Appunti Analisi matematica 2

SERIE DI FUNZIONI

( ()) ⊆ ℝ

Sia una successione di funzioni reali di variabile reale definite su un insieme a valori nei

∈ℕ

reali. Definiamo serie di funzioni la successione delle somme parziali:

() = () ()

1 1 Chiameremo termine generale

() = () + () della serie di funzioni

2 1 2

⋮

() = () + ()+. . . + + ()

1 2

Ci sono tre possibili comportamenti per una data serie di funzioni: ( )

∈

- Converge in un punto se converge la successione delle somme parziali e questo

0 0

equivale a chiedere che esista finito il limite: ( ) )

= (

0 0

→∞

∈

- Diverge in se diverge la successione delle somme parziali, e quindi:

0 ( )

= +∞ −∞

o

0

→∞

∈

- È irregolare in se è irregolare la successione delle somme parziali, cioè:

0 ( )

∄

0

→∞

Noi siamo ovviamente interessati maggiormente al primo caso e a quella che viene chiamata convergenza

puntuale delle serie di funzioni.

∞

∑ () ⊆

Diremo che la serie converge ad una funzione f puntualmente in un insieme se e solo se

=1 ∈ > 0

(per definizione) per ogni e per ogni riusciamo a determinare un indice , dipendente da e

,

da x tale che: | () − ()| < >

per ogni

,

Ovvero: |

∀ ∈ , ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ: () − ()| < ∀ >

, ,

Lo studio di una convergenza puntuale di una serie di funzioni può essere svolto tranquillamente

∈

utilizzando i criteri studiati per le serie numeriche, questo perché fissato la serie di funzioni

0

∞

∑ () si riduce ad una semplice serie numerica.

=1

Oltre alla convergenza puntuale, esiste anche la convergenza uniforme che è un concetto diverso da quello

∞

∑ () ⊆

precedente. Una serie converge uniformemente ad una funzione S(x) nell’insieme se per

=1

> 0 ∈ ℕ, ,

ogni riusciamo a determinare un indice che non dipende più da x ma dalla sola tale che:

| () − ()| < ∈

per ogni n > per ogni

Ovvero: |

∀ > 0, ∃ ∈ ℕ: () − ()| < ∀ > , ∀ ∈

∞

∑ ()

Una serie converge totalmente ad una funzione S(x) nell’insieme A se esiste una successione di

=1 ∞

| ∑

( ) ()| ≤ ∀ ∈

numeri reali non negativi tale che e la serie numerica converge.

∈ℕ

=1

La convergenza totale implica la convergenza uniforme, la quale implica la convergenza puntuale. Lo studio

della convergenza totale può avvenire in più modi:

- Ci si appoggia a disuguaglianze note

()

∞

∑

Un esempio: la serie converge totalmente e quindi uniformemente perché

=1 3

() 1

≤ ∀ ∈ ℝ ∈ ℕ

| |

3 3

1 1

∞

∑

=

La successione di cui necessitiamo per innescare la definizione è e poiché

=1

3 3

ℝ

converge allora la serie di partenza converge totalmente e quindi uniformemente in

| ()|

- Si studia il massimo assoluto/estremo superiore della funzione al variare di n

Così facendo otterremo una successione di valori reali che assumerà il ruolo nella definizione

1

∞

∑ ℝ.

Un esempio: la serie converge totalmente in Il termine generale della serie in valore assoluto

=1 2 2

+

è: 1

| ()| ()

= =

2 2

+

Determiniamo i massimi della generica funzione calcolando la derivata prima rispetto alla variabile x

2

′ () = −

2 2 2

( )

+ 1

∈ ℕ, (0) =

Si verifica facilmente che x=0 è punto di massimo assoluto per ogni il massimo è e poiché

2

1

∞

∑ converge allora abbiamo assicurata la convergenza totale e quindi uniforme.

=1 2

TEOREMA SULLA CONTINUITÀ DELLA SOMMA DI UNA SERIE DI FUNZIONI

∞

∑ ()

Sia una serie di funzioni reali e continue in A che converge uniformemente in A verso la

=1

funzione S(x) allora la funzione S(x) è continua in A.

