Appunti: Teoria di Matematica Generale

Formula di Taylor

Una funzione f(x) si può approssimare nel punto x₀ mediante un polinomio così definito:

P_k(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + ¹/_2! f''(x₀)(x-x₀)² + ¹/_3! f^'''(x₀)(x-x₀)³ + ... + ¹/_k! f^k(x₀)(x-x₀)^k

Con il caso in cui il punto x₀ coincida con l'origine: Formula di McLaurin

f(x) = f(0) + f'(0)x + ¹/_2! f''(0)x² + ¹/_3! f^'''(0)x³ + ... + ¹/_k! f^k(0)x^k

Massimo e minimo di un insieme

Dato un insieme X⊆ℝ un numero reale M si dice:

• Massimo di X M=max X se M∈X X≤M ∀x∈X
• Minimo di X M=min X se M∈X x≥M ∀x∈X

Maggiorante e minorante

Dato un insieme X⊆ℝ, un numero reale K si dice:

• Maggiorante di X K≥x ∀x∈X
• Minorante di X K≤x ∀x∈X

Insiemi limitati

Un insieme X⊆ℝ, non vuoto si dice:

• Limitato superiormente se ammette almeno un maggiorante
• Limitato inferiormente se ammette almeno un minorante
• Limitato se risulta sia superiormente che inferiormente limitato
• Illimitato se non è limitato

Estremo superiore e estremo inferiore

Dato un insieme X⊆ℝ, non vuoto, un numero reale

S si dice estremo superiore S=sup X se è il minimo dei maggioranti

Se X non è limitato superiormente si pone S=+∞

I si dice estremo inferiore S=inf X se è il massimo dei minoranti

Se X non è limitato inferiormente si pone S=-∞

Teorema

X⊆ℝ

• Se X è superiormente limitato allora ammette estremo superiore
• " inferiormente " " estremo inferiore

INTORNO AD UN NUMERO REALE

Dato un numero reale x₀, si definisce intorno circolare x₀ di raggio δ, con δ > 0 l'intervallo aperto, indicato con I_δ(x₀) di estremi x₀−δ e x₀+δ

I_δ(x₀) = (x₀−δ; x₀+δ)

→ Intorno sinistro I^s_δ di raggio δ, δ ∈ IR, indicato con I^s(x₀), l'intervallo aperto a sinistro e chiuso a destra di estremi x₀−δ e x₀

I^s_δ(x₀) = (x₀−δ; x₀]

→ Intorno destro di I^d_δ di raggio δ, indicato con I^d(x₀), l'intervallo aperto a destra e chiuso a sinistra di estremi x₀, x₀+δ

I^d_δ(x₀) = [x₀, x₀+δ)

→ Intorno di a qualsiasi intervallo aperto affiancato a sinistra (−∞; a)

→ " " " della " " destra (a; +∞)

PUNTI ESTERNI, INTERNI, DI FRONTIERA

Dato un insieme X ⊆ IR, un punto x₀ ∈ IR si dice

• PUNTO INTERNO ad X, se appartiene ad X ed esiste un suo intorno contenuto in X x₀ ∈ X ∃δ > 0: I_δ(x₀) ⊆ X (l'insieme dei punti interni di X si dice interno di X (o parte interna) e si indica con X^°)
• PUNTO ESTERNO ad X, se non appartiene a X ed esiste un suo intorno contenuto nel complementare x₀ ∉ X ∃δ > 0: I_δ(x₀) ⊆ X^c
• PUNTO DI FRONTIERA di X se qualunque suo intorno contiene sia punti di X che punti del suo complementare ∀δ > 0: I_δ(x₀) ∩ X ≠ ∅ I_δ(x₀) ∩ X^c ≠ ∅ (l'insieme dei punti di frontiera prende il nome di frontiera di X e si indica con ∂X)
• PUNTO DI ACCUMULAZIONE per X se ad ogni intorno di x₀ appartiene all...ume ul...vell'uoto di X diversi da x₀ ∀δ > 0: X ∩ I_δ(x₀)\{x₀}≠ ∅ ...»
• PUNTO ISOLATO di X se x₀ ∈ X ed esiste allivou uu suo intorno √ui non appartengono editri ell'uvetti di X ∃δ > 0: X ∩ I_δ(x₀) = \{x₀\em>

