Appunti di Geometria e algebra lineare

GEOMETRIA

Periodo: dal 12-09-22 al 16-12-22CFU: 6

Schema del Corso

I vettori sono frecce. In fisica, sono una quantità che va specificata come direzione, verso e modulo. Anche una funzione può essere un vettore.

L'insieme dei vettori viene chiamato spazio vettoriale. Sono una struttura fondamentale che viene applicata in tantissime sezioni.

Le matrici sono delle tabelle organizzate per righe e colonne, ogni punto è individuato dalle coordinate sulla riga e sulla colonna. Le tabelle possono essere dei numeri o dati di altra natura.

In questa sezione si fa la teoria dei sistemi lineari. L'algebra lineare si chiama così perché si studiano equazioni di primo grado.

La tecnica risolutiva standard dei sistemi lineari è legata alle matrici e agli spazi vettoriali.

Dalla algebra lineare, si passa alla geometria analitica: significa approssimare entità geometriche con equazioni. Si lavorerà con R3 nello spazio e una retta nei piani.

Parleremo anche di applicazioni lineari: applicazioni che si addizionano tra spazi vettoriali. Gli spazi vettoriali sono spazi di stelle (insiememme frecce). Le applicazioni lineari sono funzioni da uno spazio vettoriale a un altro. Sono lineari perché devono preservare le caratteristiche di uno spazio vettoriale. Le applicazioni lineari si muovono tra spazi di vettori.

Diagonalizzazione: Ogni applicazione lineare sotto opportuna costruzione si può rappresentare con una matrice. In certi casi particolari si va a cercare quando la matrice è diagonale, cioè quando abbiamo una tabella con tutto 0 tranne gli elementi della diagonale.

Nelle applicazioni pratiche, questo coincide con il punto di risonanza di una struttura.

Cone su coniche e quadriche. Coniche: ellisse, circonferenza, parabola e iperbole, curve piane che si rappresentano con un'equazione di secondo grado. Nascono dall'intersezione di un cono con un piano.

Quadriche: analogo delle coniche nello spazio come sfera o ellissoide.

λ (numero generico appartenente ad R)

Rp: (λxp, λyp, λzp)

R = (3,2)

λ = -2

-2R = (-6, -4)

λ = 2

2R = (6,4)

Punti allineati

2R e -2R sono simmetrici rispetto all'origine

La moltiplicazione produce un nuovo punto che è simmetrico con R rispetto all'origine

Somma di 2 punti: trovare un quarto punto che definisce il vertice del parallelogramma

Vettore: differenza di 2 punti di cui conosciamo gli estremi

Vettore applicato AB: segmento orientato con primo estremo A (punto di applicazione) e secondo estremo B (punto finale)

È importante sapere chi è il primo estremo e chi il secondo

Coordinate: B-A dà le componenti del campo

La rappresentazione con la freccia indica tutte le caratteristiche che ci servono del vettore (direzione, verso, modulo, punti)

A = (2, 3)

B = (4, 7)

C - A = -2(B - A)

C - A = -2B + 2A

C = 3A - 2B

C = (6, 9) - (8, 14) = (-2, -5)

N.B. per trovare un punto medio (M) di un vettore ABbisogna fare M - A = B - M

Basi di uno spazio vettoriale

(1, 0) = i

(0, 1) = j

{i, j} → base canonica del piano

1) sono versori (vettori con lunghezza 1)

2) i e j sono ortogonali

Descrizione di un vettore rispetto alla base canonica

P = (2, 3)

OP = 2i + 3j

OP² diagonale del rettangolo

2P =

P - \[xp\], \[yp\]

Q - \[xq\], \[yq\]

{i,j,k} versori ortogonali{i,j} sono una base ortogonale, ma solo i e j sono una base canonica

(b.c. nello spazio)

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

OP² = \[xp\]² + \[yp\]² + 2P²

V_w=2+3     ||||||²=4+4=17       7=14+     2+3+14

||||||²     17          17         17

Es. Dati =3−2+, =−2+3−2

v_e non ortogonali

v non ortogonali a con modulo √2

VETTORI ORTOGONALI INFINITI (vettor ortogonal al piano che partono da 0 e che

formo cono secondo estremo un punto della retta 1 al piano)

cercando quelli con modulo √2 ne trovo 2 opposti

 =++  ||||||=√2

0  ||||||⋅=0

⋅=3−2+

0  ⋅

⋅=−2+3−2

0

,,,

{c=3+2

{b=4c

{3−2=0

{4−−=0 =4

ABBIAMO ∞^∞ SOLUZIONI CHE DIPENDONO TUTTE DALLA SCELTA DI

=−4+5= A ( +4 +5)

