Appunti di fisica 1

Appunti di fisica

Grandezze fisiche

Scalari

Necessitano del valore della grandezza fisica con la sua unità di misura. Esempi: tempo, massa, temperatura, pressione, energia cinetica…

Vettoriali

Necessitano di modulo della grandezza con l’unità di misura, direzione e verso. Esempi: vettore spostamento, velocità, campo, quantità di moto…

Sistemi d'unità di misura

Fondamentali: specie di grandezze per le quali vengono fissate le unità.

Derivate: specie che vengono ricavate dalle fondamentali.

Il sistema più diffuso è quello del sistema internazionale (S.I.).

Per ogni unità di misura vengono realizzati dei campioni le cui caratteristiche devono essere facilmente riproducibili in qualunque luogo e ben conservabili.

Le equazioni dimensionali consentono di fare l’analisi dimensionale delle relazioni fisiche.

Principio di omogeneità

Per il principio di omogeneità, se le dimensioni della grandezza al primo membro non sono le stesse di quella che compare al secondo membro, la relazione è sicuramente sbagliata.

L’analisi dimensionale consente la conversione delle misure da un sistema di unità ad un altro. Viene fatto attraverso quello che viene chiamato fattore di conversione.

Tabelle di conversione di unità di misura

Un’equivalenza è un’uguaglianza tra due espressioni della stessa quantità in unità di misura diverse. Le equivalenze servono per convertire il valore numerico di una certa grandezza da una unità ad un’altra, mantenendo unità dello stesso tipo.

ES. 123 GPa = 123·10⁹ Pa = 1.23·10¹¹ m/s = 3.6 km/h

Esistono unità di misura che non appartengono al sistema internazionale. Queste vengono chiamate “Unità pratiche” e sono unità come il litro e l’ettaro. Queste, prima di essere utilizzate, devono essere riconvertite in unità del sistema internazionale per mezzo di conversioni.

ES. 1 L = 1 dm³ = 10^-3 m³ e 1 ha = 10 000 m² = 10⁴ m²

Misurazione

Preso un insieme di enti omogenei tra loro, questo insieme costituirà un insieme di grandezze fisiche se:

• Presi due enti a caso A e B si è sempre in grado di dire se A>B, A<B o A=B.
• Si può definire la somma A+B
• Si può definire uno degli enti come unità di misura

Si può definire misura di una grandezza fisica il numero che rappresenta il rapporto tra la grandezza considerata e quella fissata come unità.

Tipologie di misurazione

• Misurazione diretta
  • Confronto mediante un opportuno strumento di una grandezza G con un’altra della stessa specie g scelta come unità
  • Determinazione di quante volte G contiene g o una sua frazione
• Misurazione indiretta

  Sapendo che la grandezza y è una funzione conosciuta delle grandezze di specie diverse x₁, x₂, x₃, ecc., avendo quindi y=f(x₁, x₂, x₃, …), effettuando misurazioni su x₁, x₂, x₃ otteniamo il valore di y.

• Misurazione con strumenti tarati

  Uno strumento tarato è in grado di stabilire una corrispondenza biunivoca tra il valore di una certa grandezza fisica da misurare e un numero che si legge sullo strumento. A differenza della misurazione diretta, non necessita di campioni di unità.

Gli strumenti tarati sono giudicati in base a:

• La sensibilità S minima variazione della grandezza in misura Δx che è in grado di apprezzare [S=1/Δx]. Può essere costante o variare lungo la scala a seconda che la scala sia lineare oppure no.
• La precisione dipende dagli errori introdotti dallo strumento durante una misurazione.
• La prontezza è la rapidità con cui lo strumento è in grado di eseguire la misura.
• La portata indica il massimo valore misurabile.

Errore

L’errore consiste nell’inevitabile incertezza presente nelle misurazioni. Durante una misurazione, è buona norma assicurarsi di effettuare la misura ottenendo il minor errore possibile.

Con strumenti tarati, la misurazione genera un errore durante la fase di interpolazione, ovvero durante la fase di valutazione della misura all’interno di due tacche sullo strumento tarato. Esistono anche incertezze dovute ai tempi di reazione, come la partenza e l’arresto del cronometro. Effettuando più volte la misurazione, potremo ridurre l’errore trovando il valore medio.

Rappresentazione

Il risultato di una rappresentazione va scritto secondo queste regole:

• L’ultima cifra significativa deve essere dello stesso ordine di grandezza dell’incertezza.
• Le incertezze dovrebbero essere arrotondate al massimo a due cifre significative.
• Otterremo in questo modo una misura nella forma ±.

Se vengono effettuate più misurazioni si può ottenere una discrepanza. Questa può essere consistente, se la differenza tra la misurazione maggiore e quella minore è maggiore dell’errore, o inconsistente, se la discrepanza è minore dell’incertezza.

