Appunti analisi 2

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 2

INSIEME APERTO

A ⊆ ℝⁿ è un insieme aperto di ℝⁿ se, ∀x∈A ∃r>0 tc ∀y _{/ |y - x|} < r ⇒ y∈A

B(P,x)∩C(P)⇒ allora P è un punto di frontiera per A

NB

• Il complementare di un insieme aperto si dice chiuso

COROLLARIO

• C(A) = {x∈ℝⁿ ⇒ |x|<1} è un insieme chiuso. Per i punti di frontiera devo prendere quelli a distanza 1 ⇒ |x|=1 = FRONTIERA!

NORMA EUCLIDEA

• Per ogni p∈ [1,+∞] la funzione ||.||_p:ℝⁿ -> ℝⁿ è una norma su ℝⁿ

• x = (x₁, x₂, x₃, ..., x_n)∈ℝⁿ

• |x|₁ = ⁿ_i=1Σ |xi|
• |x||_∞ = max |xi| ; i = 1, 2, n

• |x||_∞ <1
• |x||_∞≤1

NB

• ℝⁿ è aperto quando ∅ dovrebbe essere chiuso essendone il complementare una lo si pone aperto

Teorema di Schwarz

Derivando prima rispetto ad una variabile e poi rispetto all'altra il risultato non cambia, l'ordine con cui vengono eseguite le derivate parziali non influisce sul risultato finale.

1^o ordine con resto di Peano

f: A ⊆ ℝ^N → ℝ derivabile quanto basta, x₀ ∈ A

1. N = 1

   f(x₀ + h) = f(x₀) + f'(x₀) h + o(|h|)

   h → 0

2. N > 1

   f(x₀ + h) = f(x₀) + ∇f(x₀) ⋅ h + o(∥h∥)

   h → 0

f è differenziabile se vale lo sviluppo di Taylor di 1^o ordine con resto di Peano

L'o-piccolo sta a significare che

lim_{h → 0} ^{f(x₀ + h) − f(x₀) − ∇f(x₀)⋅h}/_∥h∥ = 0

1^o ordine con resto di Lagrange

f ∈ C¹(B_R(x₀))   B_R(x₀) = {x ∈ ℝⁿ | ∥x - x₀∥ ≤ R}

1. N = 1

   f(x₀ + h) = f(x₀) + f'(x₀) h + ¹/₂ f''(x₀ + θh) h²

   θ ∈ (0,1)

2. N > 1

   f(x₀ + h) = f(x₀) + ∇f(x₀) ⋅ h + ¹/₂ D²f(x₀ + tθh)h ⋅ h

   θ ∈ (0,1)

D²f = Matrice Hessiana

( f_x1x1 ⋯ f_x1xn ) ( f_xnx1 f_xnxn )

( D²f h, h ) = ∑_i=1ⁿ (Df_h)_i ⋅ h_i = ∑_{i, j} ( ∑_i f_{xi xj hi hj )}

− ∑_{i, j} f_xixj h_i h_j

Condizione Sufficiente

Se f: A ⊂ Rⁿ → R è una funzione di classe C² in un intorno di xo, punto critico di f interno ad A, se la matrice hessiana Df²(xo) è:

• Df²(xo) def. positiva ⇔ xo min rel
• Df²(xo) def. negativa ⇔ xo max rel
• Df²(xo) indefinita ⇔ xo no max no min

Non è una cond. necessaria!!

Condizione Necessaria

Se f: A ⊂ Rⁿ → R è una funzione di classe C² in un intorno di un punto xo di minimo (o di massimo) relativo interno ad A, allora la matrice hessiana Df²(xo) in xo è semidefinita positiva (semidefinita negativa)

• Df²(xo) semidef. pos ⇔ xo max rel
• Df²(xo) semidef. neg ⇔ xo min rel

TEOREMA FUNZIONI IMPLICITE IN PIÚ VARIABILI

Sia F(x, y, z) ∈ C¹(A) con A ⊂ R³ aperto. Sia (x₀, y₀, z₀) ∈ F t.c.:

• F(x₀, y₀, z₀) = 0
• F_z(x₀, y₀, z₀) ≠ 0

Allora ∃ un intorno B_r(x₀, y₀) ⊂ J di z₀ tc ∀(x, y, z) ∈ B_c(x₀, y₀) × J ∃! z = φ(x, y) tc F(x, y, φ(x, y)) = 0.

