Appunti di Geometria e algebra lineare fino al primo parziale

Definizione: relazione

Una relazione (binaria) dall’insieme A all’insieme B è un qualsiasi sottoinsieme del prodotto

cartesiano A × B. 2

Una relazione sull’insieme A è un (qualsiasi) sottoinsieme del prodotto cartesiano A =A×A.

Relazione = Faccio il prodotto cartesiano, poi prendo un sottoinsieme qualsiasi, quel sottoinsieme è

una relazione.

Una relazione binaria dall’insieme A all’insieme B collega alcuni elementi di A con alcuni elementi di

B e non sempre lo fa seguendo una regola ben precisa.

A noi interessano principalmente le relazioni che sono sottoinsiemi del prodotto cartesiano di un

insieme per sé stesso.

Possiamo pensare anche ad una relazione vuota (sottoinsieme vuoto) e una relazione totale

(sottoinsieme che comprende tutti gli elementi del prodotto cartesiano).

Definizione: relazione di equivalenza

Una relazione su un insieme X (ovvero sul prodotto cartesiano X x X) è di equivalenza se ha le

seguenti proprietà (∼ indica semplicemente la relazione):

• Riflessività: per ogni x X: x x;

∈ ∼

• Simmetria: per ogni x, y X, se x y, allora y x; simmetria in generale significa che se xRy

∈ ∼ ∼

allora yRx (ad esempio nella relazione di <, non vale la simmetria);

• Transitività: per ogni x, y, z X, se x y e y z, allora x z; in generale transitività significa

∈ ∼ ∼ ∼

che se xRy e yRz allora xRz.

Un esempio di relazione di equivalenza è l’uguaglianza (anche detta identità).

Un altro esempio di relazione di equivalenza è il parallelismo e ora vediamo il perché.

Consideriamo la relazione di parallelismo.

L’insieme A è l’insieme delle rette sul piano. Considero le rette r, s e t. rRs quando r//s.

Questa relazione ha le seguenti proprietà:

• Ogni retta è parallela a sé stessa, quindi la relazione è riflessiva;

• Se r//s, allora s//r, la relazione è simmetrica;

• Se r//s e s//t allora s//t, quindi anche transitiva.

La relazione di parallelismo, ovvero la direzione, è una relazione di equivalenza dato che possiede

le 3 proprietà delle relazioni di equivalenza: riflessività, simmetria e transitività.

Definizione: classi di equivalenza e insieme quoziente

Data una relazione di equivalenza su un insieme (non vuoto) X, si definisce la classe di equivalenza

∼

di un elemento x X come l’insieme

∈

[x] = {y X | y x}

∈ ∼

Classe di equivalenza = insieme di tutti gli elementi dell’insieme legati dalla relazione di equivalenza.

Ogni classe di equivalenza non può essere vuota ed è disgiunta e separata dalle altre, quindi un

elemento non può appartenere a più classi di equivalenza.

Osserviamo che ogni elemento di X sta in una ed una sola classe di equivalenza e ricordiamo che

una partizione {U } di un insieme X è una famiglia di sottoinsiemi non vuoti U di X tale che ogni

i i I i

∈

elemento di X sta in uno ed un solo sottoinsieme della famiglia.

In pratica, per suddividere l’insieme di partenza X in classi di equivalenza, io eseguo una partizione,

ovvero una divisione.

Una partizione è una collezione di sottoinsiemi U1, U2, …, Un tali che

• U sia diverso dal vuoto per ogni i

i

• U intersecato U sia diverso dal vuoto per ogni i e j

i j

• U1 unito U2 …. Unito Un = A

Ogni classe di equivalenza è una partizione.

Infine, si parla di insieme quoziente: insieme formato da un rappresentante per ogni classe di

equivalenza.

Le classi di equivalenza sono molto evidenti nell’esempio della relazione di equivalenza di

parallelismo.

Prendo la retta r e tutte le rette parallele a r. Lo stesso per le altre rette.

Costruisco sottoinsiemi non vuoti, disgiunti, tutti separati. Con la relazione di equivalenza, ho

suddiviso le rette in base al parallelismo e quindi alla direzione delle rette.

Ho costruito delle classi di equivalenza.

