Appunti Geometria e algebra lineare

O FER

↓ EE

W

I ,

,

,

I W V

W commutativa

· .

. = El

(w

1 1 E

w 1

+

· . +

= . · distributiva

1)

(x (xW) X X

w w

1

· · = .

.

= =

14/

1 V Ivi

· . =

Il Il

IVI costo

. . eserazio

esempio vi

(1) Iw) =

1

3

= =

Calcolare il 21-w

modulo di

W)

121 () (2X 4 1 X W ww

2X 2W 1 +

· = - -

. =

- . .

· 41X/2 1WK

4X N + =

.

-

= 4(Xk" 4(W 1wk

+ =

-

= (V) 1WK

hIXK-4(X1 (1 cos +

= .

. =

9 1

1

4 43 31

. 1

+

.

.

= - =

5)

121 w1

- =

esempio eserazio 2

Determinare h modo che

in

W1 W

31 hu

W2 V

+ +

= =

perpendicolari

sono S (V nw)

(31 w)

w1

0 wz =

+ +

= =

. .

3h W W

1

3XV V hww

+

+ +

. =

= - Cos(vi)

(3n hIWK

1)

3111 (11

= =

+ +

+ ·

13h 1) 3

9 1 1th

3 + + . .

= . .

E In

o +

= 57

n -

= I la

verificare perpendi

Uso il il per

modulo

prodotto scalare e

trovare

per

.

colarità il

può

~ coseno

conoscera

si

dell'angolo anche

quindi

e

L'ampiezza

In M scoseno

negativo

W T

1

pIwl cos(ri)

. S

↓

di

ortogonale

La 1 è

proiezione Su

I.COS())

cos (vW)

In .

= . = 14/2

(v)

Il detta orientata

componente di

è

cos W SMV

Av i

=

I Wi

W

- -

=

è vettore

> we

un 1

complanare a e

U perpendicolare V

a

-

terna

Una di indipendenti

linearmente

vettori

· vettori

Una di

terna complanari

non

· O

Una vettori base

di

terna

· in

con P

tre vettori

Si punto

positivamente in

dice orientata applicando un

se :

.

)(P

(D (P

Q2)

ottenendo Q

applicati Q3)

vettori

i ,

, , ,

Q31 vede

Q3

Un osservatore posto in

Q2 92)

su (P

ruotare (P ) secondo

Q ,

.

,

angolo

un convesso senso

in

Q

>

D antiorario orientata

contrario negativamente

In dice

si

terna

la

caso w S

↓

t - il

cambia

di si

terna

Scambiando contigui segno

elementi una

due

della terna [ 1] è terna

, una -

,

& 13

E è

w terna +

una

, ,

& wy

E è

1 terna -

una

, , Vil

E vettoriale

vettoriale 1 prodotto

Prodotto Dati vettori 4

due , definito

il

↓ vettore

e

↓ da

en :

//

11 Se

0

· = è

Ind vettore

IX1

se un

· L

ew

perpendicolare a

- terna

W

tale una

che

verso ha

In

- positiva sin())

/InW) (1

modulo I

con

- = .

positivamente orientata

Se dice

antioraria

rotazione è si

la T

M terra negativamente orientata

S

~

11 Linearmente indipendenti

/I

>

0 :

=

XV

se &

7 & S

M rettori

ai

direzione 1 (t)

terna

una

ternaria

la

tale

verso che assoluto

il valore

serve

Il negativo

essere questo

sero può per

,

Proprietà del prodotto vettoriale

/W

Iv 0

· = V

tt

VI w

, ,

(w1X)

(1w =

· -

1)

(w

( 11t

11w

1 +

+

· = R

V -

(xX)nw Xy1w

(xw)

1

· =

= (1W/1

In(WNE) da

e generale diverso

in

· proprieta commutativo associativo

Non la

vale ne

1 Sincvi)

1111 (1

(1 ·

= :

T Il modulo il

Inw

di ha

N significato geometrico di

wi di parallelogramma

area un

3

↓

Riassunto V

Base indipendenti

13

12

VI linearmente

:

di ,

, #

complanari

non ↓

7x1

VER

- 12 unicamente

13

1 , determinati

Prodotto scalare 1 W

: .

yw 1 1w

0 (

= X/W

2)

Prodotto vettoriale 11W

: +

11 ,

V base positiva

X e

V1W una

W

, , /sinvil

(v1(w/

(Vew) =

ni ,

paralleli

1 w

se sono non

. ,

X1W comodo

é modo di

un 1

trovare vettore 1

un e

a

Prodotto misto risultato

da scalare

uno

come

>

0

t

w

1 e

,

, è 1W

vettori E

prodotto misto

Il tre

dei .

definizione

Dalla prodotti

dei : (unuz)

( 1WI - 1

11 · cos

.

= InW

~ X

Ey

Ink - - - - - - ,

generico

caso , "

ottengo prisma a

un -

i -

S

U

-

A del del

il

é volume

meno prisma

segno

avente adiacenti di

tre rappresentanti

spigoli

per

1, E

W , .

