Appunti di analisi 1 su Topologia in R

Indice documento

• Topologia in R
• Insiemi limitati
• Insieme aperto
• Insieme chiuso
• Formule di De Morgan
• Punto di accumulazione
• Punto isolato
• Chiusura
• Insieme compatto
• Teorema di Herne Borel

Topologia in R

1) Insieme di R si di ce limitato:

A ⊆ R limitato se

A ⊆ [a,b] per qualche a,b ∈ R

a < x < b, x ∈ R, a < x < b

(intervallo aperto)

[a,b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

(intervallo chiuso)

Generalizziamo questa nozione di intervalli chiusi e aperti agli insiemi:

se fisso un numero x nell'intervallo a e b posso sempre trovare:

I(x, r) = ]x - r, x + r[ ⊆ ]a, b[

(intorno di raggio r)

3) se x ∈ R, r > 0

si definisce intorno aperto di x di raggio r:

I(x, r) = ]x - r, x + r[

4) sia x ∈ R, U ⊆ R

si dìa intorno all'x dove accade che:

a) x ∈ U

b) ∃ r > 0 : I(x, r) ⊆ U

Esempio

Il punto 1 è isolato ed è bordo di chiusura ma non si accumulazione

Osservazione:

1. _DA ⊆ ^A chiusura di ^A
2. ^A = A ∪ D_A

Esempio:

A = ]a, b[ ^A = [a, b] chiusura di A

La chiusura di A ci da una proposizione: A è chiuso se e solo se: A = ^A (_DA = ∅) (in tutti i punti di accumulazione stanno in A)

Dimostrazione proposizione

(⇒) Ipotosi: ^A chiuso Tesi: x_o ∈ _DA ⇒ proviamo che _o ∈ A

Ricordiamo:

1. ∀ τ > 0 I(x_o, τ) ∩ A è infinito quindi ≠ ∅
2. ∃ R\A è aperto se x_o ∈ A ⇒ x_o ∈ R\A

ma R\A è aperto ⇒ ¬ ∃ x_o: I(x_o, τ) ⊆ R\A

⇒ I(x_o, τ) ∩ A = ∅ contraddice 1 quindi non può esere

a ε [a,b] &lhv; ∪_iεI A_i

∃ j ε I a ε A_j

ma A_j è aperto quindi:

∃ (a-r, a+r) ⊆ A_j

a-r, a+r ⊂ A_j

Quindi:

∃ ν a ε ν

Ovviamente

ν ⊆ [a,b]

In particolare

ν è limitato

c: estremo superiore di ν

Proviamo che c coincide con b e quindi b è l'estremo superiore di ν, lo proviamo per assurdo:

c < b

c ε [a,b] &lhv; ∪_iεI A_i

c ε A_io

quindi:

∃ γ > 0 | c-γ, c+γ ⊆ A_io

c-γ < c < c+γ

usiamo la seconda proprieta dell'estremo superiore:

∃ y ε ν c-γ < y < c

[a,y] &lhv; Δ_i1 ∪ ... ∪ Δ_ip

In particolare:

[a,y+c+γ]

[a,y] ∪ [y,c+γ]=[a,y] ∪ [c-γ,c+γ]