Analisi matematica 2 - appunti

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Appunti di analisi matematica II utili per superare l'esame della prof. Anna Verde. Gli argomenti trattati sono:*Successioni e serie di funzioni.*Funzioni a più variabili.*Equazioni …

Esame Analisi matematica II

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Verde Anna

Università Università degli studi di Napoli Federico II

A.A. 2016-2017

106 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Libro: Elementi di Analisi II

06-03-17

Argomenti

Successioni e Serie di Funzione
Funzioni a più Variabili
Equazioni Differenziali (Fine primo quaderno)
Curve
Forme Differenziali
Integrali Doppi
Superfici

Cos'è una successione di funzione

f_k: I → R k ∈ N

f_k converge puntualmente verso f

lim_{k → ∞} f_k(x) = f(x) ∀x ∈ I

Puntuale: dipende dal punto

∀ε > 0 &exists; k₀ ∀k > k₀ |f_k(x) - f(x)| < ε

Argomenti

Successioni e serie di funzioni.
Funzioni a più variabili.
Equazioni differenziali (fine primo quaderno)
Curve
Forme differenziali
Integrali doppi
Superfici

Esercizi: successioni di funzioni serie di potenze

Cos'è una successione di funzioni

f_k : I ∈ R → R
k ∈ N
f_k converge puntualmente verso f
lim_k→∞ f_k(x) = f(x) ∀x∈I
Puntuale: dipende dal punto
∀ε>0 ∀x∈I ∃ḱ ∀k>ḱ |f_k(x) - f(x)| < ε

f_k converge uniformemente verso f se

∀ε>0 ∃r_ε>0 : |f_k(x) - f(x)| < ε ∀r<0 ∀x∈I

oppure

f_k^u⟶f ⇒ f_k^p⟶f

importante!

E_s

f_K(x) = ^x²/_K+x² ∀x∈ℝ

f_K^?⟶0 ∀K>√ε,x

uniforme se soglia (r_ε) non deve dipendere da x

Proposizione

P_g. 10

f_k: I ⊆ ℝ → ℝ

f_{k_n} → f, f_k continue

f è continue

Dim.

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 |f(x) - f(x₀)| < ε ∀ x ∈ I: |x - x₀| < δ

∀ ε > 0 ∃ ( ε ) > 0 |f_k(x) - f(x)| < ε ∀ k > ϵ ∀ x ∈ I

Fissiamo k₀ > ∞

|f_k(x) - f(x)| = |f(x) - f_k₀(x) + f_k₀(x) - f_k₀ + f_k₀ - f(x₀)|

< |f(x) - f_k₀(x)| + |f_k₀(x) - f(x)| + |f_k₀ - f(x₀)| ≈ 3ε

∀ ε > 0 ∃ δ > 0, ∀ x ∈ I: |x - x₀| < δ |f(x) - f(x)| < ε

Es.

f_k(x) = x^k

[0,1]

x ∈ [0,1)

f_k(x) → 0
f_k(x) → 1

x = 1

Dato che il limite non è continuo

non è uniforme

f_k: [a,b] → ℝ f: [a,b] → ℝ

f_k, f continui

Allora

f_k → f (⇔) lim_k max{ |f_k(x) - f(x)| | x∈[a,b] } = 0

Es

f_k[E_x] → R cont f_k→f l cont

lim_k ∫f_k(x) dx ?= ∫lim_k f_k(x) dx

La convergenza puntale non lo garantis[c]e

uniforme

Es

f_k(x)= k⋅x⋅e^-kx

cont x ∈ [0, 1]

lim_k f_k(x) ?= 0 f(x)=0

∫₀¹k⋅x⋅e^-kxdx= [ -x/e^kx ]₀¹ =[ -₁/^e^kx+x/k² ]=

lim_k¹/₂+¹/_2k=¹/₂≠

∫0 dx=0

f_k > 0

calcolare il lim max

kxe^-kx², x ∈ [0,1]

ke^-kx² - 2kx² e^-kx² = 0

k - 2k² x² = 0

Λ - 2kx² = 0

x² = ¹⁄_2k

x = ± ¹⁄_√(2k)

tra 0 e 1

quindi prendiamo sul positivo

f_k(¹⁄_√(2k)) = ^k⁄_√(2k) ⋅ e^-¹⁄_2k - ^√k⁄_√2 e^-¹⁄_k

Teorema

f_k

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