Analisi matematica 2 - Appunti

Appunti di Analisi 2

Indice

1 Integrali lineari 2

2 Teorema di Dini, o della funzione implicita 5

2.1 Forma scalare a due variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Forma scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Forma vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Superfici Parametriche 10

3.1 Superfici Parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Tecniche di calcolo sulle superfici parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Superfici congruenti, equivalenti, anti-equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.4 Tecniche di calcolo su superfici congruenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.5 Teorema del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.6 Teorema della divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Equazioni Differenziali Ordinarie 17

4.1 Equazioni differenziali lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1.1 Tecniche di risoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Massimi e Minimi Liberi e Vincolati 30

6 Serie e Sucessioni 36

6.1 Serie numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.2 Serie a termini positivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7 Serie e Successioni di funzioni 44

7.1 Successioni di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.1.1 Proprietà della convergenza uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2 Serie di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.2.1 Serie di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.2.2 Serie di Potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.2.3 Serie Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2.4 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

A Formule Varie 63

1

1 Integrali lineari 2

→

γ : I R

˚

⊆ 6 ∈

Definizione 1.1. Siano I R intervallo tale che I = , t I t.c. γ sia derivabile in

∅, 0

7→

t (γ (t) , γ (t))

1 2

t . Poniamo:

0 0 0

ν (t ) = (−γ (t ), γ (t )) (1.1)

γ 0 0 0

2 1

0 6

Se γ (t ) = 0 la (1.1) si dice vettore normale a γ in t .

2

0 0

R

NB: 0

·

ν (t ) γ (t ) = 0

γ 0 o

−1

0 0

ν (t ) = γ (t )

γ 0 0

1 0

2 2

∈ → ⊆

Definizione 1.2. Siano a, b R, a < b, γ : [a, b] R arco regoldare a tratti, K R compatto con interno nonnullo

⊆ ∀t ∈

t.c. tr (γ) ∂K. Diciamo che γ e‘ positivamente orientato rispetto a k se (a, b) t.c. γ sia derivabile in t

0

∃ε > 0 t.c. :

t ( ∀s ∈

K (0, ε )

t

∈ (1.2)

γ(t) + sν (t)

γ 2 ∀s ∈

R K (−ε , 0)

r t

γ e‘ negativamente orientato rispetto a K se oppγ e‘ positivamente orientato rispetto a K.

⇔

Osservazione 1.1. 1. γ e‘ positivamente orientato rispetto a K oppγ e‘ negativamente orientato rispetto a K

⇔ ∀t ∈

2. non e‘ difficile dimostrare che γ e‘ negativamente orientato rispetto a K (a, b) t.c. γ sia derivabile in t

∀s ∈

K (−ε , 0)

t

∃ε ∈

> 0 t.c. γ(t) + sν (t)

t γ 2 ∀s ∈

R K (0, ε )

r t

2 2

∈ 3 7→ ∈

Esempio 1.1. (x , y ) R , r > 0, C : [0, 2π] t (x + sin t, y + cos t) R e‘ poisitivamente orientato

0 0 0 0

(x ,y ),r

0 0

rispetto al cerchio B ((x , y ) , r).

2 0 0

R = ∂B ((x , y ) , r).

Infatti tr C 2 0 0

R

(x ,y ),r

0 0 0

∀t ∈ −r

Inoltre [0, 2π] C = r (− sin t, cos t) e quindi ν = (cos t, sin t) percio‘

C

(x ,y ),r (x ,y ),r

0 0 0 0 ( ∀s ∈

B ((x , y ) , r) (0, 2)

2 0 0

R

− − ∈ (1.3)

C + sν = (x + (1 s) r cos t, y + (1 s) r sin t)

C 0 0

(x ,y ),r

0 0 (x ,y ),r 2

0 0 ∀s ∈

B ((x , y ) , r) (−∞, 0)

R r 2 0 0

R

n o

2 2

2 2 2

∈ ∈ ≤ − − ≤

Esempio 1.2. Siano R > r (0, +∞), prendiamo la corona circolare K = (x, y) R : r (x x ) + (y y ) R

0 0

in questo caso la circonferenza C e‘ negativamente orientata, in quanto oppC e positivamente orientata.