In particolare φ(x₀, y₀) = z₀. Inoltre si ha:

• φ_x(x, y) = -F_x(x, y, φ(x, y)) / F_z(x, y, φ(x, y))
• φ_y(x, y) = -F_y(x, y, φ(x, y)) / F_z(x, y, φ(x, y))

ESPLICITAZIONE DI SISTEMI (2×3)

(S^I) | F(x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0

Locali ⇔ y = f(x)

z = g(x)

Sia P₀ = (x₀, y₀, z₀) soluzione di S ⇒ F(P₀) = G(P₀) = 0

Sopp. F, G ∈ C¹(A) con A aperto di R³ e sopp. anche che F_z(P₀) ≠ 0 per cui localmente la prima equiv può scriversi nella forma z = φ(x, y).

G(x, y, φ(x, y)) = 0 = ψ(x, y)

G(x₀, y₀, φ(x₀, y₀)) = 0 = G(P₀) = ψ(x₀, y₀)

Derivate parziali:

φ_y(x₀, y₀) = G_y(P₀) - G_z(P₀)φ_y(x₀, y₀)

Per poter applicare Dini devo imporre φ_y ≠ 0 quindi.

(F_yG_z - G_yF_z)(P₀) ≠ 0

equivalenti

det (∂(F,G) / ∂(y,z)) (P₀) ≠ 0

RIASSUNTO

DINÌ

Data una funzione \( g: A \to \mathbb{R} \) con un punto \((x_0, y_0) \in A\) possiamo applicare il teorema di Dinì a g nel caso in cui:

• g(x_0, y_0) = 0
• g_y(x_0, y_0) \neq 0

Quando la funzione \( y(x) \) tc risulti

• y(x_0) = y_0
• \( \dot{y}(x) = - \left[\frac{g_x(x, y)}{g_y(x, y)}\right] \)

DINÌ IN PIÙ VARIABILI

Data una funzione \( g(x, y, z): A \to \mathbb{R}^2 \) con \((x_0, y_0, \overline{z_0}) \in \mathbb{R}^3\) tc.

• g(x_0, y_0, \overline{z_0}) = 0
• g_z(x_0, y_0, \overline{z_0}) \neq 0

Allora la funzione \( \overline{z}(x, y) \) tc risulti:

• \(\overline{z}(x_0, y_0) = \overline{z_0}\)
• \( \frac{\partial \overline{z}}{\partial x} = - \left[\frac{g_x(x, y, \overline{z})}{g_z(x, y, \overline{z})}\right] \)
• \( \frac{\partial \overline{z}}{\partial y} = - \left[\frac{g_y(x, y, \overline{z})}{g_z(x, y, \overline{z})}\right] \)

ASSOLUTA INTEGRABILITÀ

f_[a,b] → ℝ integrabile secondo Riemann su ∀ϵ(a,b) Diciamo che f è assolutamente integrabile in (a,b) se esiste finito l'integrale improprio ∫_a^b|f(x)| dx

TEOREMA

f assolutamente integrabile in ⇒ f integrabile in e inoltre |∫_a^bf(x)dx| ≤ ∫_a^b|f(x)| dx

NB

• Il criterio della convergenza assoluta è una condizione sufficiente per la convergenza dell'integrale.

CONFRONTO TRA INTEGRALI IMPROPRI E SERIE

Sia f_[1,+∞) → (0,+∞) decrescente Allora l'integrale improprio ∫^∞₁f(x)dx e la serie ∞ ∑f(n) hanno lo stesso carattere

NB

• ∑a_n converge ⇒ lim n→∞ a_n=0
• f(x)dx converge ⇒ lim x→∞f(x)=0 con f continua