Appunti di Analisi Matematica 2

Appunti per l'esame di Analisi matematica 2, con dimostrazioni e tanti esempi.
Argomenti principali:
- Successioni di funzioni: convergenza puntuale e uniforme, teorema di passaggio al limite sotto al segno di integrale;
- Serie di funzioni: convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale, serie di Taylor, serie di potenze;
- Funzioni di due variabili: limiti, limiti in coordinate polari, continuità, estremi locali e globali, derivabilità, differenziabilità, gradiente, matrice hessiana e criterio delle derivate seconde, curve di livello, teorema del Dini, teorema dei moltiplicatori di Lagrange;
- Equazioni differenziali: teoremi di esistenza e unicità (in piccolo e in grande), sistemi di equazioni differenziali, metodo di variazione delle costanti;
- Curve e campi: curve chiuse, semplici, regolari, lunghezza di una curva, campi, integrali di prima e di seconda specie, campi conservativi e irrotazionali.

Esame Analisi matematica 2

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Baronti Marco

Università Università degli studi di Genova

Publisher AleRetta

A.A. 2016-2017

120 pagine

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SUCCESSIONI DI FUNZIONI

Vogliamo estendere il concetto di limite visto per le successioni numeriche alle successioni di funzioni. Data (a_n), successione numerica e dato l ∈ ℝ, si ha:

a_n → l ⇔ ∀ intorno I di l &exists; n ∈ ℕ tale che a_n ∈ I definitivamente.

Consideriamo adesso una successione di funzioni:

{f_n: I → ℝ}

{n ∈ ℕ} → f_n: I → ℝ

DEFINIZIONE

Siano {f_n} ∈ 𝔽, f_n, f: I → ℝ. Diciamo che (f_n) CONVERGE PUNTUALMENTE a f, e scriviamo f_n → f, se e solo se:

∀ x ∈ I lim_{n → +∞} f_n(x) = f(x), cioè ∀ x ∈ I e ∀ ε > 0 &exists; n ∈ ℕ

t.c. ∀ n > m si abbia |f_n(x) - f(x)| < ε.

ESEMPIO

f_n: [0,1] → ℝ, f_n(x) = x^m

f₀(x) = 1

f₁(x) = x

f₂(x) = x²

...

∀ x ∈ [0,1]

lim_{n → +∞} x^m = { 0 x = 0 1 x = 1 0 0 < x < 1 }

⇒ f_n → f; f(x) = { 0 0 ≤ x < 1 1 x = 1 }

ESEMPIO

f_n: ℝ → ℝ, f_n(x) = { 0 x ≤ 0 n x 0 < x ≤ 1/n 1 x > 1/n }

∀ x ∈ ℝ

lim_{n → +∞} f_n(x) = { 0 x ≤ 0 1 x > 0 }

OSSERVAZIONE

Come visto negli esempi, successioni di funzioni continue possono convergere puntualmente a funzioni non continue.

Ricordiamo che data (a_n) successione numerica a_n → L ⇔ ∀ ε > 0 ∃ n ∈ ℕ t.c. ∀ n > m |a_n - L| < ε.

Nella definizione si utilizza una distanza, la distanza euclidea su ℝ.

ESEMPIO

Su X = ℝ² è una distanza d(P, Q) = |x₁ - x₂| + |y₁ - y₂|, dove P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂).

Infatti:

|x₁ - x₂| + |y₁ - y₂| ≥ 0
|x₁ - x₂| + |y₁ - y₂| = 0 ⇔
- ⇔ |x₁ - x₂| = 0 e |y₁ - y₂| = 0 ⇔
- ⇔ x₁ = x₂ e y₁ = y₂ ⇔
- ⇔ P = Q.
d(P, Q) = d(Q, P) = |x₁ - x₂| + |y₁ - y₂|
d(P, Q) ≤ d(P, R) + d(R, Q) = |x₁ - x₂| + |y₁ - y₂| ≤ |x₁ - x₂| + |y₃ - y₃| + |x₃ - x₂| + |y₃ - y₁| perché |x₁ - x₂| ≤ |x₁ - x₃| + |x₃ - x₂| e y₁ - y₂ ≤ |y₁ - y₃| + |y₃ - y₂|

Dati P(x₁, y₁), Q(0, 0), R = 1, disegniamo la circonferenza di centro Q e raggio R: circonferenza = { (x₁, y₁) ∈ ℝ² : d((x₁, y₁), (0, 0)) = 1 }

Nella definizione di convergenza puntuale è coinvolta una distanza, che è poi una distanza su ℝ (tra numeri). Vogliamo definire una metrica sull'insieme delle funzioni per poter dare una nuova definizione di convergenza.

