leggi

quando 0

leggi

o

Eeg a figo 0 leggi

1

a

o lega a

2 quando X

• FUNZIONE LOGARITMICA: i

logo

y Xo

1 di

a legato

1 con

quando tipologie

linologaX

no o

fitalagax so

Xo

0 1

a loga.to

a con

quando lfyologo.X

X 0 lei a

foga

logo

figo

• FUNZIONE GONIOMETRICA:

1 I

iii ii

i

sin il unicitàdel

Xo limite

di

1 teorema

non esiste per

limosina leggimi

conto

21 Nonesiste

X

fugga

ftp.cosx tanto I

Xo kit

con

Eixotan 0 0

listoni

Easton X Esiste

NON

Enfaton

Operazioni algebriche dei limiti:

Siamo f(x) e g(x) due funzioni definite in uno stesso intorno di un punto c appartenente a R*, eccetto al

Rt

e l

più c e valgano i limiti E

con

leaf x e x

m m

lega

e

1 x m

g

finche mal

f

2 x

x

leg q gatto

3 con

fine nè

Tutto ciò vale se non si presentano le cosiddette forme indeterminate che sono:

00

O lo

3

1 41

21 0

I

00

Aritmetica degli infiniti:

Per ogni a appartenente a R valgono le seguenti uguaglianze:

a o

a

o a

O

o 0 0

a 00 con

i dei

le le

o che

stesse

a o

a o segnisono

o volgono

regole i

normalmente numeri

per

0 ato o

o

00 con

0

00 i

e

NB: Una risposta parziale al problema dell’esistenza del limite è il seguente risultato:

IR

SIR

A

f

sia

Proposizione= funzione

una Io

Se f è una funzione strettamente monotona su A, esiste il limite e

x c

con

fuga

ESEMPI di calcolo del limite:

Inaf 0

est

a legato

1 È II a

2 lega

Emo è

singole o

3 legging a

NB: Il calcolo dei limiti è particolarmente utile per x che tende ai valori che sono punti di frontiera/

estremi del dominio. In particolare, in tali punti, può succedere che la funzione presenti degli

ASINTOTI (cioè rette che rispetto al grafico della funzione sono infinitamente vicine ma senza mai

raggiungerlo). ASINTOTI VERTICALI E ORIZZONTALI:

Asintoti verticali: IR

AGIR

F

Sia definita in un intorno di xo appartenente ad A, eccetto al più in xo. Se fix o

Emy

Xo

allora la retta (retta verticale) è detta asintoto verticale per il grafico di f(x) per il grafico di f in

xo. V72

X 0

FCX f D i

2 2

0

esempio l'asintoto verticale

X

figlia I 2

o

NB: eventuali asintoti verticali si ricercano nei punti in cui f(x) non è definita.

Asintoto orizzontale:

IR

AGIR

F

Sia una funzione. Diciamo che f ammette come asintoto verticale la reta y=k per x -> Io

KEIR

K

se Con

FIX

lem 2

2 2

D 470

I X 22032

f 2 0

0

X

esempio µ È

Xl O Orizzontale

O ASINTOTO

y

Emhoff I E Orizzontale

ASINTOTO

y

_E

legafCX

1) IL TEOREMA DEL CONFRONTO:

Può essere enunciato in due modi equivalenti:

IR IR

• Siano tale che f(x) g(x) in un intorno I del punto x=c. Allora

f E fix E

i x

g legge

Emc

NB: posso leggere l’enunciato anche nel senso inverso f X x

29 Eh

FINE

• TEOREMA DEI CARABINIERI: Siano f, g, h tali che in un intorno I del

P IR 9

punto x=c. Se esistono i limiti per x—> c di f(x) e g(x), esiste il limite di h per x —> c e

faecxteneghellenchixtel

allora i

2) IL TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO:

IR IR ZO

Sia f: è sia in un intorno I del punto x=c. Allora se esiste il limite di f(x) per x —> c, sia

FCX

fix 70

ha: Emc LE FORME DI INDECISIONE: GERARCHIA DEGLI INFINITI

di

Forma indecisione o 0

Supponiamo che f e g siano funzioni infinite (con qualsiasi segno) per (o per x—> c) e

a

a

consideriamo il limite per x —> di f/g.

Ho quattro possibilità: infinito di trascurabile

x o è rispett

è

fax

1 ordine

x a e

x x

g superiore g g

legale f o

a X per

infinito di trascurabile rispet

f

è è

f