Appunti di analisi 1 su Topologia in R

Indice documento

• Topologia in R
• Insiemi limitati
• Insieme aperto
• Insieme chiuso
• Formule di De Morgan
• Punto di accumulazione
• Punto isolato
• Chiusura
• Insieme compatto
• Teorema di Herne Borel

Topologia in R

Insiemi limitati

Un insieme di R si dice limitato: A ⊆ R è limitato se A ⊆ [a, b] per qualche a, b ∈ R. I₀, l₀ = {x ∈ R: a < x < b} (intervallo aperto) [a, b] = {x ∈ R: a ≤ x ≤ b} (intervallo chiuso). Generalizzazione questa nozione di intervalli chiusi e aperti agli insiemi:

1. Se fisso un numero x nell'intervallo a e b posso sempre trovare: I(x, τ) = ] x - τ, x + τ [ ⊆ ] a, b [ intorno di raggio τ.
2. Se x ∈ R, τ > 0 si definisce intorno aperto di x di raggio τ: I(x, τ) = ] x - τ, x + τ [.
3. Sia x ∈ R, U ⊆ R si dica intorno all'x dove accadrà che: x ∈ U ∃ τ > 0: I(x, τ) ⊆ U.

Definizione di insieme aperto

A ⊂ R si dice aperto se: A è intorno di ogni suo punto. Ciò significa che ogni volta che prendo un punto in A: ∀ x ∈ A ∃ r > 0 I(x, r) ⊆ A.

Definizione di insieme chiuso

C ⊂ R si dice chiuso se: R \ C si dice aperto. Esempio: C = [a, b], R \ C = ] - ∞, a[ ∪ ] b, +∞[ è aperto.

Proprietà di aperti e chiusi

1. Se {A_i}_{i ∈ I} è una qualunque famiglia di aperti di R, allora ⋃_{i ∈ I} A_i è aperta.
2. Se {C_i}_{i ∈ I} è una qualunque famiglia di chiusi di R, allora ⋂_{i ∈ I} C_i è un chiuso di R.
3. Se A₁, A₂, ..., A_n sono aperti in R, allora ⋂_i=1ⁿ A_i è aperto.

Osservazione: L'insieme vuoto ∅ è un insieme aperto di R.

4. Se C₁, ..., C_m sono chiusi in R, allora ⋃_i=1^m C_i è chiuso.

Ricordiamo che: ⋃_{i ∈ I} A_i = {x ∈ R: x ∈ A_i per qualche i ∈ I}.

Formule di De Morgan

R(V \bigcup_{i \in I} A_i) = \bigcap_{i \in I} R(V A_i) R(V \bigcap_{i \in I} A_i) = \bigcup_{i \in I} R(V A_i)

Definizione di accumulazione

Sia A ⊂ \mathbb{R}. x_0 ∈ \mathbb{R} si dice di accumulazione per A se ∀ ε > 0 I(x_0, ε) ∩ A contiene almeno un punto x ≠ x_0.

Esercizio: A = \{1\} non ammette punti di accumulazione perché se fisso un numero reale x trovo un intorno di x. DA = \{x ∈ \mathbb{R} : x_0 è un punto di accumulazione per A\}.

Definizione punto isolato

Sia A ⊂ \mathbb{R}. x_0 ∈ A si dice isolato per A se &exists; ε > 0: I(x_0, ε) ∩ A = \{x_0\}.

Osservazione: x_0 ∈ \mathbb{R} è di accumulazione per A se e solo se: ∀ ε > 0 I(x_0, ε) ∩ A è infinito.

Dimostrazione

(\Rightarrow) dimostriamo per assurdo, supponiamo quindi per assurdo che I(x_0, ε) ∩ A = \{x_1, ....., x_n\} è finito. x_1, ...., x_m punti distinti I( ]x₀-r,x₀+r[ ).

Sia d: ℝ x ℝ → ℝ d(x₀,x₁) = |x₁-x₀| la distanza è sempre positiva a = 1...n. Scegliamo S come la minima distanza. S = min {x₁ , x₂ ,...,x_n} stiamo scegliendo anche il punto x_j più vicino a x₀.

Abbiamo l'insieme A che interseca con (x₀-r,x₀+r).

Definizione di chiusura

Sia A ⊂ R un punto x∈R diciamo che: x sta nella chiusura di A ogni qualvolta da perdere ∀se ∀∀ ∈ (! (x,r)) ∩ A ⊀.

Denotiamo con chiusura A_c = {x ∈ R | x sta nella chiusura di A}.

Esempio: I = ]2, 3[. Il punto 1 è isolato ed è bordo di chiusura ma non si accumulazione.

Osservazioni:

1. D A ⊆ A̅ chiusura di A; A̅ = A U D A.

Esempio: A = ]a, b[; A̅ = [a, b]. La chiusura di A ci dà uno disposizione: A è chiuso se e solo se: A = A̅ (D A ⊆ A̅). La chiusura coincide con l'intervallo chiuso.

Dimostrazione proposizione

(⇒) Ipotesi: A̅ chiuso Tes: x₀ ∉ D A e proviamo che x₀ ∉ A. Vogliamo dimostrare che tutti i punti di accumulazione stanno in A. Ricordiamo: ∀ x₀ > 0 I(x₀, τ) ∩ A è infinito quindi ≠ ∅. ⇒ R\A è aperto se x₀ ∉ A ⇒ x₀ ∈ R\A.

Un punto di accumulazione qualsiasi ma R\A è aperto ⇒ ∃ τ > 0: I(x₀, τ) ⊆ R\A ⇒ I(x₀, τ) ∩ A = ∅ contraddice 1 quindi non può essere.