L coefficiente libero di variare sullo R

||||||²=² [1+4+16+25]=-42²

420=   2

4

¹ = ^+/- =

²

24 4  =

=+/-[ 1 + 4² + ⁵ ]

(Si poteva tale anche con un prodotto vettoriale : si ottiene un vettore u al piano, si

prende un multiplo generico di ∧≡ ed impone che la norma sia √2)

Es. Dati , ∀ one ||||||=2, ||||||=3 ∧=^π/3^ Massim

calcolare ||3-2||

|||3-2||=|||3-2|||∪|||3-2||

|||√ [3/⁞3/]^{3−2 1−}|||3/³⁺⁴+

=|||∪−6−6−4−4

= ∪

|||∪

|||4 −₋4≡

 ^{L ∪}

35 ^12||||||||

36=2∪-36=3 + 1 + 36

√36=36+35=36−6

Es. Scomporre - 2−3+ come SOMMA di un vettore

=+3−2 ed un vettore ortogonale a v

Es. Descrivere W¹= 2i + 3j + 2k come somma di un vettore // a

a // v = i + 3j - k

U e V non //

W¹ = dv + βu = di + 3dj - dk + βi + 2βj - βk = (d + β)i + (3d + 2β)j + (d - 2 - β)k

2i + 3j + 2k

W¹

∆ + β - 2

3∆ + 2β = 1

∆ - β = 2

Non ha soluzioni

W¹ non appartiene al piano.

nel piano questo non succede legato al fatto che lo spazio ha 3 dimensioni

Vettori complanari = vettori che stanno nello stesso piano.

V, W, u complanari se

v = dw1 + βu

W = 2i + 3j - 2k

W = -3v + 5u

dopo // prodotto misto

U - (V ∧ W) = prodotto scalare simmetrico

a b c

a' b' c'

a'' b'' c''

a(b'c'' - b''c') - b(a'c'' - a''c') + c(a'b'' - b'a'')

a // v w

3 vettori sparsi nello spazio (v, u, w)

area parallelogramma

proprieta’

1) v ∧ w/u = v ∧ w/UU

2) v ∧ w ∧ u = -u ∧ v ∧ w

permutazione ciclica

+ indica l’orientazione di u rispetto

altezza parallelepipedo U ∧ (V ∧ W)

indicesc V UV indicea

v-u

V ∧ w

W

Latini (non legati)

- indica l’orientazione rispetto a v e w

W = { (x,y) ∈ ℝ² | y ≤ x }

-2V ∉ W

NON è uno spazio vettoriale

W = { (x,y) | x₂ - y₂ = 0 } = { (x-y)(x+y) = { (x,y) ∈ ℝ² / x = y ∪ x = -y }

non è uno spazio vettoriale perché se si sommano 2 vettori su 2 rette diverse si va fuori dalle rette

(-1,1) + (1,1) = (0,2) ∉ W

L'unione di spazi vettoriali NON è uno spazio vettoriale

C°(I) funzione continua in un intervallo I

C^k(I) funzione derivabile fino alla derivata k-esima sull’intervallo I

spazi vettoriali

R_n [x] = { polinomi in x di grado ≤ n }

sottospazio vettoriale

Sottospazio vettoriale: sia V= spazio vettoriale e un sottoinsieme W⊆V ≠ ∅, si dice [W ssv V] se le operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare le proprietà vanno perché valgono in V sono interne a W

∀ u,v ∈ W ⇒ u+v ∈ W

∀ λ ∈ ℝ, v ∈ W ⇒ 2w ∈ W

sottoinsieme di un ambiente più grande

cose da verificare:

1) 0 ∈ W

2) ∀ u,v ∈ W ∃ w 2λ₁v₁ + 2λ₂w₂ ∈ W

∀ 2λ₁, 2λ₂ ∈ ℝ

W chiuso rispetto alle 2 operazioni