Appunti di analisi 1 sulle funzioni in R

Indice documento

Funzioni
Campo di esistenza
Codominio
Funzione iniettiva
Definizione di monotonia
Funzione monotona
Funzione suriettiva
Funzione biiettiva
Logaritmo
Funzioni composte
Proprietà funzioni composte
Principio di induzione

Funzioni

Definizione: Siano A e B due insiemi; una funzione F: A → B.
Una relazione (R⊆A×B) è un particolare gode di questa proprietà: ∀x∈A ∃! y∈B |

Osservazione

La relazione di ordine su R non è una funzione x∈R ∃! y∈R x≤y (NO) F: A → B F. R x∈R y è unico y := f(x)

Esempio di funzione

f(x)=a^x x∈R a∈R a>0

Campo di esistenza

Definizione: Data una funzione f : R → R si definisce dominio o campo di esistenza:
D = C.E. = {x∈R | f(x) ∈R} insieme per cui f(x) ha senso

Esempio di campo di esistenza:
- f(x) = a^x C.E. = R
- f(x) = 1/x C.E. = x > 0

Codominio

Definizione: Il codominio di f (o immagine di f) è l'insieme di tutti i numeri reali tali che x appartiene al C.E. per f(x)=y
Im f = { y ∈ R: ∃ x ∈ C.E. }
Im f = { f(x) x ∈ C.E. }

Esempio di codominio:
f(x)=x² C.E. = R
1 ∈ Im f = ? x = 1 x = -1 (±1)² = 1

Definizione di iniettiva

F: R → R si dice iniettiva se x,y ∈ C.E. x ≠ y f(x) ≠ f(y)
f si dice crescente se x ≤ y f(x) ≤ f(y) strettamente crescente: x < y f(x) < f(y)
f si dice decrescente se x ≥ y f(x) ≥ f(y) strettamente decrescente: x > y f(x) > f(y)

Definizione di monotona

f: R → R si dice monotona se f è strettamente crescente o strettamente decrescente
Si dice strettamente monotona se è strettamente crescente o strettamente decrescente

Definizione di suriettiva

f si dice suriettiva: f: A → B, A ⊂ R, B ⊂ R
∀ y ∈ B ∃ x ∈ A f(x) = y

Osservazioni

f: R → R se consideriamo che: (imm.⊂R) → ϕ è suriettiva
Esempio: f: R → R f(x) = x² C.E.: R f: suriettiva { ∀ y < B ∃ x < R y = x² } non è suriettiva perché y ≤ 0 ∄ x < R x² = y
se fosse stato: f: R → ]0, +∞[ in questo caso è suriettiva sull'intervallo totale

Definizione di biettiva

f si dice biettiva se f è sia iniettiva che suriettiva.
f: A → B ⇒ biettiva se fisso un qualunque numero y: y ∈ B (suriettiva) ∴ ∃ x ∈ A: f(x) = y ma siccome è anche iniettiva ∴ ∃! x ∈ A f(x) = y

Quindi definiamo una nuova funzione:
f⁻¹: B → A per ∀ y ∈ B
f⁻¹(y) ≔ l f(l) = y
f⁻¹ si dice "funzione inversa di f"

Osserviamo

f è invertibile (ossia ammette funzione inversa) se e solo se f è biettiva
Esempio: f(x) = x² f: R → [0, +∞[ È suriettiva è iniettiva perché f è strettamente crescente (proprietà di monotonia) ed è invertibile quindi è biettiva (come dice osserviamo) se a > 0 a ≠ 1
Allora: f(x) = a^x f: R → [0, +∞[ f è strettamente monotona ∴ R è biettiva

Si definisce log_ay come la funzione inversa di f(x)=a^x f^-1(y)=log_a(y) : ]0,+∞[ → ℝ (va al contrario) se f: A → B biettiva f^-1: B → A → : f()=a^log_ay = y

Logaritmo

(y)=log_ay è definito come la funzione inversa (invertibile) di F(x)=a^x con a>0 , a ≠ 1 ∀x∈ℝ⇒a^x ∈ ]0;+∞[ F:ℝ → ]0;+∞[ è iniettivo F(ℝ) ⊇ ]0;+∞[ ciò significa ∀y∈ ]0;+∞[∀x∈ℝ : a^x=y la suriettività non viene dimostrata

Osservazione

(y)=log_ay : ]0;+∞[ → ℝ x₁ ≠ x₂ ⇔ F(x₁) ≠ F(x₂) F^-1(y₁) ≠ F^-1(y₂) ⇔ y₁ ≠ y₂ Richiamiamo: y = F(x) ⇔ F^-1(y) = x

Esempio

y₁ < y₂⇔ ∃! x₁, x₂ ∈ ℝ     f(x₁) = y₁    f(x₂) = y₂

Risolviamo: f(x₁) < f(x₂)⇔ x₁ < x₂⇔ f^-1(y₁) < f^-1(y₂)

Tutte le proprietà esponenziali le risolviamo con logaritmi:

Proprietà

Monotonia (a > 1) log_a y₁ < log_a y₂ ⇔ y₁ < y₂ (        (0 < a < 1) - log_a y₁ < log_a y₂ ⇔ y₁ > y₂

Proprietà algebriche

Sia a > 0 (≠ 1) con il logaritmo Supponiamo che l'argomento sia > 0:

• log_a (y₁·y₂) = log_a y₁ + log_a y₂      y₁, y₂ > 0
• log_a y₁/_y2 = log_a y₁ - log_a y₂(y > 0, p ∈ ℝ)
• log_a y^p = p·log_a y

Osservazione

  (log_a y)^p ≠ p·log_a y

Osservazione 2

  ∀ y ∈ ℝ    y ≠ 0    log_a y² ⇒ 2 log_a |y|

Dimostrazione 1

Ricordiamo che a^{x1 = ax1+x₂}   y₁, y₂ > 0   y₁ = a^x₁   y₂ = a^x₂   (x₁=log_ay₁)   (x₂=log_ay₂) log_a (y₁ / y₂) = log_a (a^{x₁ / ax₂}) = log_a a^x₁-x₂          = log_a y₁ - log_a y₂ Le altre proprietà seguono in maniera analoga

Osservazione 3

Se _y1 e _y2 < 0 log_a(x ₁ * x₂) = log_a|y₁| + log_a|y₂|

Cambiamento di base

_a > 0, _b > 0 ( _a o _b ≠ 1) Allora: log_by = (log_ab) log_y

Dimostrazione

log_by = log_a(a^log_ay) proprietà 3) ⇒ (log_ay)(log_ab)

Funzioni composte

Definizione: Siano A, B &subseteq; R ⠀ ef: A → B g: B → R g(f(x)) ⠀ o ⠀ g f funzione composta di g e f g viene detta funzione esterna f viene detta funzione interna g o f: A ⟶ R

Esempio

x > 0 g(x) = log₁₀√x² Se definiamo ⠀ f(x) = √x g(y) = log₁₀ y g ∘ f(x) = g(f(x)) = g(√x) = log₁₀√x determiniamo la funzione h(x)

Proprietà funzione composte

1. Se g: B → R è crescente e f: A → B, allora
   g ◦ f è crescente ⟺ f è crescente
   g ◦ f è decrescente ⟺ f è decrescente
   Se g è decrescente
   g ◦ f è crescente ⟺ f è decrescente
   g ◦ f è decrescente ⟺ f è crescente

Dimostrazione 1

Fisso x₁ < x₂ con (x₁, x₂ ∈ A)

1. ⟹ Ipotesi: f crescente ⟹ f(x₁) < f(x₂)
2. g crescente ⟹ g(f(x₁)) < g(f(x₂))
3. g ◦ f(x₁) < g ◦ f(x₂)
4. ⟸ x₁ < x₂
5. Ipotesi: g ◦ f è crescente ⟹ g ◦ f(x₁) < g ◦ f(x₂)
6. g(f(x₁)) < g(f(x₂))
7. g crescente ⟹ f(x₁) < f(x₂)

Principio di induzione

Sia P(n) una proposizione che dipende da n ∈ ℕ se vale:

1. Base di induzione P(0) è vera
2. Se P(m) è vera ⇒ P(m+1) è vera

Allora P(n) è vera per ∀n∈ℕ

Esempio

Proviamo che vale questa disequazione (Diseguaglianza di Bernoulli) x ≥ -1
Allora (1+x)^m ≥ 1+mx     ∀m∈ℕ

Dimostrazione per induzione
(m=0)   1 ≤ 1   Vera
Ipotesi: (1+x)^m ≥ 1+mx
Tesi: (1+x)^m+1 = (1+x)^m (1+x) d_c per ipotesi i ≥ (1+mx)(1+x)(1+mx)(1+x) = 1+x+mx+rmx² d_c i ≥ 1+x+mx ⇒ Quindi (1+x)^m+1 ≥ 1+(m+1)x
Test Verificata

Dimostrazione principio di induzione

Per assurdo ∃m₀ ∈ N P(m₀) non è vera
Definiamo B={m ∈ N: P(m) non è vera} ⊆ N B ≠ ∅ (m₀ ∈ B) N è ben ordinato quindi B ha un minimo Sia m̅ = min B m̅ ≤ B m̅ ∈ B ⇒ P(m̅) non è vera¹ m̅-1 ∉ B (poiché altrimenti m̅-1 ∈ B ⇒ m̅-1 ≥ m̅) m̅-1 ∉ B ⇒ P(m̅-1) è vera Dallo² passo: P((m̅-1)+1) è vera ⇒ P(m̅) è vera Contraddizione ⇒ m ∉ B

Esempio principio di induzione

² Se q ∈ R q ≠ 1 per il denominatore e (q ≠ 0) ∑_k=0^m q^k = (1-q^(m+1))/(1-q) ∀ m ∈ N ∑ = q⁰ + q¹ + q² + ... q^m = (1-q^(m+1))/(1-q)

1. Base induzione (m=0) q⁰ = 1/(1-q) = 1 ⇒ q⁰=1