11W complanari

) 1

E 0 t

, sono

= , formano

t

Un il

> D

Cosso

1 1 , W positiva

terna

una

W

> Y

~

Un 1 formano

D

Cos10 Wil

, terna negativa

una

W

> Y

~

E

Dato fattoriadiacenti il

cambia

scambiando

11. due

segno w fattori;

dei il

,

l'ordine prisma

11E1W scambio

se

- (volume

↑ lo può

stesso

resta ma

,

il

cambiare

.

E11 segno

perché diventa

negativa

era

che

la terna ,

> positiva

esempio

Supponendo formano stabilire che

positiva

base ,

L , 1

,

che una

3

2 213

hX 12

12 2(2 +

(1 13 V

N1 2 (2 + +

Wz

= + 3 -

=

-

- ,

=

formano il

nel determinare

base caso

e , segno

.

una , 1(-

(2x1 (hV

(3)

(3) 2(3)

Vz

Vi 22

(2

Wy

W 1W2 + +

+

+ =

-

-

=

, 1

.

. 21311)

(4 (Inkz 12111

113 +

12143 1314

+

2

+

= -

-

, - , (hv

3x2V3)

243) 2Vz)

(3(

(hx1 3 111

112

(2 Vz +

+ + =

-

.

· ,

=

- -

3h(2113 (9

6X11V2 3h)V

Vi

341113

/3 /2 13

1 %

= - ·

- . -

= 2

= ,

Formano base se h 3

una

è

base positiva h13

La se

Def IK definiamo

Sia , ne

campo

un per

,

G(x n]

Ik" Xn) xilk i 1

= =

, , . . . .

. ., ,

Ik" definire

In possiamo

(X Xn) 4n) (x

(4 yn)

4

, + xn

+

+

=

,.

, , ,

.,

- --

,,..

. ..,

. ,

.

XElk

Per XXn)

X(X (xx

xn) =

, ,

.,

.

.

. . .., verificate 8

definizioni proprietà

Con di

sono le

queste &

matrice

già

per scalare per

prodotto viste

somma uno

e

liberi

vettori

e . di

Consideriamo IR

IK

il caso =

Definiamo standard

il scalare

prodotto :

=

An) yn)

(41

(X xiy

+

4

x + nun

=

, . ....

,

.

, . . --

.. ,

, , del

algebriche

proprietà

ha

Questo prodotto scalare stesse

le

vettori

prodotto liberi

scalare tra .

Definiamo Xn))

(( =

)

(x

xn) ....

(x

= ·

. , ,

.

.. .

, .

,

.

esercizio IR3 (1 2)

(11

1)

Determinare + 2

vettori

in a

i ,

, .

, ,

, E

((a c) 1)

(1

b 26 -c

2 a

0 vettori

+

=

. o

- = que

,

, , , sono +

il prodotto scalare

se

2)

(a (1 b

2) 0

b 2

a C

+

= 0 =

+

1

, , , e

, 0

=

S 2b

+

a

c =

atbzatubro b La

5b50 zac

3

> at =

- = -

forma

della

vettori

sono : 1)

(a a)

a)

-Ba

, =

,

R3 definiamo

In (x243

+3) 1(41

(x )

43) 7341 42

x,43

42 x24

x342 x

= -

x2

1 -

,

-

, ,

, .

,

, , vettori

Ha liberi

proprietà prodotto tra

del

stesse

le <3) /41 Il

0)

10

(X 43)

42 sono

0

X2 ~

· =

,, ,

, ,

, ,

valgono le antisimmetrica

proprietà distributiva

· e 43)

43)

(41

(X x b) (X1 Xb) 42

(4

+

42

x2

· 1 X2

a e

, , , ,,

, , , ,

, X2 X3

X , 43

4 42

,

definire

Possiamo 3

il in

prodotto misto E i

(21

43)

(41

(x det

X3) b)

22

42

x2 ·

1 =

,

, ,

, ,

, zz

z 23

,

[VI EU

v3]

V

Data scrivere

V2 se

di possiamo

base

una : ,

,

X 4313

x2X2

Vi

X +

+

= , IR3

P

definiamo :

e <

f xz)

(1) (X1 xz

= , , %1

X2(z w

XzX3 y

(1

1 4212 4313

+

X + =

= +

+

, , 14

f(x) f(x)

(X 43)

xy) 42

x2

= =

,, 1,

, ,

(X (xz 42)(2

1 w (x3

)k 43)43

u

+ +

+

+ +

+

= 1

, ,

7) w) 43) 43)

(41

(X

k (x xz)

x 42 42 =

y x3

+ x z +

+ =

+ +

= 1,

, , ,

,, , ,

f(w)

f(x) +

= -IR

Us

t

esempio (3) (z)

((1 (5X1 12 Gu

2x2 V

+ +

- -

+ =

+ , (6 0)

1) (5 1)

(1 1

+

2 1 =

1 - - ,

,

c ,

. ,

XEIR

X 1313

XXz

(1

X +

+

= ,

f(x) Xy)

(x1 X2

= , ,

V (Xx2)(2

)

(XX (xx3)43

(1

X = + +

, xf(x)

f (xx

(xv) X(X

xxz) xz)

xx2 x2

= 1, =

=

,, , , funziona"

"non

In parte

si

generale questa corrispondenza se

nel

qualtiati produtto

di

base scalare

da caso ,

una

rettoriale m