Appunti Analisi matematica 1

CAPITOLO 0

INSIEME - dove di oggetti per cui si ha ben definita una legge di appartenenza tale da si può stabilire in maniera univoca se un certo oggetto appartiene o questa legge o no.

INSIEMI ⇒ A, B, CC ∈ A (c appartiene ad A)c ∉ A (c non appartiene ad A)

elementi ⇒ a, b, c

QUANTIFICATORI LOGICI

matematico PEANO

• ∃ esiste
• ∃! esiste ed è unico
• ! unico
• ⇔ implicazione se e solo se
• P ⇒ Q P ⇒ Q
• ∄ non esiste
• ⇒ alla fine di un argomento se perviene a una contraddizione , è una dimostrazione per assurdo
• P: {n ∈ N : n è un numero primo}
• definire un oggetto a partire dalla definizione
• ♣ t.c. tale che
• ♣ t.c. tale che
• C: conclusioni di un insieme

A ⊆ B

RAPPRESENTAZIONE INSIEMIA = {2, 3, 7, 9} enumerazione o denotazione (devono essere condizioni multiple definite = cioè il numero di oggetti)

DIAGRAMMI EULERO VENN

ø proprietà caratteristica

P: {x ∈ N - x è un numero primo} proprietà caratteristica

Capitolo 0

Insieme - insieme di oggetti per cui si ha ben definita una legge di appartenenza tal da è più stabilire in maniera univoca se un certo oggetto appartiene a questo o no.

Insiemi => A, B, Celements: => a, b, c

A ∈ A (a appartiene ad A)a ∉ A (a non appartiene ad A)

Quantificatori logicimatematici Peano∀: per ogni∅: insieme vuoto

∃: esiste∃!: esiste ed è unico∀: per ogni

↔: implicazioni: se e solo seP ⇒ Q: P implica Q∄: non esiste

█: alla fine di un argomento se si perviene ad una contraddizione, si perviene ad una dimostrazione per assurdo

· P:

• M ∈ N: n è un numero primo

definire un oggetto a partire dalla definizione

· t.c.: tale che

• C: conclusioni di un insieme

A ⊂ B

Rappresentazione insiemi

A = {1, 3, 7, a} enumerazioni o denotazione (devono essere tutte modalità definitive cioè il numero di oggetti è

Diagrammi Eulero Venn

Proprietà caratteristicaP: ∈ S ∈ N: n è un numero primo? proprietà caratteristica

PARADOSSO DI RUSSEL

A = { X : X non è un insieme t.c. X ∉ X }

A ∈ A => A ∉ A

per proprietà contraddittoria non vi appartiene

A ∉ A => A ∈ A :: ↯

GÖDEL

teorema dell’incompletezza di Gödel dimostra che ogni sistema matematico contiene all’interno delle contraddizioni

OPERAZIONI TRA INSIEMI

• U unione A ∪ B = { c : c ∈ A e/o c ∈ B } A ∪ B = B ∪ A
• ∩ intersezione A ∩ B = { c : c ∈ A e c ∈ B } A ∩ B = B ∩ A
• A \ B differenza A \ B = { c ∈ A : c ∉ B } A \ B ≠ B \ A

_intersezione

• A × B prodotto A × B = { (a, b) : a ∈ A, b ∈ B } _{rispettando l’ordine.}

A × B ≠ B × A

ESEMPI:

• A = { 1, 2, 3 }
• B = { 2, 3, 5 }
• A ∪ B = { 1, 2, 3, 5 }
• A ∩ B = { 2, 3 }
• A \ B = { 1 }
• B \ A = { 5 }

A × B = { (1, 2); (1, 3); (1, 5); (2, 2); (2, 3); (2, 5); (3, 2); (3, 3); (3, 5) }

cardinalità

card (A) = n

card (B) = m

card (A x B) = m x n

A x A = A²

A x B x C = {(a, b, c) | a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C}

A x A x ... x A = Aⁿ

m volte

INSIEMI NUMERICI

N = {0, 1, 2, 3, ... } n. naturali

Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} n. interi

Q = {^p/_q , p, q ∈ Z, q ≠ 0} numeri razionali

Q = {^{p, d₀, d₁, d₂, ...}p ∈ Z, d_i ∈ {0, ..., 9}, i ∈ N} n. reali

3 = 3, 14...

↓

p, d₀, d₁, d₂

p = parte intera

parte dopo la virgola si

chiama mantissa

R\Q numeri irrazionali

STRUTTURA DI CAMPO

(R, +, ·) soddisfano

ADDIZIONE

PROPRIETÀ:

1. commutativa a + b = b + a ∀ a, b ∈ L
2. associativa (a + b) + c = a + (b + c)
3. elemento neutro a + 0 = 0 + a ∀ a ∈ A
4. inverso (opposto) a + (-a) = 0

CAMPO

insieme con due operazioni

binario, che mettono in relazione

due oggetti di questo insieme

(Q, +, ·) è un campo

Prodotto

1. commutativo   a·b=b·a   ∀ a,b ∈ ℝ
2. associativo   (a·b)·c = a·(b·c)   ∀ a,b,c ∈ ℝ
3. el. neutro   a·1 = a   ∀ a ∈ ℝ
4. inverso   a·¹/_a = 1   ∀ a ≠ 0, a ∈ ℝ

