Appunti Analisi 2

CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI

INTRODUZIONE

• funzioni di 1 variabile: \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \quad f(x), x \in \mathbb{R}\)
• funzioni di più variabili: \(f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\) con \(n \geq 2\)
• \(f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \quad con \quad \mathbb{R}^n = \{(x_1, \ldots, x_n) \quad x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}\}\)

SPAZIO EUCLIDEO \(\mathbb{R}^2\)

vettore \(p \rightarrow (x_1, x_2)\) coordinate del punto \(P\)

OPERAZIONI IN \(\mathbb{R}^2\)

• \(\mathbb{R}^2 = \{(x_1, x_2) \quad x_1, x_2 \in \mathbb{R}^2\}\)
• Somma tra 2 vettori in \(\mathbb{R}^2\)
  • \(p = (p_1, p_2) \quad q = (q_1, q_2) \in \mathbb{R}^2\)
  • \(p + q = (p_1 + q_1, p_2 + q_2)\)
• Moltiplicazione per un numero reale \( \alpha \in \mathbb{R}\)
  • \(\alpha \cdot p = (\alpha p_1, \alpha p_2)\)

PROPRIETÀ

• Commutativa: \( p + q = q + p \)
• Associativa: \(\alpha, \beta \in \mathbb{R} \quad \beta (\alpha p) = \alpha (\beta p) \)
• Distributiva: \(\alpha (p + q) = \alpha p + \alpha q \)
• Vettore nullo: \( \overline{0} = (0, 0) \quad p + 0 = p \)
• Inverso: \(-p = (-1) \cdot p = (-p_1, -p_2)\)

Gli elementi di \(\mathbb{R}^2\) si chiamano vettori (spazio vettoriale \(\mathbb{R}^2\))

CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI

INTRODUZIONE

• funzioni di 1 variabile: f:ℝ→ℝ f(x), x∈ℝ
• funzioni di più variabili: f(x₁,x₂,...,xₙ) con n≥2
• f:ℝⁿ→ℝ con ℝⁿ={(x₁,...,xₙ)|x₁,...,xₙ ∈ ℝ}

SPAZIO EUCLIDEO ℝ²

vettore p=_(x₁,x₂) coordinate del punto P

OPERAZIONI IN ℝ²

• ℝ²={(x₁,x₂)|x₁,x₂ ∈ ℝ²}
• Somma tra 2 vettori in ℝ²
  • p=(p₁,p₂) q=(q₁,q₂) ∈ ℝ²
  • p+q=(p₁+q₁,p₂+q₂)
• Moltiplicazione per un numero reale α ∈ ℝ
  • α·p=(αp₁,αp₂)

PROPRIETÀ

• Commutativa: p+q=q+p
• Associativo : α,β ∈ ℝ β(αp)=α(βp)
• Distributiva: α(p+q)=αp+αq
• Vettore nullo: 0⃗ =(0,0) p+0⃗ =p
• Inverso : -p=(-1)·p=(-p₁,−p₂)
• Gli elementi di ℝ² si chiamano vettori (spazio vettoriale ℝ²)

DEFINIZIONE DI SPAZIO EUCLIDEO

È uno spazio vettoriale unito dal prodotto scalare

• in ℝ²

Prodotto Scalare <p,q> = |p|·|q|·cos⟨p,q⟩

• p₁ = |p| cos β
• p₂ = |p| sen β
• q₁ = |q| cos θ
• q₂ = |q| sen θ

DEFINIZIONE PRODOTTO SCALARE

p·q = |p| |q| cos⟨θ - β⟩ = p₁|q₁|(cos β cos θ + sen θ sen β) = |p| cos β · |q| cos θ + |p| sen β · |q| sen θ = p₁q₁ + p₂q₂

PROPRIETÀ DEL PRODOTTO SCALARE

• Simmetria: p·q = q·p
• Bilinearità: α∈ℝ e r vettore
• (p·q)r = (p·r) + (q·r)
• (2p)q = α (p·q)
• Prodotto per se stesso: p·p = p² ≥ 0 ∀ p ∈ℝ²
• p·p = 0 ←→ p = 0

NORMA DI UN VETTORE (LUNGHEZZA)

• La norma di un vettore p ∈ℝ²
• |p| = √p·p si dice Norma Euclidea di p

PROPRIETÀ DELLA NORMA EUCLIDEA

• |p| > 0
• (|p| = 0 ←→ p = 0)
• α ∈ℝ e p ∈ℝ²
• |αp| = |α| |p|
• α²(p·p) = α|p| = |α||p|
• |p + q| ≤ |p| + |q| Disuguaglianza Triangolare

Spazio Euclideo Rⁿ

Definizione

• n-upla di numeri reali.
• x ∈ Rⁿ x = (x₁, ..., x_n)

Rⁿ è uno spazio vettoriale

Operazioni in Rⁿ

• Somma x+y = (x₁+y₁, ..., x_n+y_n)
• Prodotto αx = (αx₁, ..., αx_n)

Proprietà

• ō = (0, ..., 0) vettore nullo. ∀x x+ō=x
• -x=(-1)x = (-x₁, ..., -x_n)
• -(-x)=x

Prodotto Scaler in Rⁿ

• x∙y = x₁∙y₁ + x₂∙y₂ + ...

x∙y = Σ_j=1ⁿ x_j∙y_j

Le proprietà del Prodotto Scalare in Rⁿ sono uguali a R²

• Commutativa: x∙y = y∙x
• Bilinearità: x(y+z) = xy + xz (z vettore in Rⁿ)
• Con se stesso: x∙x = x₁² + ... + x_n² ≥ 0 ∀x ∈ Rⁿ
• x∙x =