Analisi matematica 2 - Appunti

P PNB: 4.22. m + 2 p = nj hj=1 h=1Ad ogni λ di molteplicita‘ m dell’equazione caratteristica di (4.30) corrispondono m soluzioni dell’equazione diffe-∀k −renziale (4.30), infatti = 0, . . . , m 1 la funzione k λx3 7→ ∈R x x e R (4.32)e‘ soluzione di (4.30).± ∈ × {0})diAd ogni coppia α iβ (con (α, β) R R molteplicita‘ p dell’equazione caratteristica di (4.30) corrispon-r ∀k −dono p coppie di soluzioni dell’equazione differenziale (4.30), infatti = 0, . . . , p 1 le funzionik αx3 7→ ∈R x x e cos βx R (4.33)k αx3 7→ ∈R x x e sin βx R (4.34)sono soluzioni di (4.30).Le n soluzioni di (4.30) cosi‘ trovate sono linearmente indipendenti. 3000 00 0 3 2 ∀λ ∈Esempio 4.23. y (x) + 3y (x) + 2y (x) + y (x) = 0 da cui λ + 3λ + 3λ + 1 = 0 (continua R) e (λ + 1) = 0.S −x

−x −x 2−1

La soluzione λ = ha molteplicita‘ m = 3. Quindi e‘ generato dalla terna e , xe , x e .

Teorema 4.23 (Risoluzione dell’equazione differenziale lineare omogenea n-dimensionale di ordine 1 a coefficienti+∈ ≥ ∈costanti). Siano n Z , n 2, A M (R). Consideriamo l’equazione differenziale lineare omogenea n-dimensionalendi ordine 1 a coefficienti costanti: −Y (x) = AY (x) (4.35)

R ∞ 2 2L’integrale generale di (4.35) e‘ un sottospazio vettoriale di dimensione n di R contenuto in C R, R .Troviamone una base.

Chiamiamo equazione caratteristica di (4.35) −det A λI = 0 (4.36)

Radici di (4.36) sono:- r (∈ N) radici reali λ , . . . , λ di molteplicita‘ rispettivamente m , . . . , m1 r 1 r± ± ∈ 6 ∀j- c (∈ N) coppie di radici complesse coniugate α iβ , . . . , α iβ (con α , . . . , α , β , . . . ,

β R e β = 0 =1 1 c c 1 c 1 c j1, . . . , c) di molteplicita‘ rispettivamente p0 , . . . , p1 rr cP PNB: 4.23. m + 2 p = nj hj=1 h=1

Ad ogni λ di molteplicita‘ m dell’equazione caratteristica di (4.35) corrisponde un sottospazio di dimensionale m∀x ∈dell’integrale generale dell’equazione differenziale (4.35) costituito da funzioni del tipo RλxY (x) e P (x) (4.37)n→ ≤ −dove P : R R ed ha per componenti dei polinomi identicamente nulli o di grado (m 1).∈

Ad ogni coppia α±iβ (con (α, β) R×Rr{0})di molteplicita‘ p dell’equazione caratteristica di (4.30) corrispondeun sottospazio di dimensionale 2p dell’integrale generale dell’equazione differenziale (4.35) costituito da funzioni del∀x ∈tipo R αxY (x) = e (Q (x) cos βx + Q (x) sin βx) (4.38)1 2n→ ≤ −dove Q , Q : R R ed hanno per componenti dei polinomi

identicamente nulli o di grado (p 1).1 2 e quindi uguale all’integrale generale di (4.35)

La somma dei sottospazi cosi’ ottenuti e’ diretta0 – –2y (x) = 4y (x) 2y (x) 41 2 01 ⇒Esempio 4.24. Y (x) = AY (x) con A (x) = .0 – –1y (x) = 3y (x) y (x) 31 22 2– –0 = det (A λI) = λ 3λ + 2 e quindi abbiamo due soluzioni: λ = 2 e λ = 1 che danno luogo a sottospazi di1 2dimensione 1 dell’integrale generale. a2xPer λ risolvo il sistema Y (x) = e e ottengo a = b.1 b c 2xPer λ risolvo il sistema Y (x) = e e ottengo c = d.2 3d 2x x y (x) = c e + c e1 1 2Quindi le soluzioni sono nella forma: 32x xy (x) = c e + c e2 1 22Teorema 4.24 (Ricerca di una soluzione particolare per equazione differenziale lineare non omogenea di 1-dimensionale→b : R R+∈ ∈ 6ordine n a coefficienti costanti). Siano n Z , a , . . . , a R t.c. a = 0,0 n n αx7→x e (q (x) cos βx + q (x)