(x ,y ),r (x ,y ),r

0 0 0 0

Definizione 1.3. Compatti Regolari

2 +

∃n ∈

Un compatto K di R si dice regolare se Z e γ , ..., γ archi chiusi semplici e regolari t.c.

1 n

n

[ tr (γ ) (1.4)

∂K = j

j=1

∩ 6

tr (γ ) tr (γ ) = se j = h (1.5)

∅

j n

∀j

e γ sia positivamente orientato rispetto a K = 1, ..., n

j

Esempio 1.3. Dall’esempio 1.1 si deduce che B ((x , y ) , r) e‘ un compatto regolare e un suo insieme di frontiere

2 0 0

R

positivamente orientate e‘ C

(x ,y ),r

0 0 n o

2 2

2 2 2

∈ ∈ ≤ − − ≤

Esempio 1.4. Siano R > r (0, +∞), la corona circolare K = (x, y) R : r (x x ) + (y y ) R e‘ un

0 0

compatto regolare: una sua frontiera positivamente orientata e‘ C , oppC

(x ,y ),R (x ,y ),r

0 0 0 0

∈ ×

Esempio 1.5. Dati a, b, c, d R t.c. a < b, c < d, allora [a, b] [c, d] e‘ un compatto regolare e una sua frontiera

positivamente orientata e‘ σ +̂σ +̂σ +̂σ

(a,c),(b,c) (b,c),(b,d) (b,d),(a,d) (a,d),(a,c) 2

Osservazione 1.2. Si puo‘ dimostrare che se γ , γ sono archi semplici e regolari a tratti in R , aventi la stessa traccia,

1 2

entrambi positivamente orientati rispetto ad un compatto K allora

Z Z

F = F (1.6)

γ γ

1 2

per ogni campo vettoriale F continuo su tr (γ ) = tr (γ )

1 2 2

n n

→ → 6

Dimostrazione. siano due archi chiusi α : [a, b] R e β : [c, d] R tali che tr (α) = tr (β), anche se β(c) = β(d) =

α(a) = α(b), esiste un t t.c. α(a) = α(b) = β(t ) e quindi l’arco equivalente β[t , d]+̂β[c, t ]

0 0 0 0

2 +

⊆ {γ } {η }, ∈

Inoltre si puo‘ notare che se K R e‘ compatto regolare e abbiamo , ..., γ , , ...η con n, m Z ,

1 n 1 m

{1,

frontiere positivamente orientate di K, allora m = n ed esiste una permutazioen σ di ..., m} t.c. tr η =

σ(j)

2

∀ →

tr (γ ) j = 1, ..., n. Ma allora se F : ∂K R e‘ continuo si ha che:

j n n n

Z Z Z

X X X

F = F = F (1.7)

γ γ η

j i

j=1 j=1 i=1

σ(j)

2 2

⊆ →

Definizione 1.4. Siano K R compatto regolare, F : ∂K R chiamiamo Integrale di F

→

(x,y)7 (F (x,y),F (x,y))

1 2

R R

sulla frontiera positivamente orientata di K, (e denotiamo con F o con F (x, y)dx + F (x, y)dy il

1 2

+∂K +∂K

numero reale n Z

X F (1.8)

γ j

j=1

+

{γ }, ∈

Dove , ..., γ con n Z , e‘ una frontiera positivamente orientata di K.

