Appunti primo e secondo parziale Geometria e algebra lineare

Linear Algebra: Funzioni delle Applicazioni Lineari

Una combinazione lineare delle vecchie linee di comando può essere ottenuta utilizzando le nuove funzioni. Le applicazioni lineari sono utili per ottenere una rappresentazione vettoriale di uno spazio lineare. Le operazioni insieme a queste applicazioni sono lineari e possono essere rappresentate come:

g(u) = W(f(t) + g(u))

La funzione vettoriale f(t) può essere rappresentata come:

f(t) = A * t + b

Dove A è una matrice e b è un vettore. Se consideriamo un vettore v, allora:

A * v viene chiamato autovettore di A

Un autovettore ha le seguenti proprietà:

1. Ha un autovalore associato
2. Il prodotto tra A e il vettore autovalore è uguale al prodotto tra l'autovalore e il vettore stesso
3. Se il vettore autovalore è diverso da zero, allora è un autovettore non banale
4. Se A - λI è non invertibile, allora λ è un autovalore

Quindi, possiamo verificare se un polinomio è associato a un sistema lineare di livello utilizzando le funzioni delle applicazioni lineari.

un>→ ,soluzioni Donai mt✗non che hache numeroannoiate sia autonomiaun un' diidi radicifinitoil a =/ significa togliereIrango allonon dettomoxe ,detta II POUNOMIO4=7 ) caratteristicomotriceO diagonale didella=-- , filcalcoliamo det che deve essere, .autoctoniqui sostituireDa gli devoper trovare• -1 sistemarisolvo il omogeneomotriceNella , incognite( tipo ho scrivo3associato unanese )funzionein poiduedelle lealtre elinearecombinazionescrivo come .COSÌ GliGENERATORIUN autorevoliTROVO DISISTEMA (elementi nulliaiproprio )nondi Questo insiemesono .Se J Ubase autoctonidi• formata lada diagonaleuna lungo→fdi DIAGONALIZZABIUEfallora dicesi motriceprincipale ' laarena e→, . matricediagonalepropriotronoche trovo, |autovalorigei . DETERMINANTEILÈ Prodotto TRAILgli AUTOVALORIPASSA DETERMINAREPER661 AUTOVALORI AUTOvettoriE :1) Considero associata basila rispetto presematrice alle .1 agli2) Togliamo elementigenerico diagonaledella3)

polinomiomotriceCalcato iltrovandodelladetil ,caeolteeisrico . gli autovaloriTa opolinomioradici →del4) calcolo leogni autovalore trovato5) per devo )(sostituirlo dallaquindi diagonaletoglierlo6) risolvo sistema omogeneoPOLINOMIO autovaloriradiciha hanon abbiamonon se✗ %] " "È "}? NON LO AUTOVEITORISEDIAGONALI BlueQUANDO zza IRsiamo EEsempio 2trovoAd inse sicuramentesolo 1, ,NONPUNTOQUELche BaseBASTANO unapera formare✗ ho 1. molt gaan ..Gli relativi ÈUNAUTOUEITORI AUTOVALOREad DIM dettasua• lagli nulli materici '→sono elementi un tadiNON Geometricasottospazio ✓ autospaziodettodi . PROPRIETÀVale la SEGUENTE :ÈL MolteplicitàMolteplicità2 CONDIZIONI =necessarie : geom algebrica~molteplicità1. algebricheSOMMA delle ⑤ VDIMDI autovalori Dell'Adhd DIM AUTOSPAZIO èedvariabilidipari al numero A- LImatricedellaMOLTEPLICITÀ - rango⑤ Molteplicità2. ALGEBRICA geometrica Ker