Implicitamente stiamo affermando che: ∞ ∞

lim ∑ () = ∑ lim ()

→ →

0 0

=1 =1

TEOREMA DI INTEGRAZIONE PER SERIE DI FUNZIONI

∞

∑ [,

() ]

Se la serie converge uniformemente ad una funzione S(x)in un intervallo allora:

=1 ∞

∫ () = ∑ ∫ ()

=1

TEOREMA DI DERIVABILITÀ PER LE SERIE DI FUNZIONI

∞

∑ ()

Consideriamo la serie che converge puntualmente in S(x) nell’intervallo I. supponiamo che

=1

∞

∑ ′ () ∈

converga uniformemente ad una funzione T(x) per ogni allora:

=1

- S(x) è derivabile in I

- S’(x)=T(x)

Criterio di Weierstrass:

() ⊆ ℝ.

Sia una successione di funzioni definite in Sia una successione numerica tale che:

| ()| ≤

∑ ∑

∀ ∈ . ()

Da un certo k in poi e converge, allora converge uniformemente alla sua

funzione somma.

Esempio: 4

sin

∞

∑ , ∈ ℝ.

Studiamo la convergenza puntuale e uniforme della serie =1 √

Osserviamo che 4

sin 1

| |≤ , ∀ ∈ ℝ

√ √ 1 1

∞

∑

=

È possibile applicare il Criterio di Weierstrass con in quanto la serie converge (serie

=1 3

⁄

√ 2

3

⁄ > 1).

armonica generalizzata con esponente Dunque, la serie converge uniformemente e quindi

2

ℝ.

anche puntualmente in

CONVERGENZA TOTALE DI UNA SERIE DI FUNZIONI

∞

∑ () ()

Una serie converge totalmente ad una funzione nell’insieme A se esiste una successione

=1 ∞

| ∑

( ) ()| ≤ ∀ ∈

di numeri reali non negativi tale che e la serie numerica converge.

∈ℕ

=1

Quindi la convergenza totale implica la convergenza uniforme, e la convergenza uniforme a sua volta

implica la convergenza puntuale. SERIE DI POTENZE

∈ ℝ ( )

Sia e una successione di numeri reali. La serie

0 ∈ℕ +∞

∑ ( − )

0

=0

si dice serie di potenze di coefficienti e punto iniziale (o centro) .

0

Osservazioni:

1- Una serie di potenze altro non è se non una particolare serie di funzioni

2- Una serie di potenze del tipo citato prima convergerà sempre (per com’è definita) nel punto ,

0

pertanto l’insieme I di convergenza di una serie di potenze sarà sempre non vuoto!

∞

∑ ̅ ̿ ≠ 0,

Proposizione 2.24: se la serie con ha i termini limitati, in particolare se converge,

=0

∞

∑ || |̿ |

<

allora la serie di potenze converge assolutamente per ogni x tale che

=0 ∞

∑ ≠ 0,

Corollario 2.26: se una serie di potenze converge in un punto allora converge

1

=0 ≠ 0,

assolutamente nell’intervallo aperto (-| |;| |); se non converge in un punto allora non

1 1 2

converge in nessun punto delle semirette (| |, +∞) e (-∞,| |).

2 2

∞

∑

Teorema 2.27: data la serie di potenze , si possono presentare tre casi:

=0

1) la serie converge solo in x=0 ∈ ℝ,

2) la serie converge puntualmente e assolutamente per ogni inoltre converge uniformemente

[, ]

in ogni intervallo chiuso e limitato ,

3) la serie converge puntualmente e assolutamente per - < x < inoltre converge uniformemente in

[, ] ⊂ (−; ).

ogni intervallo Infine, la serie non converge per ogni x tale che |x|>

Mi riferisco al libro Canuto-Tabacco

Definiamo il raggio di convergenza (R) di una serie di potenze come il valore reale:

+∞ [0,

: = ∈ ℝ| ∑ ∈ +∞)

{ }

=0 0, +∞

O ancora, il raggio di convergenza di una serie (che esiste sempre) sarà o un numero reale positivo.

Questo valore è facilmente determinabile attraverso l’uso del criterio del rapporto e del criterio della

radice:

Criterio d’Alembert o del rapporto: Criterio di Cauchy-Hadamard o della radice:

0 = +∞ 0 = +∞

+∞ = 0 +∞ = 0

+1 |

lim = = lim √| = =

| | { {

1 1

→+∞ →+∞

0 < < +∞ 0 < < +∞

Se esiste! Se esiste!

±

ATTENZIONE: il criterio 2.27 non dice nulla su cosa accada per [,

= 0 ] , ∈ ℝ

- Per la serie converge uniformemente per ogni intervallo

0 < < +∞

- Per il criterio 2.27 ci assicurano la convergenza puntuale, quindi la convergenza

(−; )

uniforme avviene in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto

= +∞

- Per e quindi R=0 non vi è convergenza u