1 n + n 1

∈ →

Teorema 1.1. Siano n Z , n > 2, γ : [a, b] R arco di classe C a tratti. Allora tr (γ) e‘ un insieme di misura

n-dimensionale nulla

2 2

⊆ ∈

Corollario 1.2. Sia K R un compatto regolare, allora K J R n

S

{γ } . Quindi ∂K ha misura nulla

Dimostrazione. Sia , ..., γ una frontiera orientata di K, allora ∂K = tr (γ )

1 n j

j=1 {z }

|

misura nulla

2

∈

e percio‘ K J R 2 2

⊆ ⊇

Teorema 1.3 (Formule di Gauss-Green). Siano K R compatto regolare, U aperto di R t.c. U K,

→

f, g : U R continue e tc siano rispettivamente derivabili rispetto alla prima e alla seconda variabile, con ∂ f e ∂ g

1 2

siano continue in U . Allora valgono le seguenti formule:

ZZ Z

∂ f (x, y) dxdy = f (x, y) dy (1.9)

1

K +∂K

ZZ Z

−

∂ g (x, y) dxdy = g (x, y) dx (1.10)

2

K +∂K

2

⊆

Corollario 1.4. Sia K R un compatto regolare. Allora

Z Z

−

mis (K) = xdy = ydx (1.11)

+∂K +∂K

2 2 1

⊆ →

Corollario 1.5. Siano U R aperto, F : U R campo vettoriale di classe C . Allora per

(x,y)7→ (F (x,y),F (x,y))

1 2

⊆

ogni compatto regolare K t.c. K U si ha che:

Z Z

F = (F (x, y) dx + F (x, y) dy)

1 2

+∂K +∂K

Z Z

= (∂ F (x, y) + ∂ F (x, y)) dxdy (1.12)

1 2 2 1

K

2 R

⊆

Osservazione 1.3. Siano D R aperto, F campo vettoriale chiuso su D. Allora F = 0 per ogni compatto

+∂K

R

⊆ ⊆

regolare t.c. K D NB: se F e‘ conservativo allora F = 0 per ogni compatto regolare t.c. ∂K D

+∂K

2 R

⊆ ⇔

Teorema 1.6. Siano D R aperto, F campo vettoriale chiuso. Allora F e‘ conservativo F = 0 per ogni

+∂K

⊆

compatto regolare K t.c. ∂K D

+ 2

∈ ∈ 6 ∀j 6

Osservazione 1.4. Siano n Z , (x, y) , ... (x , y ) R t.c. (x , y ) = (x , y ) = i n punti del piano distinti. F

n n i i j j

2 {(x, |(x −

campo vettoriale chiuso su R y) , ... (x , y )}. Allora dati r , ..., r > 0t.c.∀i = 1, ..., n , y ) (x , y )| >

r n n 1 n j j h h 2

R

R

∀h 6 ⇔ ∀j

r = j si ha che F e‘ conservativo = 0 = 1, ..., n.

j C

( )

xj ,yj ,rj

Dimostrazione (⇐). ovvia. 2

⊆ ∩ {(x, 6 ⊆

Dimostrazione (⇒). sia K R compatto regolare t.c. ∂K y) , ..., (x , y )} = Se K Dom F allora

∅.

n n

R F = 0, supponiamo allora K Dom F .

*

+∂K {j ∈ {i, ∈ 6 ∀j ∈ ∈ ∃ρ ⊆

Poniamo S = ..., n} : (x , y ) K} , (S = S, (x , y ) K̊ e quindi > 0 t.c.B ((x , y ) , ρ )

∅) 2

j j j j j j j j

R

∩ 6

B ((x , y ) , ρ ) (x , y )ρ 2 = se j = h.

K. Non e‘ restrittivo supporre che ∅

2 j j j h h h

R 3

∈

((x , y ) , ρ ) , j S. Allora K e‘ un compatto regolare, e una sua frontiera positivamente

Poniamo K = K B

r 2 j j j 0

0 R S

{γ }

orientata e‘ +∂K = , ..., γ C

0 1 m (x ,y ),ρ

j∈S j j j

R R R

P

⊆ ⇒ − ⇒

K Dom F 0 = F = F

0 j∈S

∂K ∂K C

0 ( )

xj ,yj ,ρj

Z Z

X

F = F (1.13)

∂K C

j∈S ( )

x ,y ,ρ

j j j

4

2 Teorema di Dini, o della funzione implicita

2.1 Forma scalare a due variabili

Individuare da una curva di livello di un campo scalare un punto in un cui intorno puo‘ definirsi una funzione.

