Appunti di Geometria e algebra lineare

Name: Appunti di Geometria e algebra lineare
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Author: irmalacrimini

Revisionato il 11/07/2026

di irmalacrimini

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Appunti dettagliati del corso di Geometria e algebra lineare (anno 2022/2023) dell'Università di Firenze. Questi appunti sono stati presi a lezione e partono dai vettori fino ad arrivare …

Esame Geometria e algebra lineare

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Paoletti Raffaella

Università Università degli Studi di Firenze

A.A. 2022-2023

92 pagine

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Estratto del documento

Geometria

Periodo: dal 12-09-22 al 16-12-22

CFU: 6

Scheda del corso

(12-09-2022) I vettori sono frecce. In fisica, sono una quantità che va specificata come direzione, verso e modulo. Anche una funzione può essere un vettore. L'insieme dei vettori viene chiamato spazio vettoriale. Sono una struttura fondamentale che viene applicata in tantissime sezioni. Le matrici sono delle tabelle organizzate per righe e colonne. Ogni punto è individuato dalle coordinate sulla riga e sulla colonna. Le tabelle possono essere di numeri o dati di altra natura.

La materia di calcolo è la teoria dei sistemi lineari. L'algebra lineare si chiama così perché si risolvono con equazioni di primo grado. La tecnica risolutiva dei sistemi lineari è legata alle matrici e agli spazi vettoriali. Dall'algebra lineare si passa qua geometria analitica: significa rappresentare in geometria con equazioni. Si lavora con R3 nello spazio e con rette e piani. Parleremo anche di applicazioni lineari: applicazioni che si adottano tra spazi vettoriali.

Gli spazi vettoriali sono spazi con vettori (similmente frecce), le applicazioni lineari sono funzioni da uno spazio vettoriale all'altro. Sono lineari perché devono preservare le caratteristiche di uno spazio vettoriale. Le applicazioni lineari si muovono tra spazi di vettori.

Diagonalizzazione: ogni applicazione lineare sotto opportuna costruzione si può rappresentare con una matrice. In certi casi particolari si va a cercare quando la matrice è diagonale, cioè quando abbiamo una tabella con tutti 0 tranne gli elementi della diagonale. Nelle applicazioni pratiche, questo coincide con il punto di risonanza di una struttura.

Cenno su coniche e quadriche. Coniche: ellisse, circonferenza, parabola e iperbole, curve piane che si rappresentano con un’equazione di secondo grado. Nascono dall’intersezione di un cono con un piano. Quadriche: analogo delle coniche nello spazio, come sfera o ellissoide.

Vettori

Le rette del piano cartesiano sono ortogonali e orientate. Bisogna fissare l'unità di misura per misurare le coordinate dei punto secondo ascisse e ordinate. Misurare: confrontare 2 grandezze, quella che vogliamo misurare e l'unità di misura. I numeri che si associano ad un punto P sono l'_x e l'_y. Da P si costruiscono le parallele ai due assi, quando queste intersecano gli assi si crea _x e _y. Si va poi a misurare la lunghezza di _x e _y rispetto all'unità di misura. In questo modo si crea una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali. È importante sapere chi è il primo e chi il secondo numero.

Questa costruzione non richiede rette ortogonali. Anche in questo caso si tracciano le parallele. Parallelogramma: figura piana a 4 lati con lati opposti paralleli. La corrispondenza biunivoca funziona solo dopo aver fissato _x.

Sistema di riferimento delle coordinate polari

Le misure prese in considerazione sono diverse rispetto al piano cartesiano:

La prima è la distanza di P da un punto fisso di riferimento (longine): raggio, lunghezza di OP. Bisogna sempre avere un’unità di misura. Questa misura da sola non basta perché P potrebbe stare su tutta la circonferenza.
Posizione angolare: il verso per misurare gli angoli è antiorario. La posizione di P viene individuata in base all’angolo formato con la semiretta di riferimento 0x.
Il punto anomalo in questo sistema di riferimento è O, che ha r=0 e φ non definito.

Nello spazio si aggiunge la terza coordinata corrisponde una e una sola insieme dei punti nello spazio ordinata di numeri reali (x, y, z).

Corrispondenza biunivoca

Ad ogni elemento di un insieme corrisponde uno ed un solo elemento di un altro insieme f: A → B (legge che associa l’insieme A sull’insieme B) a → f(a) ∈ B (un elemento di A viene portato attraverso f nuova sua immagine f(a), che è un elemento di B).

f è iniettiva se partendo da 2 elementi distinti (a ≠ a'), anche le immagini sono distinte (f(a) ≠ f(a')). Cioè, 2 elementi distinti dell’insieme di partenza hanno 2 immagini distinte nell’insieme di arrivo. Iniettiva significa che non fa sovrapporre niente.

f è suriettiva se ogni elemento di B è immagine di ogni elemento di A. ∀B∈B ∃a∈A tale che B=f(a) (f suriettiva) (t.c.)

Applicazione iniettiva

Gli elementi dell'insieme A di partenza non vanno mai a finire nello stesso elemento di B. Rimangono distinti. Ci sono elementi di B che possono non essere raggiunti dalle frecce.

Applicazione suriettiva

Ogni elemento di B è raggiunto almeno da una freccia. Potrebbe essere raggiunto da più di una freccia. Iniettiva + Suriettiva - Applicaz

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