Appunti Analisi 2

CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI

INTRODUZIONE

• Funzioni di 1 variabile: f: ℝ → ℝ
• Funzioni di più variabili: f(x₁,...,x_n) con n ≥ 2

f: ℝⁿ → ℝ con ℝⁿ = {(x₁,...,x_n) tale che x_i ∈ ℝ}

SPAZIO EUCLIDEO ℝ²

Vettore p ↔ (x₁,x₂) coordinate del punto P

OPERAZIONI IN ℝ²

• ℝ² = {(x₁, x₂) | x₁, x₂ ∈ ℝ}
• Somma tra 2 vettori in ℝ²
  • p = (p₁,p₂) q = (q₁,q₂) ∈ ℝ²
  • p + q = (p₁ + q₁, p₂ + q₂)
• Moltiplicazione per un numero reale α∈ℝ
  • α ⋅ p = (αp₁, αp₂)

PROPRIETÀ

• Commutativa: p + q = q + p
• Associativa: α, β ∈ ℝ β (αp) = α (βp)
• Distributiva: α (p + q) = αp + αq
• Vettore nullo: 0̅ = (0,0) p + 0̅ = p
• Inverso: -p = (-1) ⋅ p = (-p₁, -p₂)

Gli elementi di ℝ² si chiamano vettori (spazio vettoriale ℝ²)

DEFINIZIONE DI SPAZIO EUCLIDEO

È uno spazio vettoriale unito dal prodotto scalare

Prodotto Scalore <p,q> = |p| . |q| cos(^pq)

• p₁ = |p| cos β
• p₂ = |p| sen β
• q₁ = |q| cos δ
• q₂ = |q| sen δ

DEFINIZIONE PRODOTTO SCALARE

p . q = |p| |q| cos (β - δ) = |p| |q| (cos β . cos δ + sen β . sen δ)

= |p| cos β . |q| cos δ + |p| sen β . |q| sen δ = p₁q₁ + p₂q₂

PROPRIETÀ DEL PRODOTTO SCALARE

• Simmetria: p . q = q . p
• Bilinearità: α ∈ R e r vettore
  • (p . q) r = (p . r) + (q . r)
  • 2p . q = α (p . q)
• Prodotto per sé stesso: p . p = p² ≥ 0 ∀ p ∈ R²
  • p . p = 0 <=> p = 0

NORMA DI UN VETTORE (LUNGHEZZA)

• La norma di un vettore p ∈ R² |p| = √(p . p) si dice Norma Euclidea di p

PROPRIETÀ DELLA NORMA EUCLIDEA

• √(p) |p| > 0 (|p| = 0 <=> p = 0)
• α ∈ R e p ∈ R²
  • |αp| = |α| |p| <=> √(α²(p . p)) = |α| √(p . p) = |α| |p|
• |p + q| ≤ |p| + |q| Disuguaglianza Triangolare

Proprietà delle famiglie di insiemi

• Sono valide ed equivalenti le seguenti affermazioni:
  • Sia A_i (i ∈ I) una famiglia di insiemi aperti allora la loro unione è un insieme aperto.
  • Sia C_j (j ∈ J) una famiglia di insiemi chiusi allora la loro intersezione è un insieme chiuso.
  • Sia A_i, ..., A_n una famiglia finita di insiemi aperti, ∩_i=1ⁿ A_i aperto.
  • Sia C₁, ..., C_n una famiglia finita di insiemi chiusi, ∪_j=1ⁿ C_j chiuso.
  • ∀j, ∃n Br(x) ⊆ A_j per ∀j e r min {x₁, ..., x_n}

Chiusura e compattezza di un insieme

• Sia D un sottoinsieme di Rⁿ, la sua chiusura D è l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono D.
  • D = ∩_C⊇D C con C chiuso
  • D è l'insieme chiuso più piccolo che contiene D
• Un insieme K ⊆ R si dice compatto se è chiuso e limitato
  • Limitato vuol dire che K ⊆ Br(b) per n sufficientemente grande

Definizione di derivata direzionale e parziale

• Sia f una funzione che va da Rⁿ → R, x^o ∈ Rⁿ, l ∈ Rⁿ con |l| ≠ 0
• Sia ψ(t) = f(x^o + tl)
• Se ψ(t) è derivabile in t = 0
• Allora f si dice derivabile in x^o in direzione di l
• ψ'(0) si dice la derivata direzionale di f in x^o in direzione l
• ψ'(0) = ^∂f/_∂lx^o

Rapporto tra derivata direzionale e parziale

• La derivata direzionale di direzione dell’asse i:
• Si chiama derivata parziale e si conclude
• ^∂f/_∂eix^o = ^∂f/_∂xix^o
• e_i, e_j, e_k direzioni degli assi
• e₁ = (1, 0, 0, ... , 0) e f(x^o + te₁) = f(x_i^o + x₂^o, x^no) = φ(t)
• ^∂f/_∂xi^o = lim_t→0 [f(x_i^o + x₂^o + x^no + x^o)] - f(x_i^o, xⁿ) / t
• La regola per calcolare la derivata parziale è "fissare tutte le variabili tranne x_i e derivare in x_i"

Matrice di Jacobi

• Costruisco la matrice delle derivate parziali prime

_{f1x1 f1x2} ... _{f1xn f2x1 f2x2} ... _f2xn ... _{fmx1 fmx2} ... _fmxn

• J_f ∈ R^m×n

• J_f si dice Matrice di Jacobi della funzione f
• Per m=1
  • J_f = ∇f₁ = grad f
  • cioè J_f = (f_x1, ..., f_xn)
• Per m=n
  • f: Rⁿ→Rⁿ
  • J_f è una matrice quadrata, ne possiamo definire il determinante: det(J_f) si dice Jacobiano

Differenziale di una funzione composta

• Sia f: R^r→R^m e g: R^m→R^k
• Sia f differenziabile in x⁰ (in U₀ ⊆ R^r gli f₁, ..., f_m)
• e g differenziabile in f(x)
• Allora la composizione g(f(x)) è differenziabile in x⁰
  • e il differenziale della composizione coincide con la composizione dei differenziali: df_x0 e dg_f(x0)
• O in "coordinate" J_g(f(x))(f(x)) · J_f(x0) · J_f x
• Ad ogni modo il differenziale della composizione è uguale alla composizione dei differenziali
• (In R^m→R^k il differenziale è J_f|_x0)