2

∈

Osservazione 2.1. Sia (x , y ) R , allora i rettangoli aperti, chiusi e i quadrati aperti o chiusi centrati nelpunto

0 0

costituiscono un SFI del punto. 2

⊆

Teorema 2.1 (Teorema di Dini. Enunciazione in forma scalare e in due variabili n = 1, j = 2). Siano D R

m +

→ ∈ ∪ {∞}, ∈ 6

aperto,f R di classe C (D), con m Z (x , y ) D t.c.f (x , y ) = 0 e ∂ (x , y ) = 0.

0 0 0 0 2 0 0

∃ε, − → −

Allora δ > 0 e ϕ : (x ε, x + ε) (y δ, y + δ) t.c. :

0 0 0 0

− × − ⊆

1. (x ε, x + ε) (y δ, y + δ) D (2.1)

0 0 0 0

∀ ⇔

2. (x, y) si ha che f (x, y) y = ϕ (x) N B : y = ϕ (x ) (2.2)

0 0

6 ∀ ∈ − × − ⊆, ⊆)

3. ∂ f (x, y) = 0 (x, y) (x ε, x + ε) (y y + D (2.3)

2 0 0 0 0

m −

4. ϕ sia di classe C ((x ε, x + ε)) (2.4)

0 0

∂ f (x, ϕ (x))

1

0 −

5. ϕ (2.5)

(x) = ∂ f (x, ϕ (x))

2

Dimostrazione. Non e‘ restrittivo supporre ∂ (x , y ) > 0.

2 0 0

m 1

∈ ⇒ ∈ ⇒ ⇒ ∃η − × − ∈

f C (D) f C (D) ∂ f continua in D > δ > 0 t.c. [x η, x + η] [y δ, y + δ] D e

2 0 0 0 0

∀ ∈ − × −

∂ f (x, y) > 0 (x, y) [x η, x + η] [y δ, y + δ].

2 0 0 0 0

− →

ψ : [y δ, y + δ] R

0 0 0

1

Definiamo derivabile e continua,di classe almeno C , e che ϕ (y) = ∂ f (x , y) >

2 0

7→

y f (x , y)

0

0, quindi ψ e‘ strettamente crescente. ⇒ ∃ε ∈

− − < ψ (y + δ) = f (x, y + δ), f e‘ continua (0, η] t.c.

Allora f (x, y δ) = ψ (y δ) < ψ (y ) 0 0

0 0 0

{z }

|

f (x,y )=0

0

− − ∀x ∈ − − − ⊆ −

f (x, y δ) < 0 e f (x, y δ) > 0 [x ε, x + ε], osserviamo che [x ε, x + ε]×[y δ, y + δ] [x η, x + η]×

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

− ⊆

[y δ, y + δ] D compatto regolare e quindi vale la (2.1).

0 0 − →

ψ : [y δ, y + δ] R

x 0 0

∀x ∈ −

(x ε, x + ε), definiamo [NB: ψ = ψ].

0 0 x

7→

y f (x, y) 0

0 ∀y ∈ − − −

Osserviamo che ψ e‘ derivabile e ψ (y) = ∂ f (x, y) > 0 [y δ, y + δ]. Inoltre ψ (y δ) = f (x, y δ) < 0

2 0 0 x 0 0

x ∃!y ∈ −

e ψ (y + δ) = f (x, y + δ) > 0 allora per il teorema degli zeri e per la monotonia [y δ, y + δ] t.c. ψ (y ) =

x 0 0 x 0 0 x x

∈ −

0. Osserviamo che y [y δ, y + δ].

x 0 0

− → −

ϕ : [x ε, x + ε] [y δ, y + δ]

