Appunti Analisi matematica 2

LE SERIE NUMERICHE

{ }

Sia una successione di numeri reali. Definiamo serie numerica la scrittura:

∈ℕ +∞

∑

=1

Σ

Attenzione: il simbolo prende il nome di simbolo di sommatoria e fornisce un metodo comodo per

indicare una serie. Comodo ma non unico: nulla mi vieta infatti di poter scrivere esplicitamente la somma

come: + + + ⋯ + + ⋯

1 2 3

, , , ….

Questa scrittura rappresenta una somma di infiniti addendi Ma l’operatore di somma si

1 2 3 { }

effettua tra un numero finito di addendi. A tal proposito introduciamo a partire dalla successione una

nuova successione così definita:

= ; = + ; . . . ; = + +. . . + ; . ..

1 1 2 1 2 1 2

{ }

Tale successione indicata con prende il nome di successione delle somme parziali della serie

∈ℕ

+∞

∑ .

=1 { } lim

Una volta costruita tale successione si passa al limite per n che tende a +∞, cioè si considera

→+∞

e si pone: +∞

lim : = ∑

→+∞ =1

Nota: { }

- La successione dei termini della serie si dice termine generale della serie

{ }

- La successione detta successione delle somme parziali

Carattere di una serie:

Abbiamo definito la serie di termine generale come: +∞

lim : = ∑

→∞ =1

Avendo a che fare con un limite si possono avere quattro possibili casi: +∞

∑

lim

1- è un numero reale finito L. In tal caso diremo che la serie è una serie convergente

=1

→∞

e si dirà che la sua somma vale L, cioè che la somma è pari al risultato del limite.

lim = +∞,

2- cioè il limite della successione delle somme parziali è un infinito di segno positivo. In

→∞ +∞

∑

tale eventualità la serie si dirà serie divergente positivamente.

=1 +∞

∑

lim = −∞.

3- In questa circostanza la serie si dirà divergente negativamente.

=1

→∞

lim

4- non esiste. Nell’eventualità in cui il limite della successione delle somme parziali non

→∞ +∞

∑

dovesse esistere, diremo che la serie è una serie irregolare o indeterminata.

=1

Proprietà delle serie: { }

Data una successione di numeri reali, le serie numeriche:

+∞

+∞

∑ ∑

e con k>1

=1 =

hanno lo stesso carattere. In parole povere il carattere (cioè l’essere convergente, divergente o

irregolare) di una serie non cambia se si trascura un numero finito di suoi termini.

+∞

∑ { }

∈ ℕ

Una serie si dice di segno costante se per ogni i termini della successione numerica

=1

hanno tutti lo stesso, ovvero sono tutti positivi o tutti negativi, quindi in particolare: { }

∈ ℕ

- Avremo una serie a termini positivi se per ogni i termini della successione sono tutti

∈ ℕ ∶ > 0.

positivi, ovvero per ogni { }

∈ ℕ

- Avremo una serie a termini negativi se per ogni i termini della successione sono tutti

∈ ℕ ∶ < 0.

negativi, ovvero per ogni

Più nello specifico diremo che: { } ∈ ℕ

- Una serie è a termini non negativi se i termini della successione , sono non negativi

≥ 0.

(ovvero sono positivi o nulli), cioè se per ogni n numero naturale:

{ } ∈ ℕ

- Una serie è a termini non positivi se i termini della successione , sono non positivi, cioè

< 0.

se per ogni n numero naturale:

Una serie si dirà definitivamente positiva se da un certo indice in poi (diciamolo k) la successione associata

{ } ≥ : > 0.

alla serie, ossia , è a termini positivi, ovvero per ogni si ha che

(Analogamente vale lo stesso discorso per una serie definitivamente negativa)

ATTENZIONE:

Una serie di segno costante NON può essere irregolare, cioè una serie di segno costante converge o

diverge, in particolare:

- Una serie a termini positivi (o definitamente positivi) o converge o diverge positivamente;

- Una serie a termini negativi (o definitivamente negativi) converge o diverge negativamente

Come capire se una serie è a termini di segno costante: > 0

Si pone e si risolve la

disequazione trovando gli

I modi principalmente sono tre: { }

intervalli per cui è positiva e

{ }

1) Studio del segno tramite disequazioni quelli per cui è negativa.

2) Studio del segno tramite le proprietà delle funzioni elementari

3) Studio del segno per induzione (da usare solo nel caso i punti 1) e 2) falliscano)

Esempio:

Metodo uno: studio del segno tramite disequazioni

2

+3

+∞

∑

Consideriamo la serie .

=0 −1

2

+3

= > 0.

Posto , poniamo Risolvendo tale disequazione si ottiene n>1. Poiché la nostra serie

−1

parte da n=0 e per ogni n>1 abbiamo visto che è strettamente maggiore di zero, si ha che la nostra

serie è definitivamente positiva.

Condizione necessaria di Cauchy

Trovandoci di fronte ad una serie numerica di cui dobbiamo studiare il carattere, la prima cosa da fare

(tranne in alcuni casi proibitivi) è quella di controllare che sia verificata la condizione necessaria per la

convergenza (spesso nota come condizione necessaria di Cauchy).