Un insieme è chiuso se e solo se contiene le sja fontiera

Funzione inversa/invertibile

Una funzione ^f: X → R, X ⊆ R si dice invertibile sse e solo se è iniettiva

f^-1 = { (y, x) ∈ R: y = f(x), x = f^-1(y) }

• Funzione positiva f > 0
• Funzione non negativa f ≥ 0
• Funzione negativa f < 0
• Funzione non positiva f ≤ 0

Funzioni superiormente/inferiormente limitate

^f: X → R, X ⊆ R è superiormente/inferiormente limitata ossia esiste una costante K ∈ R tale che:

• f(x) ≤ K ∀ x ∈ X → (sup)
• f(x) ≥ K ∀ x ∈ X → (inf)

È limitata se è sia superiormente che inferiormente limitata

Estremo superiore e massimo / Estremo inferiore e minimo

• Un numero reale S si dice estremo superiore di una funzione ^f: X → R, X ⊆ R se esso risulta estremo superiore dell'insieme immagine f(X), se f è superiormente limitata si pone S = +∞
• Se S ∈ g(X), cioè se esiste un _x0 ∈ X tale che f(x₀) = S, allora S si dice massimo di f e viceversa per minimo

Massimi e minimi relativi

Sia ^f: X → R, X ⊆ R. Un punto x₀ di X si dice:

• massimo relativo:
  • debole (o improprio) → se esiste un suo intorno I_s(x₀) tale che f(x) ≥ f(x₀) ∀ x ∈ X ∩ I_s(x₀)
  • forte (o proprio) → se esiste un suo intorno I_s(x₀) tale che f(x) > f(x₀) ∀ x ∈ X ∩ I_s(x₀) \ {x₀}
• minimo relativo:
  • debole (o improprio) → se esiste un suo intorno I_s(x₀) tale che f(x) ≤ f(x₀) ∀ x ∈ X ∩ I_s(x₀)
  • forte (o proprio) → se esiste un suo intorno I_s(x₀) tale che f(x) < f(x₀) ∀ x ∈ X ∩ I_s(x₀) \ {x₀}

Se le disuguaglianze sono verificate in tutti i punti del dominio si parlerà di punti di massimo/minimo assoluto

CONTINUITÀ

Una funzione f: X ⊆ R → R si dice continua

• da destra in x₀ ∈ X ∩ X' ⇔ lim_{x → x0⁺} f(x) = f(x₀)

• da sinistra in x₀ ∈ X ∩ X' ⇔ lim_{x → x0^-} f(x) = f(x₀)

• Se x₀ ∈ X allora f si dice continua se è continua sia da destra che da sinistra.

• Se x₀ ∈ ∂X punto isolato allora f si definisce continua.

• Se f: X → R, X ⊆ R è continua ∀ x ∈ X, allora si dice continua sul insieme X

• Sia f: X → R, X ⊆ R e x₀ ∈ X ∩ X': x₀ si dice punto di:

DISCONTINUITÀ ELIMINABILE

• esiste lim_{x → x0} f(x) ma f(x) non è definita in x₀

• esiste lim_{x → x0} f(x) ma è diverso da f(x₀)

SIMBOLI

• { lim_{x → x0⁺} f(x) = lim_{x → x0^-} f(x) = k }
• f(x) ∉ Κ

PUNTO DI SALTO O PRIMA SPECIE

• lim_{x → x0⁺} f(x) ≠ lim_{x → x0^-} f(x) e sono finiti

SIMBOLI

• lim_{x → x0⁺} f(x) = k₁ lim_{x → x0^-} f(x) = k₂
• lim_{x → x0⁺} f(x) ≠ lim_{x → x0^-} f(x)

SECONDA SPECIE

almeno uno dei due limiti destro/sinistro non esiste o è infinito

PROLUNGAMENTO CONTINUO

Sia f: X → R, X ⊆ R una funzione continua e x₀ ∈ ∂X, X₀ ∉ X

Se lim_{x → x0} f(x) = l allora f può essere prolungata

      {f(x)    x ≠ x₀ f^˜(x) = {

      { x = x₀

La funzione f^˜ si dice prolungamento continuo di f