lim_n→+∞ ∫^b_a f_n(x) dx = ∫^b_a f(x) dx ( = ∫^b_a (lim_n→+∞ f_n(x)) dx )

lim_n→+∞

Ben il teorema precedente f ∈ C⁰([a,b]) e quindi f è integrabile in [a,b], si ha

| ∫^b_a f_n(x) dx - ∫^b_a f(x) dx | = | ∫^b_a f_n(x) - f(x) dx | ≤

a ≤ sup | f_n(x) - f(x) |

x ∈ [a,b]

[a,b] sup

ESEMPIO

f_n(x) = nx(1-x²)^m 0 ≤ x ≤ 1

Se x = 0 oppure x = 1 f_n(x) = 0 ⇨ lim_n→+∞ f_n(x) = 0

0 < x < 1 allora 0 < 1-x < 1 e quindi lim_n→+∞ f_n(x) = 0

funzione =< f_n(x) = f(x)

Calcolire se f_n converge uniforme a f(x)

d_{(f_n,f)} = sup | f_n(x) - f(x) | = sup | f_n(x) | = sup

0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ x ≤ 1 f_n(x)≥0

(f_n) = n

f_n(x) = n(1-x²)^m = n x²(1-x²)^m-1 (-2x) =

f_n (x) = n ⁿ(1-x²)^n-1 x² - 2nx

f_n (x) è continuia in [0,1] clunco e limitato, quindi ammet.

te massimo in ]0,1[, essendo f_n(x) > 0 e f(0) = f(1) = 0 il massimo sarà nel interno di [0,1] ossia (0,1) Derivare

lo sarà porre f_n(x) = 0 :

1-x²-2nx = 0 ⇨ x²(4+2n) = 1 ⇨ x = ¹ √_2n+1

f_n (¹) = _√2n+1

= (1 - ¹)^m = d(f_n,f)

n ²ⁿ⁺¹ n + 1 n^∞

-√2n+1 √2n+1 ⁿ

√2n+1 (1+ ¹)^m

- ¹

n ^{(1+ ¹)_2n} n→+∞

n→+∞²ⁿ⁺¹ n→+∞+∞

d ¹

+∞ _√e

Funzione non _{convengenza uniforme}

lim ∫^b_a f_m(x) dx = lim ∫¹₀ nx(1 x²)^m dx ≠ lim ∫¹₀ n t -2 =

m→+∞ m→+∞ 1 - x²(=1, -2nx=dx

Teorema 33

Siano f_n: I → R, f_n ∈ C¹(I). Supponiamo che ∑_n=0^∞ f_n(x) = g(x) puntualmente e ∑_n=0^∞ f_n(x) = g(x) uniformemente.

Allora f ∈ C¹(I), f'(x) = g₂(x), cioè ∑_n=0^∞ f_n(x).

lim ∑_n=0 f₀(x) + ... + f_n(x) → f(x), S_n(x) → g(x), Per il teorema 3 f ∈ C¹(I) e f'(x) = g(x).

■

Definizione

Siano f_n: I → R. Diciamo che ∑_n=0^∞ f_n(x) converge totalmente se ∃ M_n ∈ R t.c. |f_n(x)| ≤ M_n ∀x ∈ I e ∑_n=0^∞ M_n converge.

Definizione

Siano f_n: I → R. Diciamo che ∑_n=0^∞ f_n(x) converge assolutamente se ∑_n=0^∞ |f_n(x)| converge puntualmente.

Teorema (criterio di convergenza di Weierstrass)

La convergenza totale implica la convergenza uniforme.

lim ∑_n=0^∞|f_n(x)| ≤ ∑_n=0^∞ M_n < ∞ ⇒ ∑_n=0^∞ f_n(x) converge assolutamente ⇒ ∑_n=N+1^∞ f_n(x) = f(x) puntualmente ⇒ S_n(x) = f₀(x) + ... + f_n(x) → f(x) convergenza totale

n,m→∞ 0 = |f₀ - f_n = |f_n+1 + ... + f_n - other

il resto di una serie numerica tende a 0. ■

Ricordiamo il seguente risultato per le serie numeriche

Teorema (criterio di Cauchy per serie numeriche)

Consideriamo ∑_n=1^∞ a_n, con a_n > 0 ∀ n ∈ N, a_n+1 ≤ a_n. Allora:

∑_n=0^∞(-1)ⁿa_n converge;
la somma della serie è approssimata da S_n con errore ≤ A_n+1.

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