Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
SUCCESSIONI DI FUNZIONI
Vogliamo estendere il concetto di limite visto per le successioni numeriche alle successioni di funzioni. Data (an), successione numerica e dato l ∈ ℝ, si ha:
an → l ⇔ ∀ intorno I di l &exists; n ∈ ℕ tale che an ∈ I definitivamente.
Consideriamo adesso una successione di funzioni:
{fn: I → ℝ}
{n ∈ ℕ} → fn: I → ℝ
DEFINIZIONE
Siano {fn} ∈ 𝔽, fn, f: I → ℝ. Diciamo che (fn) CONVERGE PUNTUALMENTE a f, e scriviamo fn → f, se e solo se:
∀ x ∈ I limn → +∞ fn(x) = f(x), cioè ∀ x ∈ I e ∀ ε > 0 &exists; n ∈ ℕ
t.c. ∀ n > m si abbia |fn(x) - f(x)| < ε.
ESEMPIO
fn: [0,1] → ℝ, fn(x) = xm
f0(x) = 1
f1(x) = x
f2(x) = x2
...
∀ x ∈ [0,1]
limn → +∞ xm = { 0 x = 0 1 x = 1 0 0 < x < 1 }
⇒ fn → f; f(x) = { 0 0 ≤ x < 1 1 x = 1 }
ESEMPIO
fn: ℝ → ℝ, fn(x) = { 0 x ≤ 0 n x 0 < x ≤ 1/n 1 x > 1/n }
∀ x ∈ ℝ
limn → +∞ fn(x) = { 0 x ≤ 0 1 x > 0 }
OSSERVAZIONE
Come visto negli esempi, successioni di funzioni continue possono convergere puntualmente a funzioni non continue.
Ricordiamo che data (an) successione numerica an → L ⇔ ∀ ε > 0 ∃ n ∈ ℕ t.c. ∀ n > m |an - L| < ε.
Nella definizione si utilizza una distanza, la distanza euclidea su ℝ.
ESEMPIO
Su X = ℝ2 è una distanza d(P, Q) = |x1 - x2| + |y1 - y2|, dove P(x1, y1), Q(x2, y2).
Infatti:
- |x1 - x2| + |y1 - y2| ≥ 0
- |x1 - x2| + |y1 - y2| = 0 ⇔
- ⇔ |x1 - x2| = 0 e |y1 - y2| = 0 ⇔
- ⇔ x1 = x2 e y1 = y2 ⇔
- ⇔ P = Q.
- d(P, Q) = d(Q, P) = |x1 - x2| + |y1 - y2|
- d(P, Q) ≤ d(P, R) + d(R, Q) = |x1 - x2| + |y1 - y2| ≤ |x1 - x2| + |y3 - y3| + |x3 - x2| + |y3 - y1| perché |x1 - x2| ≤ |x1 - x3| + |x3 - x2| e y1 - y2 ≤ |y1 - y3| + |y3 - y2|
Dati P(x1, y1), Q(0, 0), R = 1, disegniamo la circonferenza di centro Q e raggio R: circonferenza = { (x1, y1) ∈ ℝ2 : d((x1, y1), (0, 0)) = 1 }
Nella definizione di convergenza puntuale è coinvolta una distanza, che è poi una distanza su ℝ (tra numeri). Vogliamo definire una metrica sull'insieme delle funzioni per poter dare una nuova definizione di convergenza.
limn→+∞ ∫ba fn(x) dx = ∫ba f(x) dx ( = ∫ba (limn→+∞ fn(x)) dx )
limn→+∞
Ben il teorema precedente f ∈ C0([a,b]) e quindi f è integrabile in [a,b], si ha
| ∫ba fn(x) dx - ∫ba f(x) dx | = | ∫ba fn(x) - f(x) dx | ≤
a ≤ sup | fn(x) - f(x) |
x ∈ [a,b]
[a,b] sup
ESEMPIO
fn(x) = nx(1-x2)m 0 ≤ x ≤ 1
Se x = 0 oppure x = 1 fn(x) = 0 ⇨ limn→+∞ fn(x) = 0
0 < x < 1 allora 0 < 1-x < 1 e quindi limn→+∞ fn(x) = 0
funzione =< fn(x) = f(x)
Calcolire se fn converge uniforme a f(x)
d(fn,f) = sup | fn(x) - f(x) | = sup | fn(x) | = sup
0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ x ≤ 1 fn(x)≥0
(fn) = n
fn(x) = n(1-x2)m = n x2(1-x2)m-1 (-2x) =
fn (x) = n n(1-x2)n-1 x2 - 2nx
fn (x) è continuia in [0,1] clunco e limitato, quindi ammet.
te massimo in ]0,1[, essendo fn(x) > 0 e f(0) = f(1) = 0 il massimo sarà nel interno di [0,1] ossia (0,1) Derivare
lo sarà porre fn(x) = 0 :
1-x2-2nx = 0 ⇨ x2(4+2n) = 1 ⇨ x = 1 √2n+1
fn (1) = √2n+1
= (1 - 1)m = d(fn,f)
n 2n+1 n + 1 n∞
n
-√2n+1 √2n+1 n
√2n+1 (1+ 1)m
- 1
n (1+ 1)2n n→+∞
n→+∞2n+1 n→+∞+∞
d 1
+∞ √e
Funzione non convengenza uniforme
lim ∫ba fm(x) dx = lim ∫10 nx(1 x2)m dx ≠ lim ∫10 n t -2 =
m→+∞ m→+∞ 1 - x2(=1, -2nx=dx
Teorema 33
Siano fn: I → R, fn ∈ C1(I). Supponiamo che ∑n=0∞ fn(x) = g(x) puntualmente e ∑n=0∞ fn(x) = g(x) uniformemente.
Allora f ∈ C1(I), f'(x) = g2(x), cioè ∑n=0∞ fn(x).
lim ∑n=0 f0(x) + ... + fn(x) → f(x), Sn(x) → g(x), Per il teorema 3 f ∈ C1(I) e f'(x) = g(x).
■
Definizione
Siano fn: I → R. Diciamo che ∑n=0∞ fn(x) converge totalmente se ∃ Mn ∈ R t.c. |fn(x)| ≤ Mn ∀x ∈ I e ∑n=0∞ Mn converge.
Definizione
Siano fn: I → R. Diciamo che ∑n=0∞ fn(x) converge assolutamente se ∑n=0∞ |fn(x)| converge puntualmente.
Teorema (criterio di convergenza di Weierstrass)
La convergenza totale implica la convergenza uniforme.
lim ∑n=0∞|fn(x)| ≤ ∑n=0∞ Mn < ∞ ⇒ ∑n=0∞ fn(x) converge assolutamente ⇒ ∑n=N+1∞ fn(x) = f(x) puntualmente ⇒ Sn(x) = f0(x) + ... + fn(x) → f(x) convergenza totale
|Sn(x) - f(x)| ≤ ∑k=n+1∞|fk(x)| ⇒ ∑k=n+1 ∞ Mk ∀ x ∈ I. Quindi sup x∈I|Sn(x) - f(x)| ≤ ∑k=n+1∞ Mk → 0
n,m→∞ 0 = |f0 - fn = |fn+1 + ... + fn - other
il resto di una serie numerica tende a 0. ■
Ricordiamo il seguente risultato per le serie numeriche
Teorema (criterio di Cauchy per serie numeriche)
Consideriamo ∑n=1∞ an, con an > 0 ∀ n ∈ N, an+1 ≤ an. Allora:
- ∑n=0∞(-1)nan converge;
- la somma della serie è approssimata da Sn con errore ≤ An+1.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
