Appunti di Algebra e geometria lineare

DIM V

Ve ER)

generato Ent

ipotesi

: ta

sicame con

= , ..., ...,

,

, , , En)

(1

Se base

vettori lineamente allora e

indipendenti

insieme di

Er

· vi e una

un

..., ...,

,

, degli

Se camb lineare altri

loro

limamente indipendenti

· allora

invece di

F Er sono una e

non ,

...., Fr-1)

(V base

(

Er)

Allora Lin Lin Altrimenti

Quindi, formano

indipendenti

sono

s

= er-i ma

se .

. . . . . , ....,

...., , finito

lineamente da vettori

la di

patiti

poiché

ripetendo indip

ed minsieme

, insieme

arriviano

parto

certo riono .

un

procedura un a .

Insieme

Ogni Generatore Una

Corollario Base

Contiene

= (3) him

(2) (3) Re

Es)

Expio (2 , E

w E

Ec

: =

= 2

= =

, ,

, (Vs Va]

Ma insieme .

Er generatori

Vo smabase

vs-12 è

fundi di

e ma

un non

= , , E2]

(F

Per bare E

tra

considerare

in

attenere ed

qualunque veñori questi UNA BASE

di

sottoinsieme due

questo

na escpio

possiamo

casa un ,

, , ,

Adesso finuta la

le basi

Tutte hanno

Vediamo vettorala stessa cardinalità

V

di di dimensione

spazio

: uno

base

Infatti Una il

che piccole

di vitori cardinalità possibili

insieme più

è di

un generano

: - e

45. Er3

Una cardinalità

lineamente

base veñori independenti

· possibile

il grade

per

di

di

è ....,

insieme

un V Se

Siamo V

LEMMA1 sistema

vettorale generatori

dimo di

vettori di

Ep allena

E

to >p

spazio

= tes un

sia

e ...,

,..., .

, ,

dipudente

lineamente

Es Wa e

....,

TEOREMA Allora

V

! V

BE

Sia vettoriale generatori

di di

Va di

spazio

Fo sistema

sia te peq

una mo we

: e in

. . . . , ..., .

,

In basi sesso

lo elementi

tele

particolare nauco di

numero

,

Dato

Def base

VIO finuta la V V

elementi

vettende il di

dimensione

: qualsiasi

e di

dimensione

di numero

spazio

mo in ma

,

dimV

V

Se che

· 1 diciano

= o

=

,

Selva Fr] dimV

· base che M

V

di

è diciano =

ma

..., ,

,

TEOREM Sia V vettorale

: di

spazio dimensione m:

uno

a) V linarmente

Non in Cardinalità

insiemi inelipendenti di per

esistono vettai

di di

grande n

b) Se kam V V

però

veteri

di di

insieme tos tor generare

non

u ,...,

, base

linarmente

c) perché anche

anche

inclipadanti

vetteri generatori

necessariamente .

sono

se ma

5) base.

formano

Indip

le linear

vettori quindi

generatori sono

n ma

on .,

.

LEZIONE 18 :

Teorema

Di COMPLETAMENTO A BASE :

UNA

V dimen

Sia lincarmente Allora

di V

lettorale indipendenti vettori

vettori esisten te Ww-k

spazio I

siamo di

Es

e ...,

,

...., .

teleche

V base

di V

di

Ik t è

Wan

Es ma

....,

,

....,

W finsta ha

V

TERREM finta

Allora W

Sia disugualianza

sottospazio dimensione

vettorale di

: la

di vole

spazio dimensione

uno n

in e

.

V dimV

dur dim dive

Se inalter V W

W

W allora

= =

,

. V

(WslWr) dive

Wz)

Wi

dine dive

Esempio di (Ne

Wa

Siamo Allora

V < -

Wa di

sottospazi +

: e .

diver divers divWz

WaxWz basa W

bardi

perché We

+ di

zo

è

Er è

se 51 zk

a

=

- ...,

...,

,

0) 1)

Cope) (0

(Er

(51

allowa 0) ,

,

, . ,

, .

.

,

.

. . .

,

- base

formano una

e

WW Wz

Wax

di

(We Wa)

dim

Per dobbiamo

dive

We lWa Ci

calcolare Formula

la GrasstAN

Di

OSSERVAZIONE antera

+ vedere caso :

caso

= a

e .

TEOREMA GRASSMAN

FORMULA : diver

KRW

dim dive

dive

We+Wz

Allora

We

Siamo Wr

Wr V libache +

sottospazi vetonale

di +

=

spazio :

uno

e .