0 0 0 0 ∀ ∈ − × −

Definiamo . Osserviamo che (x, y) [x ε, x + ε] [y δ, y + δ]

0 0 0 0

7→

x y x

si cha che ⇔ ⇔

f (x, y) = 0 ψ (y) = 0 y = y = ϕ (x) (2.6)

x x

Quindi vale la (2.2). ∀ ∈ − − ⊇ − −

Osserviamo che 0 < ∂ f (x, y) (x, y) [x η, x + η]×[y δ, y + δ] (x ε, x + ε)×(y δ, y + δ), quindi

2 0 0 0 0 0 0 0 0

vale la (2.3).

∂ f ∂ f

− × − ∃M ≥ ≤ ∀ ∈

continua su [x ε, x + ε] [y δ, y + δ] compatto, per Weiestrass 0 t.c. M (x, y)

1 1

0 0 0 0

∂ f ∂ f

2 2

− × −

[x ε, x + ε] [y δ, y + δ].

0 0 0 0 ∈ − ∀x ∈ −

Proviamo che ϕ e‘ continua. Sia x̄ (x ε, x + ε). Proviamo che ϕ e‘ continua in x̄: (x ε, x + ε),

0 0 0 0

∈ − × − ⊆

si ha che (x̄, ϕ (x̄)) , (x, ϕ (x)) (x ε, x + ε) (y δ, y + δ). Allora il segmento σ , (x, ϕ (x)) ([0, 1])

0 0 0 0 (x̄,ϕ(x̄))

1

− × − ⊆ → ⇒

(x ε, x + ε) (y δ, y + δ) D f e‘ di classe C e differenziabile in D applico il teorema di Lagran-

0 0 0 0 ∃ ∈ − ∇f ·

ge per le funzioni di n variabili: (u , v ) σ ([0, 1]) t.c. f (x, ϕ (x)) f (x̄, ϕ (x̄)) = (u , v )

x x x x

(x̄,ϕ(x̄)),(x,ϕ(x))

− − ⇒ − − ⇒

(x x̄, ϕ (x) ϕ (x̄)) = 0 ∂ f (u , v ) (x x̄) + ∂ f (u , v ) (ϕ (x) ϕ (x̄)) = 0

1 x x 2 x x

∂ f (u , v )

1 x x

− − −

ϕ (x) ϕ (x̄) = (x x̄) (2.7)

∂ f (u , v )

2 x x

Quindi: ∂ f (u , v )

1 x x

|ϕ − − |x − ≤ |x −

(x) ϕ (x̄)| = x̄| M x̄| (2.8)

∂ f (u , v )

2 x x

Per il teorema del confronto: lim ϕ (x) = ϕ (x̄) percio‘ ϕ e‘ continua in x̄. Abbiamo provato che ϕ e‘ continua in

x→x̄

−

(x ε, x + ε).

0 0

∈ − {x̄} ∃ ∈

Sia x̄ (x ε, x + ε) (u , v ) σ t.c. vale la (2.7) e quindi

r

0 0 x x (x̄,ϕ(x̄))

−

ϕ (x) ϕ (x̄) ∂ f (u , v )

1 x x

− −

= x x̄ (2.9)

−

x x̄ ∂ f (u , v )

2 x x

5

x→x̄

−−−→

Proviamo che (u , v ) (x̄, ϕ (x̄)) infatti:

x x q x→x̄

2 2 2.1

k(u − ≤ k(x, − − − −−−→

, v ) (x̄, ϕ (x̄))k ϕ (x)) (x̄, ϕ (x̄))k (x x̄) + (ϕ (x) ϕ (x̄)) 0 (2.10)

=

x x 2 2

R R

per il teorema del limite della composta (condizione ii, ovvero continuita‘ della funzione esterna) il limite vale:

−

ϕ (x) ϕ (x̄) ∂ f