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Numeri Complessi.
Riconduciamo ℝ2 = {(x; y) / x, y ∈ ℝ}
Definiamo 2 operazioni su ℝ2:
1) (x1; y1) + (x2; y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
Interpretazione geometrica:
2) Prodotto: (x1; y1) (x2; y2) = (x1x2 - y1y2, x1y2 + y1x2)
Interpretazione geometrica:
- Opposto / elemento neutro
(x1; y1) - (x1; y1) = (0; 0)
(x1; y1) + (0; 0) = (x1; y1)
(x1, y1) (1; 0) = (x1, y1)
Elemento neutro
OSS: Ogni elemento (x; y) ∈ ℂ \ {(0; 0)}
Rispetta la moltiplicazione:
Infatti: (x; y) (
x / x2 + y2
(x2 - y2) = Y + i X
(x; 0) ∈ ℝ
Ricapitolando
Opposto
El. neutro
Prodotto
Si può verificare che (ℝ, +, ·) è un campo, ed è il campo dei numeri complessi.
In ℂ si considera una copia isomorfa di ℝ:
Osservazioni:
(0; i)⃝(0; i) = (–1; 0) i² = –1
Definizione:
(0; i) si simula con la lettera è detto unità immaginaria. Abbiamo dimostrato che:
In C, l'equazione z² + 1 = 0 ammette 2 soluzioni distinte: z₁ = i z₂ = i (z- i) (z + i) = 0 (z + i) ≠ 0 1=0 (z + i) = 0
Notazione Algebraica dei Numeri Complessi:
(x; y) + (x; y) = (x + x; y + y)
x + iy → Notazione Algebraica
Notazioni:
Se Z: x + iy (con x ∈ R e y ∈ R) → allora:
- R ₀(z) = x (La parte Reale di Z)
- I ₀(z) = y (coefficiente dell'Immaginario)
~Z = x - iy (Coniugato di Z)
Esempio 2
z = -3√10 + i√10
|z| = √(10 + 9) = √40
z : -3, i
|√40| = √40
Arg(z) = arctg(-1/3) + π = - arctg(1/3) + π
z = √40 (cos(π - arctg(1/3)) + i sin(π - arctg(1/3)))
Formula Generale per la Rappresentazione Trigonometrica dei C
Dato z: x+iy, x,y∈R
Per ottenere Arg(z) si procede così:
- Se x≠0, si risolve tg θ = y/x
- Arg(z) = arctg(y/x) se x>0
- Arg(z) = arctg(y/x) + π se x<0
- Se x=0
- Arg(z) = π/2 se y>0
- Arg(z) = -π/2 se y<0
Definizione (funzioni esponenziale (complessa))
z1 = x1+i y1; (x1,y1)∈R, allora si pone:
F(x+iy) = ex+iy
F(di z2) = ex2+i y2
F(z xi 3 ) = ex3+i y3 ∈ reali certuni ο reali le deno capoion.
In pratica l'esponenziale complesso coincide με l'espon. reale bil esteso aiudíο reali di C ο(
Esercizio 21
1) Risolvi in ℂ:
z5 = 2 + 4i 3—4i
- Poniamo II membro in forma algebrica:
2 + 4i 1 (1 + i) 3—4i
⇒ 2 + 4i 1 (1 + i) 15
⇒ — 6 —3i + (3i —6) —24i2 + ...
⇒ 1+
= —2 + i
= —2 + i
2
- Cerchiamo le forme esponenziali del II membro.
|w| = √2 + 4i2 = √41 = 5
Arg (w) = tgx/ i
π
z1 =
k = 0,1,2,3,4
2)
zc =
8 —8i
= 8 —8i
= e
|w| = 46
Arg (θ) = only √3
k =
0,1,2,3,4,5
- ⊂
- Rapp. Complessi
z2 = 2 + √20
(θ, 3i)
θ₂ =
- Occorrono 6 volumi
- Operazioni (il pentagono)
Il diagonale perfetto
Dϕ'(x): ϕ(Lx(t, ϕ(t)) = γ Lzγ ϕ(t) γ = 1 ϕ(y)
ℕ = 1 1
- ϕ(x) = 2 = x-2
Sono unica, oh!
II meme ϕ'(x2) = ϕ(x) c) ϕ(x) = x2 - x ; è unica soluzione ϕ'(s) = ϕ(k) oss: ϕ(x) = 23 x-1
Ex: ϕ = s 1 ( ) ϕ
ϕ(y) = x Si può provare che la soluzione unica:
- ϕ(x) = x2
- Quindi ϕ(x) = x2 ϕ(3) = 2 1
- os.
Verifica
- ϕ(x) = x2 - 1
ϕ dim(V)=1
C=Ul(x)
Infatti la funzione γ(x)=c Ū(x) verifica.
γ’=a·(x)·y Ma anche U rimiche lo stomo p.C!!
{ y(x) } = c
Quindi per T. di similairg, y(n(x)e si agendo il W(x)) /sub>o echoI I(x)
U(x) = u(x)) > c edit. W(x) O.E.F.N
Le soluzioni di y'' + 2y' - 3y = 0 sono u(x) = c1 e3x + c2 e-x
f(x) = l(x) + u(x) = x + c1 e3x + c2 e-x
Voglio che f(x) risolva il p.c.:
f(0) = 1 ∧ f'(0) = 2 ⇒
f'(x) = 1 + 3c1 e3x - c2 e-x
f(0) = 1 → c1 + c2 e0 = 1
f'(0) = 2 → 1 + 3c1 e0 - c2 e0 = 2
c1 = -1; c2 = 2
Quindi in conclusione:
f(x) = x - e-x
- Esempio (Δ∞ coeffic. multipli)
y''' + 4y' + y = 0 → cos x
y(4) = 2
y'(4) = 0
I...
y'' + 4y' + 1 = 0
λ1,2 = -2 ± i √3 / 2
u(x) = c1 e-2x cos ( √3 / 2 x ) + c2 e-2x sin ( √3 / 2 x )
f(x) = xn(x) + u(x)
f(x) = sin x + c1 e-4/2x cos ( √3 / 2 x ) + c2 e-4/2x sin ( √3 / 2 x )
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