relativo spazio• auto O=a: caratteristicoPoli• indipendente→Il dallabasetifi? ftp.trn-li ""È auguale controprovaEsso : per→ ancheserve canalizzaper verificare lo )( IIallt aalle - - .matriceNella diagonale> il p coeoet. . ⑤⑤ matriceoletprodotto diagonale ? 3IR TrovoINSONO LIN INDIOvettoriAUTO .TROVATOHOdistinti autovalori MOLTEPLICITÀcentoventi retorici SOMMANDO LE D@↳i a BASEuna→ NUMEROALGEBRICHE TROVO IL µElementi STARECHE devonoDIINDIPENDENTIlinearmentesono Nella BASE. ↳ INDPLINFINEse NUMEROalla SONOESSIQUESTO → .., BASENUMERO UNAcoincide FORMANOEILcon trovatiAUTOVEITORI diDI ✓TEOREMA Realespettrale• . ho associataLa matrice questaasarà matrice" base laIRMse IRf → la sua: diagonale scena, dove, geidiagonale trono)at (aassociata simmetricamatrice allora= :, autovalorideagauoeizzdàeef. in↳1. matriceunaIRM triangolaredi laE2 valebase stessaformataautonomauna. vettoriautoda

'proprietaRICORDA .@t.cl/t=x"3 :E ✗matriceuna. possiamo scriveree : Se base arrivopartenza| e"[ opportuniÈAX sono fare=/ devo"= è diagonale cambi. le opportunecon. " altrimentiIe basi se sono =, 'lascio Tinto come e .equivalente : /[" -" 'a ✗ ✗= . . ' IIKALGEBRA LINEAREPer WVe ✓ Wvettorialispazi fapplicazionedefinizione un' considerati →• due :,,' LINEAREdettae se : loflvitvzEV fuiI tflvi lineareun') ) applicazioneVavi. = ,e Ifn)ti V feuIR abbiamoi ) rissacome✓ =c-• conc- ?IRi vettori perserveeLa svilupparefunzioni• di lepotercomposizionelineari dioperazionimi somma e prodottocomunquedo inscolarelineare perfunzione uno unouna . spazio nell' senza chealtrooLa funzione associa cambi• che un nulla .Adielemento elementoad unB ' UNAdi e . aw l'VPerciò immaginequindi trovareperdaper passare• , ,dobbiamo percorrere questa strada :RISULTA

baseINDISPENSABILE fissare una→ PER d'SPAZIO PERpartenza UNA Quelloelo di arrivovev g fu✓ VztXiv nun✗= t ✗ ymwm) yawzt+ > yiw += +.. -- --, < ,^| ^di 62 lineari 'diO' invertibilie ?1km 1km) (C- )( > y e✗× .gr✗ ymn-.r - ,, . .. ,, .fa -PERCORSO siche sede alternativoL' IMMAGINEPER TROVARE|dallaPOSSIBILE MATRICEPASSAGGIO RESOÈ AIL• ,implica sostituzionePERCORSOQUESTO fLa condi• UNAUN' IMPLICA DICOINVOLGIMENTOaltra ILCHEFUNZIONEMATRICE .f applicato ladi determinaremi permetteconoscere doseallaassociata funzioneMATRICE EssaMATRICE sopradetta della senta una, .vettoriali Dosefra spazi adrispetto perTrasformazione lineare unaciascuno spazio .In più ?digli elementispecifico cui motricemodo sono questal' UEW✓ W (consideriamo fapplicazione → spazi: )vettoriali① elementounprendereV. Pdella dibase (Base )considerare la .vnviva ..immaginesua : filii )vi →② Essa essendo elementoun,W d-BASEdi

(comescriverlo) Wmposso wiiwr . . -combinazione lineare basedellaWscelta per .f WmU -1azura) W it)( am+= -.ii lineareclienti combinazione RappresentanoQuestaCoe# diI° associatamatriceLA colonna della :|[@ ,-- _Il --- - i2' ,; ;!q amm- - i- - -,mIn inall' ogniinterno troviamodefinitiva matrice associatadellacoefficienti immaginedell'icolonna combinazione linearedelladidell' partenzabaseelemento della .""Quindi di flvcalcolareprevede )primaalternativoil• cuipercorso parlavanodiAx luiimoltiplicandoniuna peresimacalcolando la componentee sua -ipoisommando per 1 M= . . ..Possiamo questi passaggifanquindi calcolare seguendo :① Scriviamo combinazionecomevlineare di .vnvii. :..✓ UnXiv ✗= +t in. . .,② moltiplico Amatricelaper :Quindi coefficienti dii )( y.fmfiul scrivo come, ①Matriced- associata →combinazione ottenendolineare . :di vuelementidegli ,component