Una volta individuata una relazione di equivalenza, ho suddiviso l’insieme in classi, in modo tale che

i sottoinsiemi siano non vuoti, disgiunti, tutti separati.

Esempi di relazioni di equivalenza e classi di equivalenza:

Il primo esempio di classe di equivalenza è ogni frazione dell’insieme Q.

A insieme delle coppie ordinate di numeri naturali con il secondo diverso da zero A=Nx(N –{0})

Definiamo su A la relazione R: m/n R a/b quando mb=an (il che significa che la relazione è vera

quando m/n è uguale a a/b).

Per questo Q è un insieme formato da classi di equivalenza, è quindi un insieme quoziente: uno

stesso numero razionale può essere rappresentato tramite una classe di equivalenza formata da

molte frazioni che hanno lo stesso risultato.

La congruenza è un’altra relazione di equivalenza che costruiamo su due segmenti nel piano o nello

spazio.

Due segmenti sono congruenti quando esiste un movimento rigido (traslazione + rotazione) che

porta gli estremi di uno a coincidere con gli estremi dell’altro.

La relazione di congruenza è una relazione di equivalenza; una classe di equivalenza è una lunghezza.

Dalle relazioni di equivalenza nascono i vettori

Quando si parla di vettori, si intende l’insieme di tutti i segmenti orientati, legati tra loro dalla

relazione di equipollenza.

La relazione di equipollenza è una relazione di equivalenza e dice che due segmenti orientati AB e

A’B’ possono essere sovrapposti tramite un movimento rigido (traslazione e rotazione). La classe di

equivalenza della relazione di equipollenza è il vettore.

La differenza tra equipollenza e congruenza è solo che la prima tiene conto in più del verso.

Ì

può indicato

Un vettore (

essere I )

☒

a grassetto

con o .

.

AI →

B orientato

I AB segmento

= > il vettore

Ì

può indicato

Un vettore (

essere I )

☒

a grassetto

con o .

.

A

AI →

B orientato

I AB segmento

= >

La somma di vettori geometrici si può fare col metodo del parallelogramma o il metodo punta coda.

il vettore

del

metodo cada

metodo

parallelogramma punta

A

7 -

-

-

-

i

I I

u.ie ,

I '

del

metodo cada

metodo

parallelogramma 7

punta

ì

> I "

7 I è

-

-

-

-

i

I I

u.ie I

,

I ' 7

ì

> I "

I è

I

( ) )

± f-

a-

± 1 K

+ + = +

+

( ) )

± f-

a- ±

± 1 K >

+ + ±

= +

+

I → ± t.tw

,

± >

m

e ±

a ± →

I →

+ ±

e t.tw (1+1)

,

m

e

a +

± a-

→

e)

+

e + (1+1)

+

a-

( +

a-

e) +

+ A

AI →

B orientato

I AB segmento

= > il vettore

del

metodo cada

metodo

parallelogramma punta

7 A -

-

-

-

i

I I

u.ie ,

I '

Proprietà della somma di vettori: 7

ì

> del

metodo cada

metodo

parallelogramma punta

I "

I

• Proprietà associativa: (u + v) + w = u + (v + w) è

7 I -

-

-

-

i

I I

u.ie ,

I ' 7

ì

>

( ) )

± f- I "

a-

± 1 K

I + + = +

+ è

I ± > ±

I → ± t.tw

,

m

e

a ± →

+

e (1+1)

( ) )

± +

f-

a-

± Wall

1 a-

K

e)

+ + = +

+ +

+

a-

( ± > ±

stesso risultato

I → ± t.tw

,

m

e

a ± →

+

e (1+1)

+

Wall a-

I e)

I 1+1

+

+ +

a-

(

• =

Proprietà commutativa: u + v = v + u

I 7 stesso risultato ti M

I stesso risultato

+

n v. ±

+1

e a ,

I I 1+1

+ = e

I 7 ti M

I stesso risultato

+

n v. ±

+1

e a ,

tu e Ì

può indicato

t 0 Un

> vettore

stesso verso (

essere I )

☒

• a grassetto

con o .