+∞ +∞

{ } ∑ ∑

Sia una successione di numeri reali e la serie numerica ad essa associata. Se

=1 =1

converge, allora il limite della successione del termine generale vale zero:

lim = 0

→+∞ +∞

∑

In modo del tutto equivalente: condizione necessaria (non sufficiente) affinché la serie converga è

=1

{ } lim = 0.

che la successione del termine generale sia infinitesima, ovvero,

→+∞

A noi interessa la negazione di questo criterio:

Teorema di NON convergenza

:

+∞

∑

Sia una serie numerica, se risulta:

=0 lim ≠ 0 ⇒ la serie NON converge

→+∞

Ovvero, se il termine generale della serie non tende a zero la serie non converge.

Nella pratica, trovandoci di fronte ad una serie numerica di cui dobbiamo studiare il carattere la prima cosa

da fare sarà calcolare il limite e fare un’analisi preliminare: se tale limite è uguale a zero, nulla possiamo

dire sul carattere della serie; se tale limite è diverso da zero, possiamo affermare che la serie non converge.

Le cose cambiano di gran lunga se ci troviamo di fronte ad una serie a segno costante, per cui è

fondamentale saperle riconoscere.

+∞

∑

Se siamo di fronte ad una serie a termini (definitivamente) positivi e il limite del termine generale

=1

lim ≠ 0,

non vale zero, cioè allora possiamo affermare che la serie diverge positivamente.

→+∞ +∞

∑

Analogamente, se siamo di fronte ad una serie a termini (definitivamente) negativi e il

=1

lim ≠ 0 allora possiamo affermare che la serie diverge negativamente. Questo perché, come abbiamo

→+∞

visto, una serie a termini (definitivamente) positivi non può essere irregolare, cioè può solo divergere

positivamente o convergere. Quindi se non dovesse essere soddisfatta la condizione necessaria di

convergenza essa non può convergere e l’unica possibilità è che essa diverga positivamente.

(Vale discorso analogo per le serie a termini (definitivamente) negativi)

Esempio: +1

+∞

∑

Determinare il carattere della serie =1 +3

+1

=

Posto andiamo a verificare se è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza. Poiché:

+3 +1

= =1≠0

+3

→+∞

Non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza, possiamo affermare che la serie non converge, senza

{ }

dire (per il momento) nient’altro. Osserviamo però che la successione sia a termini positivi, infatti posto

+1 ≥0

+3

< −3 ≥ −1 +∞,

Tale disequazione è soddisfatta per e poiché nella serie n varia da 1 a la serie è a termini

definitivamente positivi. Non potendo essere irregolare (perché a termini definitivamente positivi) né

convergente (perché non è verificata la condizione necessaria di convergenza) essa necessariamente divergerà

positivamente.

https://www.youtube.com/watch?v=NJ4O1n3zcmg (video dove spiega bene serie geometriche e

telescopiche)

Sia q un numero reale. Si dice serie geometrica di ragione q la serie:

+∞

∑

=0

Di tale serie, semplicemente guardando il numero reale q, sappiamo praticamente tutto! Infatti:

- Se la ragione q è minore o uguale a -1, la serie geometrica è detta irregolare

- Se il modulo della ragione q è minore di 1, ossia se -1 < q < 1, la serie geometrica converge ed ha

1

per somma 1−

- Se la ragione q è maggiore o uguale a 1, la serie geometrica diverge positivamente

-1 1

irregolare converge diverge positivamente

Esempio:

2

+∞

∑ (− )

Determinare il carattere della serie e se converge determinare la somma.

=1 3 2

−

Siamo di fronte ad una serie geometrica con ragione q= che è un numero compreso tra -1 e 1. Sappiamo già

3

che essa converge, ma osserviamo che nella serie geometrica assegnata n varia da UNO a più infinito e non da

zero! Nel calcolo della somma dobbiamo quindi tener conto di questo fatto e sottrarre il termine:

0

2

0

= (− ) = 1

3

Dunque, la somma della serie sarà: 1 3 2

−1= −1=−

1− 5 5

La somma dei primi N termini della serie si calcola così facendo:

+∞ +1

1 −

∑ = 1−

=0

Si dice serie telescopica una serie del tipo:

+∞ +∞

∑ ∑

( − ) ( − )

oppure

+ = +

=1

lim ( )

Se esiste ed è finito allora tale serie converge ed ha come somma:

→∞ + +. . . +

1 2 + +. . . +

Dove k è quel numero all’interno della definizione di serie telescopica e si ottengono

1 2

sostituendo i valori 1, 2, …, k al posto di n nel termine .

Esempio: 1 1

+∞

∑ ( − )

Verificare che la serie è convergente e determinare la somma.

=1 2 2

(+2) +∞

∑ ( − )

Osserviamo che la serie proposta è una serie telescopica, poiché è del tipo con

= +

1 1

= = =

e .

