Topologia in R (intorno punto interno ecc) - Analisi 1, libro consigliato Zamboni

Indice documento

• Intorno
• Punto interno
• Punto accumulazione
• Punto isolato
• Derivato
• Insieme aperto o chiuso
• Frontiera
• Teorema Bolzano-Weierstrass

Topologia in R

Intorno

Sia x_o ∈ R e sia U ∈ R. U si dice intorno di x_o se ∃ UU = ]x a, x b[ R ← x_o → x b.

Punto interno

Siano X ⊂ R, x_o ∈ X. Il punto x_o si dice interno ad X se ∃ U intorno di x_o tale che U ⊂ X. L'insieme dei punti interni ad X si denota con Xⁱ (interno di X).

-- x a --| x_o |-- x b --

Punto di accumulazione

Sia X ⊂ R, x_o ∈ R. Il punto x_o si dice di accumulazione per X se ∀ U ∈ x ∈ X, x_o ∈ ] x_o - ε, x_o + ε [.

Un punto x_o si dice di accumulazione se ogni almeno un punto appartenente a tale ad x_o.

Esempi di punto di accumulazione

Esempio 1: X = [0,2] \ {1}, x_o = 1. x_o = 1 è di accumulazione per X perché si presenta sempre un intorno, ogni (ε) fa parte di X ed è diverso.

Esempio 2: X = [0,2], x_o > >. Il punto x_o è di accumulazione per X perché per almeno un punto appartenente ad X.

Esempio 3: X = ]0,2], x_o = 0.

Punto isolato

Sia X ⊆ ℝ, x₀ ∈ ℝ. x₀ si dice punto isolato per X se non è di accumulazione, ∀ε>0 ∃δ>0 : x₀ ∈ x₀ - ε, x₀ + ε[ ' x ∉ x₀ - ε, x₀ + ε[.

Esempio: X = { x₀ } ∪[(a,b], x₀ ∈ X, x₀ ∈ ]a,b. Il punto x₀ è un punto isolato per X se esisteranno ε,δ>0 tali che l'apertura $] x₀ - ε, x₀ + ε] non apparterrà nell'insieme X. Infatti, su € ]u - x₀] → X{ ε : x₀ + ε } non può contenere elementi di X anche non è di accumulazione x isolato.

Derivato di X

L'insieme dei punti di accumulazione di un insieme X si dice derivato da X. DeX { x ∈ ℝ : x di accumulazione per X }.

Insieme aperto

Un insieme X ⊆ ℝ si dice "aperto" se coincide con il suo interno ix = X.

Esempio 1: X = ]a,b[ è un insieme aperto, infatti, x₀ ∈ X, x₀ ∈ ]a,b[ e si ulitima minima (b-a) esistono δ > 0, ε = y2 x₀. Allora x₀ ∈ ]x₀-δ, x₀+δ[ Ly < x₀ punto interno < elseƎ → Ux < X → x₀ punto interno di X X insieme aperto.

Esempio 2: X = ]a,+∞[ è un insieme aperto, infatti, sia x₀ ∈ ]a,+∞[ è se nel j x₀ - d, x₀ ∈ ]b,∞[ e δ>0 → 0[ε >. Allora x₀ ∈ ]x₀-δ,x₀+δ[ Ux < X → x₀ punto interno → X insieme aperto.

Esempio 3: X = ]-∞,b[ è un insieme aperto, infatti, sia x₀ ∈ ]-∞,b[ è se nel 5₁x₀-5, x₀ ε e ]-∞,b[. Allora Ux < X → x₀ punto interno → X insieme aperto.

Insieme chiuso

Un insieme si dice "chiuso" se il suo complementare è aperto, quindi se R - X è aperto.

Esempio 1: X = [a,b ] è un insieme chiuso infatti R - [a,b] = ]-∞,a[ U ]b,+∞[.

Esempio 2: X = [a,+∞[ è un insieme chiuso infatti R - [a,+∞[ = ]-∞,a[.

Esempio 3: X = ]-∞,b] è un insieme chiuso infatti R - ]-∞,b] = ]b,+∞[.

Particolarità

• Insiemi né aperti né chiusi: [a,b[]a,b] → né aperti né chiusi, perché DIMOSTRAZIONE: ]a,b] non è aperto perché x₀=a ∀ y]a,b] non è chiuso perché R - ]a,b] deve essere aperto.
• Insiemi sia aperti che chiusi: R∅→ insieme aperti e chiusi.

Chiusura di X

Sia \(X \subseteq \mathbb{R}\). L'insieme \(\overline{X} = X \cup DX\) si chiama chiusura di X.

Frontiera

Sia \(X \subseteq \mathbb{R}\), \(x_0 \in \mathbb{R}\). Il punto \(x_0\) si dice di frontiera per X se per ogni intorno \(V\) di \(x_0\) (\(V\) disuguale da dire che):

• \(V \cap X \neq \emptyset\)
• \(V \cap (\mathbb{R} - X) \neq \emptyset\)

\[x = (x_0)\] allora \(\partial X = \{ x \in \mathbb{R}: x\) punto di frontiera\).

Esempio: \(X = [1, 3) \cup (5, 8) \), \(\partial X = \{1, 3, 5, 8, 9\} \)

Teorema

Sia \(X \subseteq \mathbb{R}, x_0 \in DX\), \(U\) intorno di \(x_0\). Se \(U \cap R\), allora \(U\) contiene infiniti punti di \(X\).

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che \(U \cap X\) sia finito. Sia \(U_{x0} = \bigcup₂\) max, fissiamo intorno di \(x_0\). Sia \(x_{x0} = \bigcup₂ | x_0 - x_i | \lt x_0 \).

Poniamo \(ϵ = \frac{1}{2}\) minimo \(x_i ϵ X \) \((i = 1, p_i)\).

Corollario

Se \(X \subseteq \mathbb{R}\) e tale che \(DX \neq \emptyset\), \(\implies X\) è infinito.

Osservazione: Se \(X \subseteq \mathbb{R}\), l'insieme \(X \cup DX\) si chiama Chiusura di X.

Teorema: X ∪ D X = X ∪ ∂ X

Corollario: X è chiuso se e solo se X = X̅ (ovv. sup. immersione).

Teorema (Bolzano-Weierstrass)

Sia X ⊂ R un insieme limitato (e_inf X) su sperimentale infiniti raccolti DX # ∂ tale esso almeno un punto d'accumulo per insieme X.

Dimostrazione

Siccome X è limitato esistono inf e sup: X è limitato esistenzialmente ⇒ ∃ b = sup X - X → esiste inf e supperamento. Considero [intervallo chiuso [c,b]], ∃ disserto in due parti uguali.

Siccome per ipotesi X contino infinitamente almeno un dote de modidepositivo: columa inf.

Continuando in questo modo dopo n ripetizioni, determino una famiglia di intervalli {[a_n, b_n]} con n ∈ N non è seguendi propiett:

• {lim b_n = r semmitato di [b₁…b_n-1] the contene infiniti puntti di X.}
• [b₁…b_n+1] ∈ con [b₁…b_n+1] quin é un formao derameto ∃ n ∈ N, a_n, b_n, → t = ∞ ∀ n ∈ N infatti {n = 1: DA a₁ = b₁ e b₁ ∀ i,j ∈ N (per costriuzione)
• n = 3: b₃ = b₂pordo ed obtenoc1 = inf b₁ = sup