.

t < apposto

o verso

• La somma di vettori geometrici ammette un elemento neutro, ovvero la classe

• È

tu AI →

B orientato

I AB segmento

±

=

rappresentata dal segmento orientato nullo 0, ovvero il segmento orientato con estremità

> il vettore

t

coincidenti. 0

> stesso verso

• t < apposto

o

L’elemento neutro è importante perché ci permette di trovare l’opposto, ovvero l’opposto

verso

• È

A

di un vettore è il vettore che sommato al primo mi da come risultato 0.

±

• Ogni vettore u ha come opposto il vettore -u che ha la stessa direzione di u, la stessa

del

metodo cada

metodo

parallelogramma punta

lunghezza, ma verso opposto.

7 -

-

-

-

i

I I

u.ie ,

I ' 7

ì

>

Sui vettori geometrici c’è anche un’altra operazione, ovvero la moltiplicazione per un numero reale.

I "

I è

Dato un vettore non nullo u e uno scalare (cioè un numero reale) non nullo t, si definisce il prodotto

I

esterno (o prodotto di un vettore per uno scalare) il vettore

tu

( ) )

± f-

a-

± 1 K

+ + = +

+

che ha come lunghezza la lunghezza di u moltiplicata per |t| (modulo di t), la stessa direzione di u,

± > ±

lo stesso verso di u se t>0, verso opposto a quello di u se t<0. Si pone infine t0=0 per ogni scalare t

I → ± t.tw

,

m

e

a

(e vettore nullo) e 0u = 0 per ogni vettore u (scalare t nullo).

± →

+

e (1+1)

+

Wall a-

e) +

+

a-

(

Si prova facilmente che, per ogni vettore u e s, t R, risulta:

∈

stesso risultato

• 1u = u; I I 1+1

+

• s(tu) = (st)u =

Inoltre, per ogni u, v e s, t R , valgono le proprietà distributive:

∈ I 7 ti M

I stesso risultato

+

n v.

• t(u + v) = tu + tv; ±

+1

e a ,

• (s + t)u = su + tu. e

tu

t 0

> stesso verso

• t < apposto

o verso

• È ±

2319

Lezione di

equivalenza equipollenza

di

di

relazione alla

è base vettore

del

la concetto .

è orientato

Il segmento

vettore un .

equipollente

vettori

Due quando hanno

li quando

rigido

movimento

sono ovvero

posso con

sovrapporre un ,

direzione

lunghezza

)

uguale (

intensità verso

e

, .

Noi studieranno vettoriali formati solo

Non da geometrici

vettori

spazi saranno .

.

vettoriale

spazio di

uno consiste :

✓

-

- punti

ho corrispondenza vettoriale

del

fisso

se piano biunivoca lo

tra piano

i

punto spazio

nel una e

un .

, ad

P

prendo corrisponde orientato

prurito qualsiasi il

se 1

segmento

esso

un , .

ogni corrisponde

Ad solo

punto e vettore

uno un .

corrisponde solo

Ad vettore punto

ogni e

uno un .

.

o '

del

Punti piano origine

è

del piano

geometrici

vettori girata

dove un'

e

può

Ma identificato

ogni punto di continuate

numeri

coppia le

ordinata introduco

essere con se

:

una →

. di

sistema

un

^ P riferimento

Yp >

.

.

.

- . _

_

.

_ . i

± ( E

) coordinate del

Punti

p = piano

del

; yp

xp , punto

ti

geometrico

vettore

Xp che dall' origine

va

punto

al

Punti

-7 sistema

di

del di riferimento

dotato

vettori geometrici piano piano

del AI ÓP diversi segmenti orientati

e sono

B ,

>

I stesso

lo vettore

ma sono .

Q

.

_

p

1 7

a Ù F- ( )

PI

I YP

P

corrisponde XP

Al vettore punto

il ,

.

e È (

E

I )

Q

corrisponde I

Al Q YQ

✗

il punto

vettore a ,

.

o

2- ^ si

è

ascisse nello spazio uguale ma

✗ ,

. ordinata )

aggiunge ( la

un numero

y z

identificare il punto

2- quota per .

p

→ (

I )

P Xp ZP

yp

> ,

,

y

/

l × Versari

I :

2-

n I vettori di

3

E sono

f e

, intensità pari

lunghezza ovvero

,

1

a .

