Appunti di analisi matematica 2

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di Tonino1995

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Appunti presi a tutte le lezioni frontali di un corso di analisi 2 di 90 ore. Trattazione completa su numeri complessi, e.d.o, integrali multipli e calcolo differenziale basati su appunti …

Esame Analisi 2

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Bonfiglioli Andrea

Università Università degli Studi di Bologna

A.A. 2014-2015

87 pagine

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Estratto del documento

Numeri complessi

Riformulazione di R²

{(x; y) / x, y ∈ R}

Definiamo 2 operazioni su R²

(x₁; y₁) + (x₂; y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂) (somma)

Interpretazione geometrica:
In R², regola del parallelogramma

(x₁; y₁) · (x₂; y₂) = (x₁ x₂ - y₁ y₂, x₁ y₂ + x₂ y₁) (prodotto)

Interpretazione geometrica:
con x, y ∈ R, i · (x + i·y) = i·x - y = -y + i·x

Opposto/Elemento neutro

(x₁; y₁) + (-x₁; -y₁) = l'opposto
(x₁; y₁) + (0; 0) = (0; 0) è el. neutro
(x₁; y₁) · (1; 0) = (x₁; y₁) el. neutro

Infatti:
(x; y) · ^{(x+ iy)}/_{(x + iy)} = {x₂ = ^x/_x, y₂ = ^y/_x} ammette un reciproco rispetto alla moltiplicazione:
Risp. il reciproco rispetto alla moltiplicazione (x ;y) / (x ;y) ≠ (0 ;0)

Ricapitolando, si può verificare che (R², +, ·) è un campo se i R² vi dimostrazione che è un campo.
In C si considera una copia isomorfa di R
Elementi (x, 0) ∈ C con x ∉ R definiti identifica ogni elemento con (x, 0) ∈ C
{(x; 0) ∈ C → x ∈ R}

Numeri complessi

Riformulazione di ℝ²:
{(x; y) / x, y ∈ ℝ}

Definiamo 2 operazioni su ℝ²

(x₁; y₁) + (x₂; y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)

Interpretazione geometrica:
sommare in ℝ², regola del parallelogramma

(x₁; y₁) * (x₂; y₂) = (x₁x₂ - y₁y₂, x₁y₂ + y₁x₂) (prodotto)

Interpretazione geometrica:
con i, y CIR - i(x + iy) = ix - y = -y + ixx₁ + iyZx

Opposito/Elemento neutro

(x₁; y₁) = (-x₁; -y₁)= Opposito
(x₁; y₁) * (0; 0) = (0; 0)= El. Neutro

Oss:
Ogni elemento (x; y) ∈ ℝ (x; y) ≠ (0; 0) ammette un reciproco rispetto alla moltiplicazione
Infatti:
(x; y)^-1 = (λ²/x² + y², λ/xy + 2, -xy/x² + y²)≠ (x; y) ≠ (0; 0)
Il reciproco rispetto alla moltiplicazione (x; y) ≠ (0; c)

Recapitulando

Opposito: (-x; y)
El. Neutro: (0; 0)
Somma/Prodotto: (x/xy - 7/y², x²y₂)(-x; y)(0; 0)

❶ Esiste chi può dimostrare che
In Q si considera una sorta "isomorfa" di ℝ Identificare ogni elemento (i, 0) ∈ ℂ con x ∈ ℝ di proiezione
{(x; 0) ∈ ℂ / x ∈ ℝ}

Motivo di questa identificazione

(₁ -1) (0 _j) = (-1 _j 0)
(_x _y) (0 _j) = (-_y _x)_j
(₁ -1) (1 ₀) = (₁ ₀)
(₁ -1) (_x _y) = (_x _x)

Osservazioni

(0 _j) (0 _j) = (-1 ₀)

Definizioni:
(0 _j) si indica con il e si è detto unità immaginaria. Otteniamo dimostrato che:
nel C l'equazione z²-1, queste sono le uniche soluzioni di z² = -1 infinite.

Notazione algebrica dei numeri complessi

(_x _y) (0 _j) = (_x 0) (_j)
z = x + _y (i)
R_e(_z) = _y (coefficiente dell'immaginario)
_z = z → z &in;→IR

Definizione

Se z ∈ C con z = x+yi (con x, y ∈ R)
|z| = |x+yi|
Definisco modulo (o valore assoluto) di z

Ex: Se z ∈ R allora z = x (con x ∈ R) e quindi |x| = √x²

Interpretazione geometrica di |z|

Procedura:
z·z = |z|² infatti se z = x+yi allora z·z = (x+yi)(x-yi)
|z|² = x² + y² = |z|²
Se z ∈ C, z ≠ 0 allora z⁻₁ è il reciproco di z e infatti:
2₂·2₋₁ = 1

Proprietà del valore assoluto

(Positività) |z| = 0 ⇔ z = 0; |z| ≥ 0 ∀ z
(Omogeneità) |λz| = |λ||z|
(Messura) |zn| = |z|ⁿ

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