Tipi di errori

• Statistico o casuale, sono dovuti a cause di varia natura che agiscono in modo del tutto casuale. Sono per esempio le condizioni ambientali, cattiva stima nella lettura, altri tipi di disturbi nella misurazione. La miglior stima della grandezza in una serie di misurazioni di errori statistici è il valor medio. L’errore nuovo delle singole misure è dato da (su delle misure da 1 a N) e l’errore medio è dato dalla formula ∑( ) = -.
• Sistematici o strumentali, sono dovuti a difetti nella taratura dello strumento di misurazione o nel metodo. Possono essere ridotti mediante alcuni accorgimenti anche dopo la misurazione. Non noto il risultato obiettivo, non si possono sapere se sono presenti e in che quantità.

L’errore relativo è una quantità approssimata della qualità della misura. Se è superiore al 10%, si avrà una misura rozza, se è inferiore sarà una misura accurata.

Errore relativo | |Errore percentuale × 100| |

Calcoli

In caso di calcoli, le regole da seguire saranno queste:

• = + - … - ( + … ) ( )
• () = + + + ... ×...
• = = + + + ... ×...
• con B valore esatto || = = , () =
• || |= =|| ||

Preso un istogramma, ovvero la distribuzione dei valori ottenuti sulla divisione in intervalli regolari tra la misurazione maggiore e quella minore, esisterà la funzione di distribuzione normale (o di Gauss) per cui avremo una maggiore densità nei valori intermedi e pochi valori in quelli estremi. Più misurazioni vengono prese, più sarà probabile ottenere un grafico di questo tipo.

) -( - () = 2 √2 ()

Questa funzione indica l’andamento del grafico. Se fosse indicherebbe la probabilità di ottenere un dato valore x in seguito alla misura.

ΔDa cui deriva che risolvendo otterremo la probabilità che la misura sia compresa tra x’()∫e x’+Δx.

Risolvendo il grafico di Gauss con un numero di misurazioni abbastanza alto, sarà molto alta la probabilità che il valore massimo nel grafico coincida con il valore ottenibile senza errori.

La deviazione standard rappresenta l’incertezza di una misura e fornisce il ∑ (⟨⟩) = - cosiddetto limite di confidenza di una misura.

Attraverso il metodo dei minimi quadrati e una lunga serie di dati derivanti da due variabili (p. e., spazio e tempo), si può creare una retta interpolante i punti creati sfruttando le formule. La retta creata restituirà la posizione meglio approssimabile dei valori x e y.

Meccanica

La meccanica studia il moto dei corpi attraverso leggi fisiche quantitative. Si divide in due branche:

• Cinematica, che descrive il moto di un corpo indipendentemente dalle cause che lo determinano
• Dinamica, che descrive il moto di un corpo a partire dalle cause che lo determinano.

Cinematica

Un evento è un fenomeno che accade in un punto dello spazio ed in un istante temporale. Spazio e tempo caratterizzano un evento.

Un punto materiale è un corpo privo di dimensioni o le cui dimensioni sono piccole o trascurabili rispetto alle altre in gioco.

Sistemi di riferimento

I sistemi di riferimento più usati per descrivere matematicamente il movimento sono 3:

1. Coordinate cartesiane, che permettono di descrivere la posizione di un punto P in base alle coordinate x, y, z, con i relativi versori.
2. Coordinate cilindriche, che descrivono il punto P in base alla posizione in un cilindro di dato centro O e raggio, altezza ZOP e angolo φ.
3. Coordinate polari sferiche, che descrivono il punto P in base alla posizione in una sfera di raggio PO, angolo φ, che definisce la posizione rispetto a x e y, e angolo θ, che definisce la posizione rispetto l’asse z.

In cinematica, le grandezze fondamentali sono il vettore posizione, il vettore velocità, il vettore accelerazione e il tempo t.

In generale, su un sistema tridimensionale, si ha:

R3, r(t) = r(t) - r(0), v(t) = v(t) - v(0).

In un moto rettilineo unidimensionale, fissata un’origine O e un versore, si ha:

R1, r(t) = r(t),

v(t) = v(t)

Si parla di moto periodico quando la particella torna a passare nella stessa posizione con la stessa velocità a intervalli di tempo uguali.

Moto armonico semplice

Nel moto armonico semplice, il moto periodico avviene su un asse rettilineo. La sua legge oraria è del tipo:

r(t) = A sin(ωt + φ),

dove A, l’ampiezza, e φ, argomento del seno con t=0, dipendono alle condizioni iniziali mentre ω, chiamata pulsazione, dipende dalla fisica del sistema.

Da queste informazioni si può ricavare anche il periodo del moto:

T = 2π/ω.

Questo valore è inversamente proporzionale alla pulsazione: infatti, per ω piccoli, T sarà grande, con intervalli di tempo molto lunghi tra un passaggio e l’altro, mentre T sarà piccolo per ω grandi.

Si ha poi la frequenza, pari a:

f = 1/T = ω/2π.

Si parla di velocità con dimensioni [v]=[A][ω]=[LT^-1],

v(t) = Aω cos(ωt + φ),

accelerazione con:

a(t) = -Aω² sin(ωt + φ).

Come si può notare, i moti armonici sono contraddistinti dalla particolarità per cui l’accelerazione è proporzionale e opposta allo spostamento.