sin βx)1 2∈con α, β R, q (x) , q (x) polinomi.1 2Consideriamo l’equazione differenziale nX (j)a y (x) = b (x) (4.39)jj=0Sappiamo gia‘ ricavare l’integrale generale dell’omogenea associata.{gradDefinisco k = max q , grad q , 0}.1 2∃ → ≤due polinomi r , r : R R identicamente nulli o di grado k t.c. la funzione1 2 ∗ →y : R R (4.40)Sia definita da:∗ αx ∀x ∈ ±y (x) = e (r (x) cos βx + r (x) sin βx) R se α iβ non sono radici dell’equazione caratteristica dell’omogenea1 2associata. 28∗ m αx ∀x ∈ ±y (x) = x e (r (x) cos βx + r (x) sin βx) R se α iβ sono radici di molteplicita‘ m dell’equazione caratteri-1 2stica dell’omogenea associata.00 xEsempio 4.25. y (x) + y (x) = e . S00 2 ±i, hcosRisolvo l’omogenea y (x) + y (x) = 0, λ + 1 = 0 e ottengo λ = da cui = x, sin

xi.0 * x xLa funzione e ha α = 1, β = 0, q (x) = 1,q (x) = 0, k = 0. Percui una soluzione particolare sara y (x) = ae ,1 2bisogna determinare a. ** 112 xx x x , quindi y (x) = e .Sostituisco y con y : ae + ae = e che da come risultato a = 2S S 12 xDa cio’ l’integrale generale = + e .0Teorema 4.25 (Ricerca di una soluzione particolare per equazione differenziale lineare non omogenea di n-dimensionalen→B : R R+∈ ≥ ∈ordine 1 a coefficienti costanti). Siano n Z , n 2, A M (R),n αx7→x e (P (x) cos βx + P (x) sin βx)1 2n∈ →non identicamente nulla con α, β R, P (x) , P (x) : R R aventi per componeneti dei polinomi.1 20Y (x) = AY (x) + B (x) (4.41)Chiamiamo k il grado massimo tra le componenti non nulle di P e P .1 2L’equazione differenziale (4.41) ha per soluzione la funzione* n→RY :R (4.42)αx7→x e (Q (x) cos βx + Q (x) sin βx)1 2n→ ≤

1. Proposizione 5.1: Siano n ∈ ℕ, D ⊆ ℝ, x ∈ D̊, f : D → ℝ⁰. Se x è punto di estremo relativo per f, allora per ogni vettore v ∈ ℝ⁰ tale che f sia derivabile rispetto a v in x, si ha che: ∂f(x) = 0 (5.1)
2. Dimostrazione: Basta osservare che 0 è punto di accumulazione relativo alla funzione definita da g(t) = f(x + tv) (5.2). Ma allora g è derivabile in 0 e g'(0) = ∂f(x) ed è uguale a 0! CVD
3. Osservazione 5.1: (Condizione necessaria del primo ordine per gli estremi relativi). Siano n ∈ ℕ, D ⊆ ℝ, x ∈ D̊, f : D → ℝ derivabile rispetto a tutte le variabili in x. Se x è punto di estremo relativo per f, allora ∇f(x) = 0 (NB: 5.2).
4. I punti di estremo relativo (assoluto) di una f da D ⊆ ℝ^m a ℝ andranno ricercati tra:
   1. I punti interni di D in cui ∇f si annulla
   2. I punti di

interni di D in cui ∇f3. I punti di frontiera di f+∈Definizione 5.1. Sia n Z . Una forma quadratica in n variabili e‘ un polinomio omogeneo q in n variabili, digrado 2 oppure identicamente nullo.

NB: 5.3. w (0 ) = 0nR +∈ ∈Definizione 5.2. Siano n Z , A M (R). Definiamo forma quadratica associata ad A:n n →q : R RA (5.3)t7 →x x Axn∀x ∈NB: 5.4. Se A = (a ) allora = (x , . . . , x ) Rij 1 ni,j=1,...,n  x1 n... X···x xq (x) = A = a x x (5.4) 1 nA ij i j  i,j=1x n S+∈ ∈Notazione. Siano n Z , A = (a ) M (R) denotiamo rispettivamente con Q e con (R) gli in-ij n n ni,j=1,...,nsiem delle forme quadratiche in n variabili e delle matrici quadrate di ordine n simmetriche a coeffisienti reali.corrispondenza biunivoca S←−−−−−−−−−−−−−−−→Q (R)n n ···a a11 1k... ....+∈ ∈ ∀kNotazione.

Siano n ∈ ℕ, A = (a_ij)^nxn e k_i,j = 1,...,n ··· a_ak1^kk ∈ ℕ^nxn

Teorema 5.2. Siano n ∈ ℕ, q forma quadratica in n variabili, sia inoltre A ∈ ℝ^nxn la matrice simmetrica associata a q. Allora:

⇔ ∀k₁. q è definita positiva det(A) > 0 = 1, ..., n k^kk

⇔ ∀k₂. q è definita negativa (−1) det(A) > 0 = 1, ..., n k^kk

≥ ∀k₃. q è semidefinita positiva det(A) ≥ 0 = 1, ..., n k^kk

≥ ∀k₄. q è semidefinita positiva (−1) det(A) ≥ 0 = 1, ..., n 30 + n