+ +2

2 2

(+2)

Dato che il limite del termine generale esiste ed è finito: 1

lim ( ) = lim ( )=0

2

→+∞ →+∞

La serie data converge, e la sua somma è data da:

+ +. . . +

1 2 1 1 1

+ = = 1 = =

Essendo in questo caso k=2 la somma sarà data da . In particolare, e ,

1 2 1 2

2 2

1 2 4

1 5

+ = 1 + =

dunque la somma sarà 1 2 4 4

Una particolare serie telescopica è la serie di Mengoli:

1 1 1

+∞ +∞

∑ ∑

( ) ( − )

o equivalentemente

=1 =1

(+1) +1

La seconda forma ci permette di vedere immediatamente che si tratta di una serie telescopica. Dato che il

limite del termine generale è evidentemente finito, 1

lim ( ) = lim ( ) = 0

→+∞ →+∞

= 1.

la serie di Mengoli converge ed ha per somma 1

Si dice serie armonica la serie: +∞ 1

∑

=1

Si vede immediatamente che è una serie a termini positivi, e si dimostra che essa diverge positivamente.

Sia α un numero reale. Si dice serie armonica generalizzata la serie:

+∞ 1

∑

=1

Anch’essa, indipendentemente dal valore di α, è una serie a termini positivi e come tale non potrà essere

una serie irregolare. Possiamo essere più precisi e dire che tale serie:

- Converge se α>1

- Diverge positivamente se α≤1

Mentre per α=1 si ottiene la serie armonica.

Sia α un numero reale positivo. Si dice serie armonica a segno alterno la serie:

+∞ 1

−1)

∑(

=1

Tale serie converge per α>0.

Sia un qualsiasi numero reale. Si dice serie armonica modificata la serie:

+∞ 1

∑

(log())

=2

Tale serie: > 1 ∀

- Converge per = 1 > 1

- Converge per = 1 ≤ 1

- Diverge positivamente per < 1

- Diverge positivamente per

Esempio:

Determinare il carattere della serie: +∞ −5

∑

=1

1

−5

=

Molto semplicemente basta osservare che: . La serie considerata altro non è che la serie

5

1

+∞

∑

armonica generalizzata , con α= 5>1, e come tale converge.

=1

SERIE A TERMINI POSITIVI (necessaria verifica)

Criterio del confronto: SECONDO SCHIRRU

∑ ∑

, ≥ 0), ≤

Siano e due serie a termini positivi ( inoltre . Allora:

1) Se la sommatoria di converge allora converge anche la sommatoria di

2) Se la sommatoria di diverge allora diverge anche la sommatoria di

Dimostrazione: +

∈ ℝ

= ∑ = ∑ → 0 ≤ ≤

=0 =0

è limitata e crescente, perciò essa converge (∑ converge).

Esempio: 1

+∞

∑

Proviamo a determinare il carattere della serie: =1 2

+5+3

Dopo aver verificato che si tratta di una serie a termini positivi, procediamo con la maggiorazione:

2 2

+ 5 + 3 >

Passando ai reciproci ne ricaviamo: 1 1

<

2 2

+ 5 + 3

1 1

= =

Dove, e

2 2

+5+3 <

Ci siamo ricondotti alle ipotesi del criterio del confronto: . E dato che la serie

1

+∞ +∞

∑ ∑

= è convergente, per il criterio del confronto la serie di partenza converge.

=1 =1 2

Criterio del confronto: SECONDO YOUMATH

+∞ +∞

∑ ∑

a ≤ b

Siano due serie a termini (definitivamente) positivi. Se vale definitivamente,

n n

=1 =1

possiamo dire che:

+∞ +∞

∑ ∑

- Se diverge (positivamente) allora diverge (positivamente)

=1 =1

+∞ +∞

∑ ∑

- Se converge allora converge

=1 =1

Cominciamo con alcune importanti osservazioni:

≤

1) definitivamente vuol dire che tale diseguaglianza non deve necessariamente valere per

∈ ℕ,

ogni ma deve valere da un certo indice in poi

2) In “diverge positivamente” la parola “positivamente” è messa fra parentesi perché, essendo per

+∞ +∞

∑ ∑

ipotesi le serie a termini positivi, come tali se dovessero divergere,

=1 =1

necessariamente divergeranno positivamente

3) Se in un esercizio ci trovassimo di fronte ad una serie a termini negativi dovremmo trasformarla in

una serie a termini positivi, fatto ciò possiamo tranquillamente utilizzare il criterio del confronto

4) L’enunciato del criterio del confronto ha al suo interno due serie, mentre negli esercizi avremo

sempre da studiare il carattere di una sola serie

Esempio: 1

+∞

∑

Determinare il carattere della serie: =1 2

+5+3

Verifichiamo innanzitutto che sia soddisfatta la condizione necessaria di convergenza:

1

=0

2

+ 5 + 3

→+∞

Essendo soddisfatta non si può dire nulla sul carattere della serie. Notiamo che sia però una serie a

termini positivi, quindi procediamo con il criterio del confronto:

2 2

+ 5 + 3 >

Passando ai reciproci ne ricaviamo

1 1 1 1

< = , =

2 2 2 2

+ 5 + 3 + 5 + 3

1

+∞

∑ =

Ci siamo ricondotti alle ip