Se φ=0, avremo:

r(t) = A sin(ωt), v(t) = Aω cos(ωt),

con velocità massima nel centro di oscillazione (x=0) e con accelerazione nulla nel centro.

Equazione differenziale del moto armonico

A partire dalle equazioni delle singole componenti, si può ricavare l’equazione differenziale del moto armonico:

a(t) + ω²r(t) = 0.

Cinematica bidimensionale

r(t) = r_x(t) + r_y(t)

tan θ = v_y(t) / v_x(t)

|v(t)| = √(v_x(t)² + v_y(t)²),

con ds pari allo spostamento infinitesimo lungo la traiettoria e il versore tangente alla traiettoria. Il vettore velocità è sempre tangente alla traiettoria e individua con la sua direzione e il suo verso la direzione e il verso del moto e con il suo modulo la velocità istantanea con cui è percorsa la traiettoria.

Composizione dei moti

v(t) = v_T(t) + v_N(t)

a(t) = a_T(t) + a_N(t)

a_T corrisponde all’accelerazione tangenziale, parallela a v, che esprime la variazione del modulo della velocità.

a_N è la componente ortogonale a v che esprime la variazione della direzione della velocità, chiamata accelerazione normale o centripeta.

|a(t)| = √(a_T² + a_N²)

Tipologie di moto

• Moto curvilineo: a_T ≠ 0, a_N ≠ 0
• Moto curvilineo uniforme: a_T = 0, a_N ≠ 0
• Moto rettilineo vario: a_T ≠ 0, a_N = 0
• Moto rettilineo uniforme: a_T = 0, a_N = 0

Moto circolare

Esistono due modi per descrivere un moto circolare:

• Facendo riferimento allo spazio s(t) percorso sulla circonferenza
• v(t) = ds/dt
• a(t) = dv/dt = d²s/dt²
• Utilizzando l’angolo sotteso all’arco s(t) tale che θ(t) = s(t)/r
• v_θ(t) = dθ/dt
• a_θ(t) = dv_θ/dt

Si può definire la velocità angolare come il vettore perpendicolare al piano della circonferenza percorsa dal punto P e verso tale che il moto appaia inverso antiorario dalla punta del vettore.

Si può definire l’accelerazione angolare come vettore parallelo a v_θ e verso determinato dalla variazione della componente scalare di v_θ.

Moto parabolico dei corpi

Moto di un corpo puntiforme P lanciato dall’origine

O con velocità iniziale formante un angolo θ con l’asse delle ascisse

v_0x = v₀cosθ, v_0y = v₀sinθ

a = -g

Il moto può quindi essere scomposto in due moti lungo i due assi:

Moto lungo x (rettilineo uniforme):

x(t) = v₀cosθ · t

v_x(t) = v₀cosθ

Moto lungo y (rettilineo uniformemente accelerato):

y(t) = v₀sinθ · t - 0.5gt²

v_y(t) = v₀sinθ - gt

Ne risulta una traiettoria parabolica con concavità verso il basso e una gittata pari a R = (v₀²sin2θ)/g, con altezza massima nel mezzo e tempo totale di volo definito dalla formula T = (2v₀sinθ)/g. La velocità di impatto al suolo, per simmetria della parabola, sarà v = v₀.

Moto di un corpo puntiforme P che viene fatto cadere da un’altezza h

Rispetto al suolo con velocità iniziale orizzontale v₀

v_0x = v₀, a_y = -g

Il moto può quindi essere scomposto in due moti unidimensionali:

Moto lungo x (rettilineo uniforme):

x(t) = v₀t

v_x(t) = v₀

Moto lungo y (rettilineo uniformemente accelerato):

y(t) = -0.5gt²

v_y(t) = -gt

La traiettoria sarà definita come y(x) = -0.5g(x/v₀)², la gittata come R = (2v₀²h/g)^0.5 e il tempo totale di volo come T = (2h/g)^0.5. La velocità di impatto al suolo avrà modulo v_f con verso rivolto in basso e direzione θ, con angolo compreso tra θ = arctan(v_y/v_x) e l’asse x.

Moto di un corpo puntiforme P che viene lanciato da un’altezza h

Rispetto al suolo avente inizialmente una velocità v₀ caratterizzata da un angolo θ.

v_x0 = v₀cosθ, v_y0 = v₀sinθ

a_y = -g

Il moto sarà scomponibile in due moti unidimensionali:

Moto lungo x (rettilineo uniforme):

x(t) = v₀cosθ · t

v_x(t) = v₀cosθ

Moto lungo y (rettilineo uniformemente accelerato):

y(t) = h + v₀sinθ · t - 0.5gt²

v_y(t) = v₀sinθ - gt

Traiettoria y(x) = h + (tanθ)x - (gx²/2v₀²cos²θ), gittata R = (v₀cosθ/g) · (v₀sinθ + √(v₀²sin²θ + 2gh)), e tempo di volo totale pari a T = (v₀sinθ + √(v₀²sin²θ + 2gh))/g.

Dinamica

La dinamica Newtoniana…