Appunti di Analisi Matematica 2

Name: Appunti di Analisi Matematica 2
Brand: Skuola.net
Price: 4.99 EUR
Availability: InStock
Rating: 4.0 (1 reviews)
Author: AleRetta

Revisionato il 16/05/2026

di AleRetta

Publisher

Vota 4,0/5 (1)

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

Appunti per l'esame di Analisi matematica 2, con dimostrazioni e tanti esempi.Argomenti principali:- Successioni di funzioni: convergenza puntuale e uniforme, teorema di passaggio al limite …

Esame Analisi matematica 2

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Baronti Marco

Università Università degli studi di Genova

A.A. 2016-2017

120 pagine

1 download

Appunto

Scarica

Estratto del documento

Successioni di funzioni

Vogliamo estendere il concetto di limite visto per le successioni numeriche alle successioni di funzioni. Data (a_n) successione numerica e dato l ∈ ℝ, si ha:

a_n → l ⇔ lim_n→+∞ a_n = l ⇔ ∀ intorno I di l, a_n ∈ I definitivamente.

Definizione

Consideriamo allora una successione di funzioni (f_n)_{n ∈ ℕ}: f_n: I → ℝ.

Siano (f_n)_{n ∈ ℕ} e f_n, f: I → ℝ. Diciamo che (f_n) converge puntualmente a f, e scriviamo f_n → f, se e solo se ∀x ∈ I lim_n→+∞ f_n(x) = f(x), cioè ∀ x ∈ I e ∀ ε > 0, ∃ n ∈ ℕ t.c. ∀n ≥ n si abbia |f_n(x) - f(x)|.

Esempio

f_n: [0,1] → ℝ, f_n(x) = x^m

f₀(x) = 1
f₁(x) = x
f₂(x) = x²

... ∀ x ∈ [0,1]

lim_n→+∞ x^m = {

0 se x = 0
1 se x = 1

} ⇒ f_n → f; f(x) = {

0 se 0 ≤ x

}

Altro esempio

f_n: ℝ → ℝ, f_n(x) = {

0 se x ≤ 0

nx se 0 < x < 1/n

1 se x ≥ 1/n

}

∀ x ∈ ℝ

lim_n→+∞ f_n(x) = {

0 se x ≤ 0

1 se x > 0

}

Successioni di funzioni

Vogliamo estendere il concetto di limite visto (_{Analisi 1}) per le successioni numeriche alle successioni di funzioni. Data (a_n) successione numerica e dato l ∈ R si ha:

a_n → l ⇔ lim_n→∞ a_n = l ⇔ ∀ intorno I di l ∃̇ n ∊ N t.c. a_n ∊ I definiremo.

Consideriamo allora una successione di funzioni (f_n)_{n ∊ N}^{f: I → R}.

Definizione

Siano f_n, f ∈ F, f_n, f : I → R. Diciamo che (f_n) converge puntualmente a f e scriviamo f_n → f se e solo se ∀x∈I lim_n→∞ f_n(x)=f(x), cioè ∀x∈I e ∀ε>0 ∃m∈N t.c. ∀m≥n si abbia |f_n(x)−f(x)|.

Anteprima

Vedrai una selezione di 25 pagine su 120