Expio : 2 1 1

- Wz

& (WelWa)

=

IR3 2 diur W2)

Determare

V 1 (We

div

We >

-

= +

e

:

= I

-o 10

-

e se

perch

t Perle generator

suoi

i

dimWz

Allora Possibilite

diva (WelWz)

Wr W2)

dive (Ve

dire

1 proporzionali + 3

2 0

sono =

=

= =

men e

~

F (WelW2) Wa)

dive

dim diumWz

(We CinWs

Gassmann 3

+ 2

1+

+

+ = =

: = dive (VelW2) dime Wa]

(We

considerare e

la 2

In e

s =

motrice +

-2 e

questo possiamo =

caso : 021 detA

A i lineariente

= i

-2x1 vettori indipendenti

2 + 3

quindi

= 0

= sono

-

20

0 - (Wr(Wz)

dim

We)

dive 3

(We

v gassmann

e

+ =

= per

Wz

WI Seineari miniquite)

sistemi

di

Soluzioni

( Sottospazidir)

sottospazi di

Eg di in

angere

:

. S cR" Rh

Sia S Sel(s)

Allora

lineare di

Sistema è

22-23 sottospazio

22y

21 +

+ un

: 0

= in

anogeneo Le Chiarano Sel(s)

Sel(3)

equazioni Equazioni

inquire Cartesiane di

di

22

2x ↳ 1

xu 0

=

- -

Chiamianes R dare

Per

che

parametriche parametriche

Sol(S) Sal(S)

vettori

di di

di - equazioni

insieme

equazioni generano

un

a . S S

base 12ty

Sol(S) cerchiamo Sel(3)

di 12 th

di xz S

+

20 22 2x Eus-Exn

una + 0

=

I - -

20 = 12to-Ets'tetheRcR"

-D1 12 #

12

1 - Sells)

- 222 3x4

23

+ =

0 1xy 4x

=

- 22

- = -

R2 Re 021-3 I

10 1

1 -

- -

- cidin

12 S Di

- BASE

e sous

t tanti

1

O

Qundi

-

> trovato

del abbiamo .

parametriche

partendo Cartesiane

da sorospazio equazioni

eg ,

.

Vediamo

-

> dalle della

parametriche da

trovare base

cartesiano

quelle partendo

ora come spazio

una

eg

1 aR

Link ws wa]

R

2 sia

Esempio Siamo vittori di

1

Ve

: Er =

= 1

= : .

,

O 1

- Sia in Es 2)

Vegliamo che Aundi

trovare tels Sol(s)

lineare w

cartesione W sistema ,

:

assia,

ep un

por =

, .

, Los

(2) X() incognite

z() 562

X

devo be

che +

=

aver , , la

2xz la

consideriamo

Quindi compatibilità

S de completa

matrice

del sistema

studiare

g()()

+ x sua

= :

per

()

yn

Se la

(A) motrice

il compatibile

=

+ è

sistema

r 2 quindi se

= = ,

>2 z

=

- ha anche lei R(c)

completa C 2

21z =

"A A [) =det (2)

det

Ma

Siccome detc

detc !

r(c)

BEMaxs #) +

2

questo z

in 1

caso = y

= o x -

= = -

, R

Qundi N

d il cartesiana

è z

di 2

di +

piano y e

=

-

ep -

. :E

(ex

-Linda =

E

()() le eq

Candi

= de la

cartesiene

atteo e

= pago

motrice abbia

ser completa segno S

"

Rico 021

1 Hy-11222-1/22x

il

Qundi sistema

> 0

=

·? compatibile i

è

x

x2

O se

- /

. 22n 1/222 12xx

+

112724

1/2222 - = 0

223

Riduzione -

-

gredini

a 00xy 1/24z 122

+

-

ch

PROPOSIZIONE M t

S

Sia e devensione Allora

di incognite

di n-K

sottospazio in

sistema

enste di

in

= equazioni . .

anaganco

un n

.

E

Sel(s) =

· Queste detto

dicono e

del Codimensione

E il di

equazioni si cartesione M-K e

ML

sottospazio e

eq .

LEZIONE 19

R

Basi :

Di R formate

basi da

le

1) Tune vettori

di sono s A

R detto

bare

questifamono diRse t

Dati

2) =

vettori Fr En è

una

di

En

E : c

ve ..... .

..... , .

TEOREMA RANGO

DIMENSIONE E L(E En

R

Sia dim

AEMman ilao Allora r(A)

calanna

vettori

Es In =

e :

e ...,

.

. . . . , ,

In) data

Inoltre (Es

Lin invertibile

dalle adine

base sottovatrice

colora corrispondenti

di di

è massimo.

una

a

ma ....,

, Rm)

2(R1 dived(4

div

le

Rm

Aemman Pr Allora

le colore

Sia s

Corollario Ca En A

di

righe

Siamo =

e :

e e

= ....,

, ..., ..., :

. ,

= IRM

= O 53)

L(w

div

Calcolare base

determinare

Siamo

Epio Ep & questo

2

Es spazio

e

: una per

= , ,

O

& 3

-

Consideriamo 2

1 &

: 10 2 o =>

1

livimaie e

(A) O I

dime

- Calcolar

A 23 Es

E E2 2

= =

· , ,

O

O

O

3 possibilità

Una e

11 wa

- E1

- ,

Per 53)

Lin

base

trovare -Altra

corrispondono colore pinatdiverse possibilità

vettori

(E1 e

vediamo quali

52 Er

una s

con

a :

per , , ,

Possibilità

Con ordinato

intendiamo è

lettori

Base sistema

: ,

E2

- Non

&

S di 3 una

un .

V Sono

TEOREMA Sia sistema

vettorale V equivalenti

di generatori

Eq

Fo

siamo

spazio di

uno

: un :

e , .

---

,

formano

a) base

se

Er una

....,

6) R

FazV teleche 1959

(b

p-tupla Sp) Sp

esiste masola + 0 +

+...

M

una +,

e =