(⇒) Ipotesi: D∧ ⊆ A Tesi: A è chiuso (quindi dobbiamo trovare da R\A i aperto). Supponendo che A non sia chiuso, quindi negando la Tesi. A non è chiuso ⇒ R\A non è aperto ⇒∃x₀ ∈ R\A ∀η>0 I(x₀, η) ∉ R\A cioè significa che ∃ η>0 0, η) - ⇒ ∃ x ∈ I(x₀, η) x ∈ Δ essendo che x ∈ A, x ∈ I(x₀, η) ⇒ x ∈ I(x₀, η) ∧ Δ. Quindi concludiamo che: x ∈ I(x₀, η) ∧ Δ e x ≠ x₀ poiché x₀ ∈ R\A mentre x ∈ A ⇒ x₀ ∈ D∧ - punto di accumulazione di A mentre x₀ ∈ R\A ⇒ D∧ ⊆ ∖A ≠ ∅ è assurdo poiché è la nostra ipotesi.

Definizione di insiemi compatti

Un insieme A ⊆ R si dice compatto: se comunque fisso una famiglia qualunque (A_i)_{i ∈ J} di insiemi aperti eh R tale che A ⊆ ⋃A_i ∃ x &isi; un punto di x nella insieme di A_i allora ∩ i=1...m &isi; i ∈ I Δ_i ⊆ A_i1 ⊆ A_i2 ≤ A_im = ⋃ i=1 - posso scegliere un insieme finito.

Teorema Heine-Borel

A ⊆ ℝ A compatto ↔ A chiuso e limitato vuol dire che (A ⊆ [a,b]).

Dimostrazione

(=>) Ipotesi: A compatto Tesi: A limitato e chiuso Prima troviamo che A è limitato. Scegliamo ∀x ∈ A A_x = I(x,1) [per esempio ad una famiglia qualunque di appart.]. A ⊆ ⋃_{x ∈ A} A_x, e quindi x ∈ I(x,1) essendo A_x aperto A compatto, per ipotesi → A ⊆ A_x1 ⋃ A_x2 ⋃...⋃ A_xn significa che A ⊆ I(x₁,1) ⋃...⋃ I(x_n,1) ma I(x₁,1) ⋃...⋃ I(x_n,1) è un insieme limitato perché: a = min(x₁,...,x_n) - 1 [mi devo spostare a sinistra essendo ad un unc] b = max(x₂,...,x_m) + 1 quindi: A ⊆ [a,b]. Abbiamo provato che è limitato.

Ora proviamo che A è chiuso Ipotesi: sempre A è compatto Tesi: A è chiuso (R^A è cpntto) Esplicitiamo la tesi. ∀ x∈R^A dove esiste I(x,z) ∈ R^A.

Osservazione: Se fisso x∈R^Ae se ∀ z∈A quindi z≠x Quindi: segno I(z,s_z) ∩ I(x,s_x) = ∅ Sz = |x-z|/2 o il raggio Ricordiamo che x∈R^Ae quindi scopriamo che ogni volta che fisso z su A. ∀ z≠(s,sz) ∅: z≥0:I(x,s_x) ∩ I(z,s_z) = ∅.

Notiamo che A ⊆ ∪ I(z,s_z) z∈A ma essendo A compatto. A ⊆ I(z1,s_z1) ∪ ... ∪ I(zm,s_zm) Se s=min( s_z1, ..., s_zm) altrimenti I(x,s_x) ∩ I(z,s_z) = ∅ è vuoto Più in dettaglio I(x,s_x2) ∩ I(z1,s_z21) = ∅ s ≤ s_z21 ⇒ I(x,s_x) ∩ I(z1,s_z21) Conclusione I(x,s) ∩ [ ⋃ I(z₂, s₂₁) ∪ ... ∪ ⋃ I(zₘ, s₂ₙ) ] = ∅ ⇒ I(x,s) ∩ A = ∅ quindi I(x,s) ⊆ R \ A A è chiuso.

Dimostrazione

⇐ ipotesi: A è chiuso e limitato tesi: A è compatto Sia {Aᵢ}ᵢ famiglia di aperti, A ⊆ ⋃ Aᵢ Passo 1 supponiamo che A = [a,b].

Introduciamo questo insieme: V = { x ∈ ]a,b] [a,x] può essere ricoperto da un numero finito di Aᵢ }[ a ]. Esso non può essere vuoto, dobbiamo dimostrarlo:) V ≠ ∅ deve essere non vuoto a &in; [a,b] ⊆ &bigcup;A_i ∃ j &mid; a &in; A_j ma A_j è aperto quindi: ∃ρ > 0 I(a, ρ) ⊆ A_j.

                    ⇑                a-ρ, a+ρ ⊆ A_j Quindi ∃ ρ ∀ x ∈ V Ovviamente V ⊆ [a,b]. In particolare V ≠ ∅ c = estremo superiore di V.

Proviamo che c coincide con b e quindi b è l'estremo superiore di V, le proviamo per assurdo: c < b c &in; [a,b] ⊆ &bigcup;A_i ⇑ c &in; Δ_io quindi: ⇑ ∃ρ > 0, ] c-ρ, c+ρ [ ⊆ Δ_io c - ρ < c.

Usiamo la seconda proprietà dell'estremo superiore: ∃γ ∈ V, c-ρ < γ < c [a, γ] ⊆ A_i1 ∪ ... ∪ A_ip. In particolare [a, c+ρ]= [a, γ] ∪ [γ, c+ρ]= [a, γ] ∪ ]c-ρ, c+ρ[.