E ^ I è G. )

0,0

=

> ,

È y )

( 0,1 0

5- = ,

I )

( ^

0,0

= ,

"

× )

( d btp

at

> , b)

(

I

( a.

)

a

p p =

_ , , B)

I fa

e = ,

"

± )

(

" btp

I

uguali quindi

la d

at

sono < =

, ,

stessa

b componente

)

(

ap ×

- > vedo

lo a

L

± occhio

1

I &

a vede

si bene come uno

l'

finisce

dove altro

inizia

( )

1 btp

I ata anche

+ = , emerge

→ commutatività

la

)

( b

I pt

✗ Q

I +

+ = , metodo

stessa vede

la col del

si parallelogramma

cosa .

^ Q

→ ( )

2-

ZV yp

xp

= ,

P b)

(

I a

= ,

, b) )

(

t (

te tb

ta

a. =

= ,

>

Modulo ÉTÉ

(

I III

) 11111 generalizzato

di

il pitagora

teorema

Y Z per

×

= =

= →

,

, punti

Distanza tra 2 ÀBII

( B)

dist Il

A =

,

a)

(

A ✗ YA 2-

a ,

,

te

1

a AI ) B-

( AI

a- 1- + =

ya za

✗

= a.

A- ,

B- ( AI

B) B- a-

✗ 2-

YB

= B = -

,

,

B)

(

B 2-

YB

✗

B ,

, AI ( )

ZB Za

Ya

YB

✗ XA

= B- -

. - ,

, ÷Éj÷

'

B)

( I I

IAII a)

dist ( ✗

A 2-

2-

ya

e YB

✗ B-

= B-

a

= =

-

, , ,

art at I

E- (

E )

A- I 0,0

= o

-

= = ,

Il medio

del

posizione

vettore vale

punto

M B)

(

§

= a + ^

-2

le

I ✗ ^

±

' ± > y

( c)

I ,b

a

= , "

)

( dip ×

a- r

= ,

nell' vedo che

metto

Li moltiplicato

origine è ¥

± uguale a

e . 3) ( ) 3)

(

✗ tu 12 (

I ✗

t

3 (

I IR

± 44,6 6)

1,2

E 1,2

solo : 2,4

se

e =

se = , ,

,

b Tp t X

E

te td

a

ovvero n c

n =

= = -

, ( ( )

) 3,2

4

2,3 1

1 non

, ,

| { t

t n

^ - -

3T impossibile

2=3

2 =

y n 3=2

3 2T

=

)

(

I Xp yp

= ,

( )

P Yp

xp ,

> .

I > ×

i hanno

quando

Due vettori direzione

la

paralleli stessa

sono .

ad

nullo

vettore

Il vettore

è parallelo ogni .

un' )

( proporzionalità

( b)

( condizione

è

) eccezione rispetta la algebrica

ma

0

0,0 a. →

= , . hanno

dei

sulla

punti tutti

che

i

Tutti corrispondono

retta la stessa

vettori

a

^ ,

multipli

direzione quindi di vettore e

sono un

, .

☒

± tv R

E

t corrispondenza numeri

dei

biunivoca tra la retta

→

= reali la retta r .

e .

L ( )

X

✗ è il generico punto × y

,

I )

(

±

è posizione

il ✗ y

vettore ✗

=

,

"

8 (

I ) entrambi

✗ p I

è dep

parametri direzione

vettore

e R con

che fornisce p

sono non

× c-

a

una = p

un ,

, ,

, "

direttori nulli I è vettore direttore

detto

. . .

{

rappresentazione ( ) %)

(

Y

☒ tv ti rappresentazione

✗

vettoriale t = >

< = = parametrica

tp

y =

nello spazio {

I

( ;)

a)

✗ ✗ t

✗ IR

te

=

+

= pt

✗ =

2- Jt

2- = I direttore

vettore

? ( )

I MB

=

P ( di

P ) passaggio

yp punto

xp ,

. ✗ di

generico r

punto

r >

± PÌ

di

è

✗ 4

punto solo

r

un I

se e se È

PÌ ÀB È

te = -

=

E

I IR

te t E

=

- I P

TI direzione 1

la

I del

della

vettoriale vettore

equazione per

+ retta con

→

=

(f) ) (G)

( Tp R

t + vettoriale

c- equazione

=