+ distributiva rispetto al prodotto

a·(b+c) = a·b + a·c   ∀ a,b,c ∈ ℝ

(ℚ, +, ·, ≤)   ∀ a,b ∈ ℝ   a ≤ b   campo ordinato

(ℚ, +, ·, ≤)   campo ordinato

ℝ ha una proprietà in più, la completezza

oss: dose di sottoinsiemi di ℝ e potere della relazione d'ordine, intervalli

∀ a,b ∈ ℝ   a ≤ b

(a,b) = • x ∈ ℝ • a < x < b}   aperto di estremi a e b

[0;1]

[a,b] = {x ∈ ℝ • a ≤ x ≤ b}   chiuso di estremi a e b

[a,b) = {x ∈ ℝ • a ≤ x < b}   aperto a destra, chiuso a sinistra

(a,b] = {x ∈ ℝ • a < x ≤ b}   aperto a sinistra, chiuso a destra

(a,+∞) = {x ∈ ℝ • a < x}   [a,+∞) = {x ∈ ℝ • a ≤ x}

(-∞,b) = {x ∈ ℝ • x < b}   (-∞,b] = {x ∈ ℝ • x ≤ b}

MINORANTI, MAGGIORANTI, ESTREMO SUPERIORE E INFERIORE

A ⊂ R    A ≠ ∅

1. S ∈ R maggiorante di A se a ≤ S ∀ a ∈ A
2. S ∈ R minorante di A se a ≥ S ∀ a ∈ A

A = [1, 3] = {x ∈ R | 1 < x < 3}

A = [1, 4] = {x ∈ R | -1 < x < 4}

A = IN    ∀ S ∈ R ∃ m ∈ N t. c. S < m

• IN non è limitato superiormente, cioè non ammette maggioranti
• 0 minorante di IN limitato inferiormente
• Z non è limitato né superiormente né inferiormente
• Z ∩ N = {-1, -2, -3, -4} 0 maggiorante limitato superiormente
• {-∞,} limitato superiormente

DEF. A ⊂ R    ≠ ∅

1. S ∈ R si dice estremo superiore dell'insieme di A se S è il più piccolo dei maggioranti di A, cioè

S = sup A _DEF ⟺S ≥ a ∀ a ∈ A t. c. (S è un maggiorante)∀ ε > 0, ∃ a ∈ A t. c. S - ε < a (S - ε non è un magg.)

2)

S ∈ ℝ si dice estremo inferiore dell'insieme t se S è il più grande dei minoranti, cioè

S = infA ⟺ {

• S ≤ a   ∀ a ∈ A   (S è un minorante)
• ∀ ε > 0, ∃ a ∈ A t.c. a ≤ S + ε   (S + ε non è un minorante)

}

A = [0,1) = {x ∈ ℝ 0 ≤ x < 1}

ext. sup. A = 1

inf. A = 0

oss. 0 ∈ A

• 1 è maggiorante

∀ ε > 0, 1 ∉ [0,1) t.c. x ≤ 1 - ε

• 0 è minorante

∀ ε > 0, 0 + ε non è minorante

t = [0,1;2]

dep. A = 2 e 2 ∈ A

DEF. A ≠ ø

1. Se S = supA ∈ A allora S si dice il massimo di t (S max A)
2. Se S = infA ∈ A allora S si dice il minimo di t (S min A)

Teorema (Completezza di ℚ)

ℚ è completo, cioè ogni insieme limitato superiormente ammette estremo superiore (o equivalentemente ogni insieme limitato inferiormente ammette estremo inferiore)

A = {x ∈ ℚ, x² < 2} = (-√2, √2)

sup A = √2

inf A = -√2

(√2 ∈ ℚ - ℚ) irrazionali

A = {x ∈ ℚ, x² < 2} = (-√2, √2) ∩ ℚ razionali

sup A: ? può essere un

numero maggiore di √2 o minore √2 ∉ ℚ

non c'è un estremo superiore

Densità di ℚ in ℝ

∀ x ∈ ℝ, x < g ∃ q ∈ ℚ t.c. x < q < g

(ℚ,+,⋅,>)

(ℚ,+,⋅,<)

q < √2 ∈ A e q > s

q è maggiorante dell'insieme ma non è minore di s

s non è il più piccolo dei maggioranti

055

limite superioremente (S=sup A) esiste sempre (completa)

Se s ∈ A, allora s = sup A = max A

A = {1, 2} sup A = 2 2 ∈ A e quindi non esiste il max

If inf A, 1 ∈ A e quindi 1 = min A

055

Se A non è limitato superiormente, cioè non ammette

maggioranti allora diciamo che supA = +∞

Se A non è limitato inferiormente, cioè non ammette

minoranti, allora infA = -∞

sup ℕ = +∞

inf ℤ = -∞

sup ℤ = +∞

es

A = [-∞, 3) ∪ {6} ∪ [10, +∞)

inf A = -∞ = min A

sup A = +∞

A = &bigg\{ \frac{1}{m} : m ∈ ℕ\{0\} \bigg\}

 = &bigg\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots \bigg\}

  ( A = \bigg\{ \frac{1}{n} : n ∈ ℕ \bigg\} )

sup A = max A = 1

inf A = 0

      0 < \frac{1}{m}   ∀ m ∈ ℕ\{0\}