Appunti analisi 2

APPUNTI DI

ANALISI

MATEMATICA 2

APPUNTI DI

ANALISI

MATEMATICA 2

INSIEME APERTO

A ⊆ Rⁿ è un insieme aperto di Rⁿ se, ∀ x ∈ A ∃ r > 0 t.c |y_i - x_i| < r ^{∀ i} p I[|y_i - x_i| < r] = B(x, r) I[|y - x| < r] = B(x, x) = comprendendo il bordo!

PUNTO DI FRONTIERA

P t.c ∀ r > 0 B(P, x) ∩ ≠ ∅ e B(P, ∃ n) C(P, A) ≠ ∅ allora P è un punto di frontiera per A

• NB
• Il complementare di un insieme aperto si dice chiuso

COROLLARIO

• C(A) = {x ∈ Rⁿ, |x|≤ 1} è un insieme chiuso Per i punti di frontiera devo prendere quelli a distanza ≥ 1: |x|≤ 1 - FRONTIER!

NORMA EUCLIDEA

Per ogni P ∈ [1, +∞) la funzione ||.||_P: Rⁿ → R è una norma su Rⁿ

• x = (x₁, x₂, x₃, ... x_n) ∈ Rⁿ
• ||x||_P = ( ∑_i=1ⁿ (|x_i| ^p) )^n/p
• •  ||x||₁ = |x|
• •  ||x||_infinito = max {|x_i|; i = 1, 2, .. n}

||x||_infinito ≤ |x| ≤ 1 •  ||x|| = max {|x|; i = 1, 2, ...}

• As R⁺ è convesso se p, q ∈ A, ∀ t ∈[0, 1] tp+(1-t)q ∈ A segmento di estreme p, q INSIEME CONVESSO
• A è limitato se ∃ R > 0 tc A ⊆ B (o, R) INSIEME LIMITATO
• A è connesso se ∀p, q ∈ A , ∃ una curva che li congige, contenuta in A INSIEME CONNESSO
• A è compatto se è sia chiuso che limitato INSIEME COMPATTO
• Sia f: A ^⊆ ℝ² _→ ℝ e (x₀, y₀) ∈ A con A aperto

f si dice differenziabile in (x₀, y₀) se f può essere approssimata, a mezzo di un resto infinitesimo, da una trasformazione lineare, da una derivata parziale

per calcolare in tale punto (x₀, y₀) e

+ O (⎢⎢(x- x₀⎢⎢, ⎢⎢y - y₀)⎢⎢)

Teorema Differenziabile Totale

Una funzione differenziabile in un punto è una funzione che può essere approssimata a meno di un resto infinitesimo, da una trasformazione lineare in un intorno abbastanza piccolo del punto. Affinché ciò si verifichi è necessario che tutte le derivate parziali nel punto esistano.

La condizione di esistenza è sufficiente se le derivate parziali sono definite anche in un intorno del punto e continue nel punto.

Sia A aperto e sia f: A ⊂ R² → R. Se f ∈ C(A) ovvero è continue e dotata di derivate parziali continue in P, allora f è differenziabile in ogni punto di A.

Matrice Jacobiana

La matrice delle derivate parziali:

D_f = \(\begin{pmatrix} (f_1)_{x} & (f_1)_{y} \\ (f_2)_{x} & (f_2)_{y} \\ (f_3)_{x} & (f_3)_{y} \end{pmatrix}\)

Derivate di Funzioni Composte

\(f: A\) ⊂ R² → R

\(g: R^2\) → A

\(f \left( g(x, y) \right) = f \left( g_1(x, y), g_2(x, y) \right)\)

\(\frac{∂}{∂x} f \left( g(x, y) \right) = f_s \left( g(x, y) \right) (g_1)_{x}(x, y) + f_t \left( g(x, y) \right) (g_2)_{x}(x, y)\)

\(\frac{∂}{∂y} f \left( g(x, y) \right) = f_s \left( g(x, y) \right) (g_1)_{y}(x, y) + f_t \l